專題5.7等腰三角形（基礎(chǔ)篇）

一、單選題

1.（2020?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考中考真題）等腰三角形的兩條邊長分別為3和7,則這個(gè)等腰

三角形的周長是（）

A.10B.13C.17D.13或17

2.（2019?遼寧丹東?中考真題）等腰三角形一邊長為2,另外兩邊長是關(guān)于x的一元二

次方程%2—6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則G的值是（）

A.8B.9C.8或9D.12

3.（2022?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖,直線//〃5點(diǎn)C、A分別在//、/2上，以點(diǎn)

C為圓心，C4長為半徑畫弧，交//于點(diǎn)8,連接A&若/8C4=150。，則N1的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

4.（2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A8C中，AB=AC,AO是:A3C的角平

分線，過點(diǎn)。分別作?！度薃8,。尸八AC,垂足分別是點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論埼送的是（）

A.ZA￡)C=90B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

5.（2021?貴州銅仁?統(tǒng)考中考真題）直線AB、BC、CD、EG如圖所示,Zl=Z2=80°,

N3=40。，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

C."CG+N3=N2D.EF>BE

6.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AB=AC,ABAC=24°,延長

8c到點(diǎn)。，使CD=AC,連接4）,則一。的度數(shù)（）

7.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線等邊三角形A8C的頂點(diǎn)C在直

線b上，/2=40。，則N1的度數(shù)為（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

8.（2022?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，在R/AA8C中，ZC=90°,NB=30。，AB

=8,以點(diǎn)C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)。，則弧AO的長為（）

D.2乃

9.（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A3C中，AB=AC,/54C的平分線交

BC于點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，若AB=10,則OE的長是（）

A.8B.6C.5D.4

10.（2020?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖,在ABC中，ABAC=120°,AD平分/BAC,

DEIIAB,AD=3,CE=5,則AC的長為()

A

E

BDC

A.9B.8C.6D.7

二、填空題

11.（2018?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）邊長為a的正三角形的面積等于.

12.（2018?四川廣元?中考真題）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為80°,那么其余的

兩個(gè)角的度數(shù)是,

13.（2019?山東東營?統(tǒng)考中考真題）已知等腰三角形的底角是30。，腰長為26,則它

的周長是

14.（2019?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，/加=AC,點(diǎn)。，E都在邊BC

上，ZBAD=ZCAE,若BD=9,則CE的長為

15.（2022?吉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)

8在y軸正半軸上，以點(diǎn)8為圓心，8A長為半徑作弧，交X軸正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐

標(biāo)為.

16.（2012?貴州安順?中考真題）在一自助夏令營活動(dòng)中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要

到4地的北偏東60。方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)8地，再沿北偏東30。方

向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距m.

17.（2011.貴州銅仁.中考真題）如圖，在梯形ABC。中，AB//DC,NADC的平分線與

NBC。的平分線的交點(diǎn)E恰在AB上.若AD=7cm,BC=8cm,則AB的長度是—cm.

18.（2022?湖南邵陽?統(tǒng)考中考真題）如圖,在等腰A8C中，/4=120。，頂點(diǎn)B在ODEF

的邊。E上，己知Nl=40。，則N2=.

19.（2022.山東淄博?統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。，E分別在腰

AC,AB上，且BE=CZ）,連接8。，CE.求證：BD=CE.

A

20.（2020?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C、E、F、8在同一直線上，點(diǎn)4、D在

BC異側(cè)，AB//CD,AE^DF,N4=NO.

(1)求證：AB—CD；

(2)若AB=CF,NB=40。，求NO的度數(shù).

------------7B

\

E

D

21.(2022?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題)如圖，BD是ABC的角平分線，DE//BC,交A8

于點(diǎn)E.

(1)求證：ZEBD^ZEDB.

(2)當(dāng)A8=AC時(shí)，請判斷C。與的大小關(guān)系，并說明理由.

22.(2020.湖北荊門.中考真題)如圖，ABC中，AB=AC,的平分線交AC于￡>,

AE//8C交8。的延長線于點(diǎn)E,A尸，A3交8E于點(diǎn)尸.

