高中概率教學中常見的錯誤與評析目錄內容摘要 內容摘要：隨著新課程的改革，概率統(tǒng)計己成為高中數學課程中的一個重要內容，對它的教學研究也變得日益迫切，數學教師對概率概念及其教學的認識直接影響到概率教學的效果。與此同時，概率在高中數學教學中是一個難點，該部分的問題很多都來源于生活，在教學的過程中可以發(fā)現(xiàn)教師在解概率題的時候常常犯一些錯誤，因此需要對這些錯誤進行分析，從而為概率學習提出相應的教學措施，提高學生的成績，提升教師的教學效率。關鍵詞：高中；概率統(tǒng)計；錯誤1引言概率和統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的?！案怕适菍﹄S機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，在解決實際問題時，兩者是相輔相成、互相關聯(lián)的。在當今社會，概率統(tǒng)計已成為每個合格公民知識素養(yǎng)中必不可少的一部分[1]”。概率從它本身發(fā)展成為一個獨立的學科到它廣泛地進入中學課程的速度是代數、幾何等其他學科不可比擬的。然而這樣的快速推進也造成了教育研究跟不上課程改革步子的被動局面。在我國，關于概率的教學研究更是稀少。本文通過對高中數學教師對概率知識的掌握情況以及對學生錯誤認識的教學策略回應的調查研究，了解教師的概率知識專業(yè)水平。類似研究在文獻中還很少發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的研究主要以學生為研究對象，所以本研究可以增進我們對教師現(xiàn)狀的了解，基于研究也可以對教師、學校、教育主管部門及教師繼續(xù)教育培訓機構提出一些相應的建議。為了更好地進行概率統(tǒng)計教學，對我國當前中學教師概率知識水平進行調查和研究是一件十分緊迫的事[2]。2高中數學教師概率教學常見錯誤2.1對隨機事件的理解概率學習首要的就是先了解什么時隨機事件，為了弄清教師們對隨機事件這一概念的理解情況，本人在全部26道試卷問題中選擇了8道涉及隨機事件的問題。也同樣是由于此類試題所占比重較大，所以教師反應出的問題也相對較多。從訪談的過程中我了解道，教師們對隨機一詞的理解就是任意出現(xiàn)的，沒有規(guī)律可言的。下面我們來看幾個例子[3]。試卷Ⅰ的第2題說的是從一副洗好得的沒有老人頭的牌中分別隨便抽出一張，A算1，判斷結果是可能發(fā)生的、不可能發(fā)生的還是必然發(fā)生的：1、抽到的牌是紅桃或方塊2、抽到的這張牌比J小3、抽到的牌是方塊2一位B3班的教師對第一問的回答是可能發(fā)生的，第二問的答案是必然發(fā)生的，第三問的答案是不可能發(fā)生的。理由是“紅桃和方塊總共占所有的一半，所以可能發(fā)生；因為沒有老人頭所以所有的牌都比J小，所以肯定能發(fā)生；但是方塊2只有一張，肯定是抽不到的?！痹嚲恝竦?1題說的是班里有20個女生，22個男生，班上每個同學的名字都各自寫在一張小紙條上，放入一個盒中攪勻，如果老師閉上眼睛從盒中隨便取出一張紙條，下面那種說法正確？（）a．抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性大b．抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性小c．抽到男同學的可能性與抽到女同學的可能性一樣大d．無法比較兩種可能性的大小一位A2班的教師的答案是A，理由是“因為男生多所以概率就自然大?！边€有很多教師選擇的是D，其中有的教師認為“因為男生和女生的人數差不多，所以應該是都有可能的。”