江西省宜豐重點(diǎn)中學(xué)2023-2024（上）創(chuàng)新部高二12月考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，，P在橢圓上，且，則（

）A．7 B．6 C．5 D．42．直線平分圓C：，則（

）A． B．1 C．-1 D．-33．從由1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個(gè)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．124．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過(guò)點(diǎn)，則C的方程為（

）A． B． C． D．5．在四面體中，點(diǎn)E滿足F為BE的中點(diǎn)，且則實(shí)數(shù)λ=（

）ABCDEA． B． C． D．6．如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（

）A．500種 B．520種 C．540種 D．560種7．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為1C．直線與所成的角可能是D．若二面角的平面角的正弦值為，則或二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選0分)9．已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓 B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則10．給出下列命題，其中正確的是（

）A．若空間向量，，且，則實(shí)數(shù)B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C．若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是D．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是11．校園師生安全重于泰山，越來(lái)越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備.福清融城中學(xué)準(zhǔn)備引進(jìn)5個(gè)不同顏色的自動(dòng)體外除顫器（簡(jiǎn)稱AED），則下面正確的是（

）A．從5個(gè)AED中隨機(jī)取出3個(gè)，共有10種不同的取法B．從5個(gè)AED中選3個(gè)分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個(gè)，共有60種選法C．把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，共有129種方法D．把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少放一個(gè)，共有150種方法12．小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問(wèn)：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國(guó)天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”．在老師的鼓勵(lì)下，小明決定先從特殊情況開(kāi)始研究，假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論的為（

）A．曲線C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形 B．動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的面積的最大值為三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知點(diǎn)在圓的外部，則k的取值范圍是.14．的展開(kāi)式的第4項(xiàng)為．15．設(shè)常數(shù)．如圖在矩形中，平面．若線段上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是．16．在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來(lái)表示.已知直線l的方程為，則到直線l的距離為.四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18~22每題12分，共70分)17．已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.18．如圖，在直三棱柱中，，AB=BC=BB1=2，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)，求面積的最小值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.20．（1）現(xiàn)有4男2女共6個(gè)人排成一排照相，其中兩個(gè)女生相鄰的排法種數(shù)為多少？（2）8個(gè)體育生名額，分配給5個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，有多少種分法？（3）要排一份有4個(gè)不同的朗誦節(jié)目和3個(gè)不同的說(shuō)唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說(shuō)唱節(jié)目不排在開(kāi)頭，并且任意兩個(gè)說(shuō)唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生.現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，要求每隊(duì)必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊(duì)由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）21．在直角梯形中，，，，如圖①把沿翻折，使得平面平面（如圖②）．(1)求證：；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．已知橢圓（）的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，直線（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明：是等腰直角三角形.江西省宜豐重點(diǎn)中學(xué)2023-2024（上）創(chuàng)新部高二12月考試數(shù)學(xué)參考答案1．D【詳解】由題意知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，又P在橢圓上，，故，2．D【詳解】變形為，故圓心為，由題意得圓心在上，故，解得.3．B【詳解】這個(gè)兩位數(shù)大于40的個(gè)數(shù)為2×4=8．故選：B．4．B【詳解】因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，所以可設(shè)C的方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，所以C的方程為，即.故選：B.5．D【詳解】由F為BE的中點(diǎn)，得又所以，由得即所以故選：D

6．C【詳解】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因?yàn)锽與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝5407．B【詳解】連接、、，則，，由切線長(zhǎng)定理可知，，又因?yàn)椋?，所以，，所以，，則，設(shè)點(diǎn)，則，且，所以，，所以，，故，故選：B.8．C【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，故，故A說(shuō)法正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，由選項(xiàng)A知，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，故，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B說(shuō)法正確；對(duì)于C，假設(shè)直線與所成的角可能是，則設(shè)，則，所以，又，所以，整理得，解得，矛盾，所以直線與所成的角不可能是，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由選項(xiàng)知，設(shè)平面，平面的一個(gè)法向量分別為，所以，，即，，分別令，則，故，設(shè)二面角的平面角為，則，故，故由，解得或，即或，故D說(shuō)法正確.故選：C.9．BCD【詳解】A選項(xiàng)，曲線是橢圓等價(jià)于，解得且，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，曲線是雙曲線等價(jià)于，解得或，故B正確；C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.10．AC【詳解】對(duì)于A，可知，即A正確；對(duì)于B，顯然時(shí)，恒成立，此時(shí)不唯一或者不存在，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量在向量上的投影向量，故C正確；對(duì)于D，易知點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故D錯(cuò)誤.11．ABD【詳解】從5個(gè)AED中隨機(jī)取出3個(gè)，共有種不同的取法，故A正確；從5個(gè)AED中選3個(gè)分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個(gè)，共有種選法，故B正確；把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，則每個(gè)AED都有3種安放方法，故共有種方法，故C錯(cuò)誤；把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少放一個(gè)，可先將5個(gè)AED分成3組，每組至少1個(gè)，再把這3組AED放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)地方，每個(gè)地方放1組，故共有方法，故D正確.故選：ABD12．ABD【詳解】令，則，所以，則，將、、代入上述方程后，均有，所以曲線C既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，正確；令，則，對(duì)于，對(duì)稱軸為，所以在上遞增，要使在上有解，只需，所以，即，可得，正確；由，由中，，所以，其中負(fù)值舍去，綜上，，又，即，所以，則，錯(cuò)誤；由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的面積，而，所以，所以的面積的最大值為，正確.故選：.13．【詳解】由題意圓滿足，點(diǎn)在圓的外部，得，即的取值范圍是故答案為：14．【詳解】的展開(kāi)式的第4項(xiàng)為15．【詳解】

因?yàn)樵诰匦沃?，平面，所以以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，其中或不符題意，則，，，則有，,由，得即，若線段上存在點(diǎn)，即方程在有解，設(shè)函數(shù)為，，對(duì)稱軸為，則方程在有解需滿足，又因?yàn)?，所?故答案為：16．【詳解】直線l的方程標(biāo)準(zhǔn)化：，直線l過(guò)點(diǎn)，方向向量為.，，，M到直線l的距離.故答案為：【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，所以，解得或.故直線的方程為或.18．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵直三棱柱中，為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，分別，的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，故平面.（2）∵在直三棱柱中又有，∴，，兩兩垂直，分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則，取，則設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的余弦為．19．【詳解】（1）由題意知,所以.（2）由(1)知,拋物線,直線過(guò),可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立設(shè),不妨設(shè)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴面積最小值為.20．（1）兩個(gè)女生相鄰捆綁處理，有A2（2）將8個(gè)體育生名額排成一列，在形成的中間7個(gè)空隙中插入4塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為C7（3）第1步，先排4個(gè)朗誦節(jié)目共A44種；第2步，排說(shuō)唱節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開(kāi)頭，從剩下4個(gè)空中選3個(gè)插空共有A43種，所以一共有（4）先分類:外科女醫(yī)生必選，則一組內(nèi)科4男選1，外科4男選1；另一組內(nèi)科3女中選1女，外科3男選2，共有C41C41C321．【詳解】（1）由題設(shè)，若為中點(diǎn)，連接，則，由面面，面面，面，則面，而面，故，又，，則，且，所以，故，所以，，面，則面，又面，所以.（2）過(guò)作，由（