(1)若N84C=40。，求NAFE的度數(shù)；

(2)若AD=￡>C=2,求AF的長.

23.(2021?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)如圖，在4ABe中，ZA=40°,點(diǎn)。,E分別在邊

AB,AC上，BD=BC=CE,連結(jié)CD,BE.

(1)若ZABC=80°,求N8OC,NAfiE的度數(shù).

(2)寫出N3EC與N8DC之間的關(guān)系，并說明理由.

24.(2021.湖南湘西統(tǒng)考中考真題)如圖，在AABC中，點(diǎn)。在AB邊上，CB=CD,

將邊C4繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CE的位置，使得NEC4=NE>C8,連接OE與AC交于點(diǎn)F,且

NB=7O°,ZA=10°.

(1)求證：AB=ED；

(2)求/AFE的度數(shù).

參考答案

1.C

【分析】因?yàn)榈妊切蔚膬蛇厼?和7,但己知中沒有點(diǎn)明底邊和腰，所以有兩種情

況，需要分類討論，還要注意利用三角形三邊關(guān)系考慮各情況能否構(gòu)成三角形.

解：當(dāng)3為底時(shí)，其它兩邊都為7,3、7,7可以構(gòu)成三角形，周長為17；

當(dāng)3為腰時(shí)，其它兩邊為3和7,

V3+3=6<7,

所以不能構(gòu)成三角形，故舍去，

...答案只有17.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有

明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

2.B

【分析】根據(jù)一元二次方程的解法以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案.

解：①當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時(shí)，

此時(shí)關(guān)于x的一元二次方程f-6x+k=0的有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，

二△=36-4k=0,

:.k=9,

此時(shí)兩腰長為3,

V2+3>3,

：.k—9滿足題意，

②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2時(shí)，

此時(shí)x=2是方程f-6x+&=0的其中一根，

代入得4-12+%=0,

"=8,

.\X2-6X+8=0

求出另外一根為：x=4,

?.,2+2=4,

不能組成三角形，

綜上所述，k=9,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及等腰

三角形的性質(zhì).

3.B

【分析】由作圖得A4BC為等腰三角形，可求出N4BC=15。，由//〃/2得N1=NABC,

從而可得結(jié)論.

解：由作圖得，CA=CB,

AABC為等腰三角形，

二ZABC=ZCAB

VZBCA=150°,

AZ^BC=-(180°-ZACB)=-(180°-150°)=15°

22

'：h//l2

Z1=ZABC=15°

故選B

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，求出

ZABC=15。是解答本題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及

角平分線的性質(zhì)即可判斷求解.

解：=AB=AC,A。是，ABC的角平分線，

ADABC,BD=CD,

AZADC=90.故選項(xiàng)A、D結(jié)論正確，不符合題意；

又AO是/B4C的角平分線，DEAAB,DF八AC,

:.DE=DF，故選項(xiàng)B結(jié)論正確，不符合題意；

由已知條件推不出A￡>=BC,故選項(xiàng)C結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性

質(zhì)即可.

5.D

【分析】根據(jù)平行線的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角對等邊的性

質(zhì)依次判斷.

解：VZ1=Z2=8O°,：.ABIICD,故A選項(xiàng)正確；

,/Zl=80°.

ZEBF+ZEFB=80°.

'：NEFB=N3=40。,

，NEBF=40。.故B選項(xiàng)正確；

ZFCG+Z3=Z2,故C選項(xiàng)正確；

???ZEFB=ZEBF=40°.

:.EF=BE,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題考查平行線的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角對等邊

的性質(zhì)，熟記各定理是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】利用等邊對等角求得々=ZACB=78。，然后利用三角形的內(nèi)角和求得答案即可.

解：.AB=AC,NBAC=24°,

.?.NB=Z4cB=78°.

CD=AC,ZACB=78°,ZACB=ND+NCAD,

ZD=ZC4￡>=-Z^CB=39°.

2

故選:A.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是了解“等邊

對等角”的性質(zhì)，難度不大.

7.A

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ZA=60。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出N3

=80。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/I的度數(shù).