還有人說“這是運氣問題吧！”一位B1班的教師也選擇了D，他的理由是“因為老師看不見，所以是隨機的抽取的，因為是隨機的所以也就是無法預料的?！痹嚲恝竦?1題第2問是把抽出的紙條都放回盒中，重新攪勻，這一次老師閉上眼睛隨便從盒中抽取6張紙條，睜眼一看，抽出的是2女4男。他把這6張紙條放在桌上，閉上眼睛從余下的紙條中再抽出第7張紙條，那么你認為下列說法那種正確？a．抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性大b．抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性小c．抽到男同學的可能性比抽到女同學的可能性一樣大d．無法比較兩種可能性的大小一位教師選擇的是A，理由是“已經抽出的名字中男生的比例遠大于女生，所以再抽也是男生的可能性大”。另一為教師選擇的是C，理由是“在所有剩下的紙條中男生和女生人數相等所以機會也相等”。還有教師選擇的是D，他的理由是“隨機抽取紙條，所以無法判斷機會大小”[4]。試卷Ⅱ第13題是說甲袋中放著8只紅球和16只黑球，乙袋中放著50只紅球和70只黑球。兩袋均各自搖勻，閉上眼睛取球，如果取出的是黑球，下面說法正確的是：a．從甲袋中取到黑球的可能性比從乙袋中取到黑球的可能性大b．從甲袋中取到黑球的可能性比從乙袋中取出黑球的可能性小c．從兩袋中取到黑球的可能性是一樣大的d．無法比較這兩個可能性的大小一位教師的選擇是A，理由是“因為在甲袋中黑球所占的比例大”。另一位教師選擇的是D，理由是“兩個袋其實可以看作一個，都是只裝有黑球和白球，雖然黑球和白球的數量不相同，但是如果攪拌均勻的話其實是可以忽略這兩種球的分別的，抽到哪種都可能[5]”。雖然教師們對理解隨機事件與頻率之間的關系比學生要精準，然而由于他們很多是非?？瞥錾恚械氖窃诤笃谧孕薜臄祵W，給學生講課也是基于答案來分析過程，所以他們甚至會跟一些學生犯同樣的錯誤。2.2排列組合法借助統(tǒng)計我們發(fā)現(xiàn)，有80%的教師用了排列組合公式計算概率，但農村初中與市區(qū)高中教師使用排列組合方法人數百分比相差很大，超過30。其次是采用列舉法，農村初中教師比城市教師更擅長。只有極少數教師采用模擬試驗用頻率估計概率的方法，但沒有一個高中教師運用這個方法，沒有一個教師打算用實物重復做摸球試驗這種方法。這說明教師比較傾向于用理論概率解決問題，高中教師尤其熟悉排列組合方法[6]。有94.5%的高中教師使用排列組合法，市區(qū)初中教師有81.8%，而農村初中教師中，只有59.4%的教師使用排列組合法。用此方法，總的正確率達到了89.9%具體的是市區(qū)高中教師達到90.9%，市區(qū)初中教師達到77.3%，而農村初中教師只達到40.6%，這說明高中教師排列組合的能力比初中教師強，農村教師的排列組合能力較弱。這和教師平時的教學內容有很大關系，高中教師所教的概率知識基本上是從理論的角度來分析，而初中教師所教的概率知識不要求使用排列組合，而較多從試驗的角度或使用樹狀圖與分析表來分析[7]。有11位教師用排列組合公式計算概率，雖然式子列對了，但有的沒有計算出結果，有的結果計算錯了，主要是初中教師，他們說忘記計算公式了。如：有一位老師是這樣回答的：p（兩黑）=C32C42/C72=1/4。下面是對他的訪談：訪談者：你原來的答案是1/7，為什么現(xiàn)在改成了1/4？教師：式子是對的，我不會計算，看到別人寫的1/4，就改了，還是不夠自信。另一位教師的答案是：C32C43/C74=12/35，P=12/35。這位教師的答案是抄襲的，當時筆者就對她進行了訪談，訪談記錄如下：訪談者：你為什么不會做?