遼寧省葫蘆島市遼寧實(shí)驗中學(xué)東戴河分校2023年數(shù)學(xué)高一上期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．始邊是x軸正半軸，則其終邊位于第（）象限A.一 B.二C.三 D.四2．如果直線l，m與平面滿足和，那么必有（）A.且 B.且C.且 D.且3．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為A. B.C. D.4．已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)沿x軸平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（）A. B.C. D.5．已知，且，則（）A. B.C. D.6．一正方體的六個面上用記號筆分別標(biāo)記了一個字，已知其表面展開圖如圖所示，則在原正方體中，互為對面的是（）A.西與樓，夢與游，紅與記B.西與紅，樓與游，夢與記C.西與樓，夢與記，紅與游D.西與紅，樓與記，夢與游7．如圖，正方體的棱長為1，動點(diǎn)在線上，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.平面C.三棱錐的體積為定值 D.存在點(diǎn)，使得平面平面8．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.9．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若的頂點(diǎn)，，且的歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為A. B.C. D.10．下列選項中，兩個函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，11．已知sin2α>0，且cosα<0，則角α的終邊位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．給出下列命題：①存在實(shí)數(shù),使；②函數(shù)是偶函數(shù)；③若是第一象限的角，且，則；④直線是函數(shù)的一條對稱軸；⑤函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成對稱中心圖形.其中正確命題序號是__________.14．若直線與垂直，則________15．已知，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________16．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)(4，)，則α＝__________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（1）已知，則；（2）已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，求18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.19．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）若函數(shù)在上是以為上界有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．設(shè)集合，，求，21．已知函數(shù)（1）若是偶函數(shù)，求a的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求a的取值范圍22．觀察下列各等式：，，.（1）請選擇其中的一個式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并進(jìn)行證明.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】將轉(zhuǎn)化為內(nèi)的角，即可判斷.【詳解】，所以的終邊和的終邊相同，即落在第二象限.故選：B2、A【解析】根據(jù)題設(shè)線面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系.【詳解】由，則；由，則；由上條件，m與可能平行、相交，與有可能平行、相交.綜上，A正確；B，C錯誤，m與有可能相交；D錯誤，與有可能相交故選：A3、B【解析】利用冪函數(shù)圖象過點(diǎn)可以求出函數(shù)解析式，然后求出即可【詳解】設(shè)冪函數(shù)的表達(dá)式為，則，解得，所以，則.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)，以及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】先將解析式化簡后，由三角函數(shù)圖象變換得到的解析式后求解.【詳解】若向左平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，由題意得，的最小值為；若向右平移個單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，同理得的最小值為，故選：B5、B【解析】利用角的關(guān)系，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】，，.故選：B6、B【解析】將該正方體折疊,即可判斷對立面的字.【詳解】以紅為底,折疊正方體后,即可判斷出:西與紅,樓與游,夢與記互為對面.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了空間正方體的結(jié)構(gòu)特征,展開圖與正方體關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】對A,根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可.對B,利用平面幾何方法證明，再證明平面即可.對C,根據(jù)三棱錐以為底,且同底高不變,故體積不變判定即可.對D,根據(jù)與平面有交點(diǎn)判定即可.【詳解】在A中,因為分別是的中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,因為,,故,故.故,又有,所以平面,故B正確；在C中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故C正確.在D中,與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故D錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)線面位置關(guān)系，考查棱錐的體積，考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，判斷線面垂直的方法主要有：

線面垂直的判定定理，直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；

面面垂直的性質(zhì)定理，若兩平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的垂直于另一個平面；

線面垂直的性質(zhì)定理，兩條平行線中有一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直；

面面平行的性質(zhì)定理，直線垂直于兩平行平面之一，必然垂直于另一個平面8、A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，又因為函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，因此，故選：A9、A【解析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為（，），代入歐拉線方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0①AB的中點(diǎn)為（1，2），直線AB的斜率k2，AB的中垂線方程為y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0聯(lián)立，解得∴△ABC的外心為（﹣1，1）則（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8②聯(lián)立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4當(dāng)m＝0，n＝4時B，C重合，舍去∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣4，0）故選A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了方程組的解法10、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域，即可判斷選項A的兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式不同，即可判斷選項B，D的兩函數(shù)都不是同一個函數(shù)，從而為同一個函數(shù)的只能選C【詳解】A.的定義域為{x|x≠0}，y=1的定義域為R，定義域不同，不是同一個函數(shù)；B.和y=|x|的解析式不同，不是同一函數(shù)；C．y=x的定義域為R，y=lnex=x的定義域為R，定義域和解析式都相同，是同一個函數(shù)；D.=|x-1|,=x-1,解析式不同，不是同一個函數(shù)故選C【點(diǎn)睛】本題考查同一函數(shù)的定義，判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)的方法：看定義域和解析式是否都相同11、C【解析】根據(jù)二倍角公式可得到，又因為cosα<0，故得到進(jìn)而得到角所在象限.【詳解】已知sin2α>0，，又因為cosα<0，故得到，進(jìn)而得到角是第三象限角.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查象限角的定義，熟練掌握三角函數(shù)在各個象限中的符號是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】根據(jù)全稱量詞否定的定義可直接得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱量詞否定的定義可知：為：，使得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、④⑤【解析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosαsin（α）結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷①；根據(jù)誘導(dǎo)公式得到＝sinx，再由正弦函數(shù)的奇偶性可判斷②；舉例說明該命題正誤可判斷③；x代入到y(tǒng)＝sin（2xπ），根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性可判斷④；x代入到，根據(jù)正切函數(shù)的對稱性可判斷⑤.【詳解】對于①，sinα+cosαsin（α），故①錯誤；對于②，＝sinx，其為奇函數(shù)，故②錯誤；對于③，當(dāng)α、β時，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＝sinβ，故③錯誤；對于④，x代入到y(tǒng)＝sin（2xπ）得到sin（2π）＝sin1，故命題④正確；對于⑤，x代入到得到tan（）＝0，故命題⑤正確.故答案為④⑤【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的化簡與求值問題，是綜合性題目14、【解析】根據(jù)兩直線垂直的等價條件列方程，解方程即可求解.【詳解】因為直線與垂直，所以，解得：，故答案為：.15、，【解析】設(shè)點(diǎn),得出向量,代入坐標(biāo)運(yùn)算即得的坐標(biāo)，得到關(guān)于的方程，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn),因為點(diǎn)在直線,且,,或,，即或,解得或;即點(diǎn)的坐標(biāo)是，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及平面向量的共線問題,意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.16、【解析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式中即可求出.【詳解】解：由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】（1）分子分母同時除以，然后代入計算即可；（2）利用三角函數(shù)的定義求出和，再分和討論計算即可.【詳解】（1）分子分母同時除以得原式＝.（2）由三角函數(shù)的定義可知，，當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以所以當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式18、（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由可求得的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【小問1詳解】解：，所以，函數(shù)的最小正周期為，由得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】解：當(dāng)時，，，所以，，即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由奇函數(shù)的定義，代入即可得出結(jié)果.（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而求出值域，即可得出結(jié)果.（3）由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性，再求出值域，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，即，得，而當(dāng)時不合題意，故（2）由（1）得：，而，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為，所以，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為.（3）由題意知，在上恒成立.，.在上恒成立.設(shè)，，，由得設(shè)，，所以在上遞減，在上遞增，在上的最大值為，在上的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、答案見解析【解析】首先化簡集合B，然后根據(jù)集合、分類討論a的取值，再根據(jù)交集和并集的定義求得答案【詳解】解：因所以又因為，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)且且時，所以，21、（1）0（2）【解析】（