解：:△ABC為等邊三角形，

ZA=60°,

???ZA+Z3+Z2=180°,

???N3=180°-40°-60°=80°,

■:allb、

AZ1=Z3=80°.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60。.也

考查了平行線的性質(zhì).

8.B

【分析】連接C。，根據(jù)/4C8=90。，N8=30?？梢缘玫絅A的度數(shù)，再根據(jù)AC=CO以

及NA的度數(shù)即可得到NACO的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求解即可.

解：連接CD,如圖所示：

VACB=90°,ZB=30°,A8=8,

NA=90°-30°=60°,AC=^A8=4,

由題意得：AC=C。，

...△AC。為等邊三角形，

ZACD=60°,

?4”且607rx44

??A。的長為：一八=三萬,

1oUJ

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是：求出弧所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)以及弧所

在扇形的半徑.

9.C

【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可.

解：，：AB=AC=W,A。平分N34C,

AD1BC,

：.ZADC=90°,

為AC的中點(diǎn)，

DE=-AC=5,

2

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握等腰二角形

三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到N3AO=NCW=1ZR4C=60。，然后由DE〃AB可

知/84￡>=ZAT>E=60。，從而得到NADE=NE4￡)=60。，所以VA￡>E是等邊三角形，由

AC=AE+CE,即可得出答案.

解：VZBAC=120°,AQ平分/BAC,

ABAD=ZCAD=-ABAC=60°,

2

,/DEIIAB,

/BAD=NAOE=60°,

ZADE=ZE4D=60°,

，VADE是等邊三.角形,

二AE^AD=3,

,?CE=5,

：.AC=AE+CE^3+5=8

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)綜合題.

11.旦2

4

【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解.

解：如圖，過點(diǎn)A作AD_LBC于點(diǎn)D,

VAD1BC

.?.BD=CD=ga，

AD=YIAC-CD2二*。，

面積則是：La?a=徨a2.

224

【點(diǎn)撥】此題主要考查了正三角形的高和面積的求法，比較簡單.

12.50°,50°或20°,80°

【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類討論即可得到答案.

解：①當(dāng)80。時(shí)頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：。80。-80。)+2=50。：

②當(dāng)80。時(shí)底角時(shí),則有:頂角180。-80°x2=2(f；

故答案為：50°,50°或20。，80°.

【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，還考查了分類討論的思想.

13.6+4>/3

【分析】作AO工8c于。，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

解：作AD18C于Q,

QAB=AC,

/.BD=DC,

在R中，ZB=30°,

AD=—AB=\/3,

2

由勾股定理得,BD=\IAB2-AD2=3，

??.BC=2BD=6f

的周長為：6+26+26=6+4百，

故答案為6+4月.

【點(diǎn)撥】本題考查等腰.三角形的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)

和勾股定理.

14.9.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

解：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以有AB=AC,NBAD=NCAE,NABD=NACE,所以

△ABDSAACE（ASA）,所以BD=EC,EC=9.

【點(diǎn)撥】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì).

15.（2,0）

【分析］連接3C,先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得。4=2,再根據(jù)等腰三角形的判定可得“WC

是等腰三角形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得OC=Q4=2,由此即可得出答案.

解:如圖，連接BC,

??點(diǎn)A的坐標(biāo)為（—2,0）,

：.OA=2,

由同圓半徑相等得：BA=BC,

.工ABC是等腰三角形，

.BOLAC,

:.OC=OA=2（等腰三角形的三線合一），

又點(diǎn)C位于x軸正半軸，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）,

故答案為：（2,0）.

【點(diǎn)撥】本題考查了同圓半徑相等、等腰三角形的三線合一、點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌

握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵.

16.200

解：由已知得：ZABC=900+30°=120°,ZBAC=90°-60°=30°,

ZACB=180°-AABC-ZBAC=180°-120°-30°=30°,

NACB=NBAC,

：.BC=AB=200.

17.15

分析：由角平分線的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易證得△ADE與ABEC是等腰三角形，即

AE=AD,BE=BC,又由AD=7cm,BC=8cm,則A可求得B的長度.