教師：我是中師畢業(yè)的，在學校沒有學這門課，所以不懂。訪談者：那你怎么教學生?教師：高中的概率內容簡單，沒這么復雜。我們采訪的教師之中還有很多連式子都列出了，很多得到的答案是8/35，18/35以及24/35等。有位老師的回答是這樣的C74=35種，其中只有2個黑球的有C32=3種，所以，P（只有兩個黑球的概率）=3/35。下面是一部分訪談她的記錄。訪談者：談談你是怎樣分析這題的?教師：我是用排列組合方法，總的有35種，只有兩個黑球的有3種……哦!不對，應該是6種，因為黑1球、黑2球、黑3球……，還是3種。訪談者：我看你畫了表格分析，行嗎?教師：這題畫表分析比較麻煩，第1題我是畫表分析的，那題簡單。訪談者：你分析這兩題的角度是不是一樣?教師：是的，都是等可能事件。訪談者：你還有別的方法嗎?教師：沒有了。3高中數學教師概率教學出現(xiàn)錯誤的原因3.1高中數學教師受到傳統(tǒng)應試教育思想影響總所周知，教育思想是教師在教育過程中應有的信念和態(tài)度，也是教師對教育的理性認識和對自身理想的追求。將教育觀念進行內化在教師的日常教育活動中得以實施。長期以來所受教育思想的熏陶，使得廣大高中數學教師難以擺脫傳統(tǒng)應試教育思想的影響。在對XX農村高中的數學教育進行考察后發(fā)現(xiàn)，教師所受應試教育思想的影響主要表現(xiàn)在以下幾個方面：首先，雖然高中數學教師的教育觀念有所更改，高中數學教師的角色也開始轉變，但是離理想的改善還有很大的距離。由于當前網絡信息技術發(fā)展空前迅猛，國家對農村高中的教育也越發(fā)重視，但是很多教師對當前全新的教育觀念比如素質教育還是一知半解。只是有所耳聞該教育，自己實施還存在頗多問題。在農村高中教師的腦海里，他們植根于傳統(tǒng)的教育教學理念，教師是教育教學的中心，教師的主要職責就是基于自己多年的經驗將知識傳授給懵懵懂懂的學生，學生在被動的狀態(tài)下接受知識，教師是知識的主宰者，他們并沒有做好引導者和組織者的角色，學生的主體地位還停留在紙上談兵[8]。其次是教師普遍有著嚴重的升學觀念，對自身的發(fā)展起到了制約的作用。盡管教師的教育觀念在一定程度上得到了改變，但是他們在看待升學這一個問題上，還是老舊的思想，為了提高升學率，成績較差的學生就是普遍高中概率統(tǒng)計教學教師拋棄的對象。在XX高中進行觀察后發(fā)現(xiàn)很多班上都有成績差的學生，他們幾乎沒有參與課堂教學活動的機會，一一被教師排除在外，教師只要求他們在課堂上保持安靜沉默即可。同樣，教師的升學觀念還體現(xiàn)在課堂教學的活動中，在農村教師的心中，學習知識是學生擺脫貧窮走向富裕的跳板，如果學生成績不好，他或者她就是社會的敗類，村里的人都會瞧不起他。實際上，這種教育方式根本不利于學生發(fā)展正確的學習觀。不管學生成績好壞，教師都需要向學生灌輸：“條條大路通羅馬”的思想，讓他們不要拘泥于現(xiàn)狀，應該好好把握適合自己未來發(fā)展的渠道[9]。通過以上兩點我們可以了解到，教師的教學觀念雖然有所改變，但是仍然受到了升學觀念的嚴重制約，這將影響到高中概率統(tǒng)計教學課堂教學的發(fā)展。也就意味著農村教師觀念的轉變還只是進入開始階段，將來要做的工作還有很多[10]。3.2學校未構建完善的高中數學教師在職培訓機制當前看來，我國農村高中數學教師的在職培訓還不是特別的完善，而且教師在上崗后培訓的機會相當少，學校沒有及時地給教師進行崗后培訓，如此教師的教育觀念還停留在原先的水平，自然無法適合現(xiàn)代教育發(fā)展的需求。教育是一個注重投入和產出的產業(yè)，所以資源的使用效率需要得到廣大教育者的重視。筆者所觀察的學校是一個農村高中，規(guī)模跟正規(guī)的城鎮(zhèn)學?？隙ㄓ泻艽蟮膮^(qū)別，當前學校的狀況是10名教師在我校任教，就讀的學生也就100多名，沒有像樣的教學樓。由于我國的經濟發(fā)展遠比不上西方發(fā)達國家，所以類似我校這樣教育資源極其不豐富的現(xiàn)象普遍存在，特別是農村學校的基礎教育資源相當匱乏，沒有足夠的課本，沒有合適的教學樓，甚至連像樣的座椅也相當缺乏。這樣窘迫的教育環(huán)境下，維持學生的正常課程尚且是個問題，更別提對教師進行培訓了。這些教師很多是剛剛畢業(yè)的學生，缺乏教育經驗，而且她們接受的也是應試教育的思想，在他們的教育思想熏陶下的學生，跟城市上接受素質教育的小孩有很大的差距。把這一類特殊的學校除開，很多大城市的高中數學教師，自詡畢業(yè)于名牌高校，教育經驗資深，無需接受任何沒必要的培訓，也會對教育思想的更新造成影響[11]。3.3課堂教學物質資源難以支撐有效的課堂教學學校是學生學習的地方，一天中，大多數的學生的時間都是在學校度過的，無論是學校的教育理念還是校園文化都會對學生產生很大的影響，然而學校的教學設備嚴重不足又會對教師的教學效果產生影響，學校的教育經費對學校教學設備的更新產生了很大的制約。然而大多數的農村高中普遍有著經費不足的現(xiàn)象，很多概率統(tǒng)計教學設備又出現(xiàn)老化的現(xiàn)象。以下是在觀察筆者考察的高中后的總結。一方面，教學設備出現(xiàn)老化，而且數量嚴重不足。很多農村高中都有著教育設備匱乏，老化的現(xiàn)象，甚至有一些學校根本沒有現(xiàn)代化的教學設備，這些都會影響教師教學的因素。在筆者所考察的學校，幾乎沒有現(xiàn)代化的概率統(tǒng)計教學設備，概率統(tǒng)計教學老師一般都是持有尺子或教學桿來上課，從很大程度上使得高中概率統(tǒng)計教學課堂的教學效率大大降低了[12]。其次，教育經費嚴重不足，缺乏對校園文化的構建。而普遍的農村高中都存在此類問題。當前城市和鄉(xiāng)村的教育處于不公平的狀態(tài)，影響最為深刻的是城市和鄉(xiāng)村教育在教學管理和資金投入上的不公。國家撥給農村高中的經費只夠維持學?；镜拈_支，完全沒有過多的錢對校園文化和教學設備進行改善和添置。筆者所調查的高中里也存在這種情況，目前該學校的建筑物大多都是平房，即使是在冬季，不同的班級都是采用獨立烤火。出于節(jié)省花銷的目的，一些教師還負責桌椅板凳的維修工作以及其他瑣碎的工作。也就是說學校根本沒有多余的錢對宿舍進行修葺，更別提購買先進的教學設備了。4高中數學教師概率教學建議4.1注重高中生的數學學習主動性學生積極參加教學活動是高效教學的基本體現(xiàn)。當前，教師引導學生參與出現(xiàn)了諸多問題。首先，主要問題是：教學情景遠離生活現(xiàn)實。許多概率統(tǒng)計教師創(chuàng)設教學情景時沒有考慮它的真實性與興趣性，導致了教學與生活脫節(jié)甚至矛盾。這樣的偽情境，無法有效培養(yǎng)學生應用概率統(tǒng)計的意識，不利于學生能力的形成；其次是課堂提問無意義。再次課堂活躍氣氛控制不給力。有些教師的課堂，氣氛很活躍，但不能做到收放自如，紀律散漫，最終無法完成教學目標。教師應提高對課堂教學的駕駁能力。接著，鼓勵夸獎不適切。激勵為的是還學生一份自信，但切忌隨意濫用。教師講的太多。教師該講的要講，但忌諱多講，應該點到為止，留給學生思考的空間。最后，學生動手能力低。基本策略：激發(fā)學習興趣。教育要帶有樂趣，要使人偷快。所學材料或研究對象的趣味性，要鼓勵學生參與交互。