解：TNADC的平分線與NBCD的平分線的交點(diǎn)E恰在AB上，

AZ1=Z2,Z3=Z4,

VAB/7DC,

AZ2=Z5,Z3=Z6,

.?.N1=N5,N4=N6,

AAE=AD,BE=BC,

*.*AD=7cm,BC=8cm,

AAB=AE+BE=AD+BC=7+8=15(cm).

18.110°

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NA3C的度數(shù)；再根據(jù)平行四邊形對邊平行和

兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，得出N2+NA3E=180。，代入求解即可.

解：???是等腰三角形，ZA=120°,

???ZABC=ZC=(180°-ZA)-?2=30°,

???四邊形ODE尸是平行四邊形，

J.OF//DE,

工N2+NABE=180。，

BPZ2+3()°+40o=180°,

.\Z2=110°.

故答案為：110°.

【點(diǎn)撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,

熟練運(yùn)用上述知識(shí)求解.

19.證明見分析

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NEBC=NOC8,進(jìn)而利用5AS證明MBC與ADCB

全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

解：證明：AABC是等腰三角形，

:"EBC=/DCB,

在AEBC與ADCB中，

BE=CD

<NEBC=NDCB,

BC=CB

,\^EBC=MXJB(SAS),

：.BD=CE.

【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用SAS證明AEBC與ADC8

全等.

20.(1)證明見分析(2)/。=70。

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NB=NC,根據(jù)AAS推出△ABET△力CF,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得出即可；

(2)根據(jù)全等得出AB=C￡),BE=CF,NB=NC,求出CF=CD,推出N￡>=NCED,

即可求出答案.

解：(1)證明：'：AB//CD,

：.ZB=ZCf

在△A8E和△。。/中，

ZA=ZD

,ZB=NC,

AE=DF

：.^ABE^/\DCF(AAS),

：.AB=CD；

(2)解：VAABE^ADCF,

；?AB=CD,BE=CF,NB=NC,

VZB=40°,

???ZC=40°

*：AB=CF,

：.CF=CD,

1

：.ZD=ZCFD=-x(180°-40°)=70°.

2

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)

用，能根據(jù)全等三角形的判定求出^ABEgZkCD/是解此題的關(guān)鍵.

21.(1)見分析(2)相等，見分析

【分析】(1)利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)利用平行線的性質(zhì)可得=則AD=AE,從而有CD=BE,由(1)得,

NEBD=NEDB，可知BE=DE,等量代換即可.

解：(I)證明：???8。是＜ABC的角平分線，

，NCBD=NEBD.

,/DE//BC,

：.NCBD=NEDB,

/.ZEBD=ZEDB.

(2)CD=ED.理由如下：

AB=AC,

：.NC=ZABC.

DE//BC,

：.ZADE=ZC,ZAED=ZABC,

：.ZADE=ZAED,

：.AD=AE,

：.AC-AD=AB-AE,即CD=8￡.

由(1)得ZEBD=ZEDB，

：.BE=ED,

：.CD=ED.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等

知識(shí)，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

22.(1)ZAFE=125°；(2)AF=+6

3

【分析】(1)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)求出/ABC,NABD,再根

據(jù)垂直與外角的性質(zhì)即可求出NAFE；

(2)根據(jù)題意證明二4出會(huì)＜力8,再得到為等邊三角形，故可得到NAB0=3O。，

可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出AF.

解：⑴'：AB=AC,ZR4c=40。，

.?"CJ8。一?！?

2

???3O平分/ABC，

???NABQ=ZDBC=-x70“=35°,

2

、:AF1.AB,

AZBAF=90°,

???ZAFE=ZBAF+ZABD=90°+35。=125°.

(2)?:AEHBC、

I.ZE=ZDBC,

又ZADE=NCDB,AD=CD

：.ADE空CDB,

：.AE=CB,

,:NE=/DBC,ZABD=/DBC

:.ZE=ZABD，

:.AB=AE,

：.AB=CB=AC,

???ABC為等邊三角形，

/.ZA8c=60。，

???NAB。=30。，

'：AD=DC=2f

:.AB=4,

在RfAM中，AF=ABtan30°=4x—=->/3.

33

【點(diǎn)撥】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形，解題的

關(guān)鍵是熟知等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用.

23.(1)ZBDC=50°；ZABE=20°