情境設置的目的旨在：喚起學生應用意識、引起學生求知欲望、激發(fā)學生挑戰(zhàn)困難。教師要適當的激勵學生，發(fā)揮學生的積極性。完整的教學評價既需要表揚，也需要批評。教師要明確地指出學生的錯誤。概率統(tǒng)計學習的重要方式之一是合作學習，它強調互動與共鳴，前提是學生必須先獨立思考。再次，激活學生思維。預設與生成是課堂教學的兩翼，缺一不可。最后，尊重學生個體差異。課堂教學是教案再創(chuàng)造的過程，教師要認真觀察學生，做學生的聽眾，多與學生積極互動[13]。4.2采取多元化的課堂教學行為策略首先，加強概率統(tǒng)計語言訓練，教學語言素養(yǎng)是教師在教學過程中善于運用口頭語言準確、流暢、生動地表達自己思想感情的一種才能。概率統(tǒng)計語言是概率統(tǒng)計交流的基礎和工具。新手教師應該加強概率統(tǒng)計語言規(guī)范訓練，注重概率統(tǒng)計語言的表達和應用，在課堂教學中，要注意概率統(tǒng)計語言運用的科學性和規(guī)范性。其次，教師應適時應用隱喻方式進行教學，體現(xiàn)概率統(tǒng)計與生活實際相聯(lián)系概率統(tǒng)計因為抽象、嚴謹等特點，學生往往覺得概率統(tǒng)計課堂教學是枯燥、乏味的。因此，概率統(tǒng)計教師應該注意適時地將教學內容與生活實際有機結合起來，讓學生感到概率統(tǒng)計就在身邊，概率統(tǒng)計就在我們的生活中。再次，合理有效地采用有效的追問，提高教師提問語言的有效性我們從數據分析不難看出，并非所有的復雜性提問都能激起學生高認知的回答，問題的復雜性程度的高低與提問內容難度無關。因此，在設計問題時要注意問題的難度應與學生的認知水平相一致，要根據“最近發(fā)展區(qū)”的要求設計問題。同時，教師選擇合適材料，確保能激起學生高認知回答。與此同時，提問應建立在學生的最近發(fā)展區(qū)內合理設計有梯度的問題。當教學難度較大時，可結合教學內容，由易到難地進行提問，盡可能采取開放式的提問，切忌控制學生的答案；而當教學難度較易時，教師可以適當增加提問難度，給予學生充分的思考時間，尋求更高認知水平的回答。在教學過程中，教師合理地采用追問方式，使問題形成高效的“問題鏈”是有效提問的重要策略?？傊處熖釂枒裱m時、適度原則。教師應當根據不同教學環(huán)節(jié)可采用不同的提問策略，不斷提高自身的提問藝術，全面提高教學質量。在設計課堂問題時要注意問題的梯度和難度，不同類型的問題采用不同的提問策略。接著，設計有效的教學活動，激發(fā)學生概率統(tǒng)計學習的興趣。俗話說，興趣是最好的老師。如果能夠激起學生的興趣，那學生就會感覺學習有意義、輕松、快樂，就會不由自主的參與到學習中來。所以，我們的教師在設計教學活動時需要深入的斟酌，分析學生的學情。依照學生的實際情況設計教學活動，以激發(fā)學生參與教學的興趣。教師設計的教學活動，要能夠引導學生思考、敢于求異、敢于探索。我們認為，在概率統(tǒng)計課堂教學中創(chuàng)設一個民主教學的氛圍、進行有效提問、精選講解的例題、合理設置教學環(huán)節(jié)，是解決教學中激發(fā)學生學習興趣、充分發(fā)揮其主體性這一問題的有效途徑。最后，語言力求豐富、生動、有趣，提高學生的學習的積極性在教學中，語言是紐帶。語言是課堂上師生間交流的主要工具，教師主要是通過語言向學生授業(yè)解惑，而學生則主要通過教師的語言理解和接受知識，所以教師的教學語言在教學中占有很重要的地位。因此，教師要精心設計教學語言，語言力求做到生動、有感染力，提高學生聽課、學習的積極性；教師教學語言力求豐富，新手教師應該在備課時充分考慮到課堂教學語言的應用情況，合理設置課堂教學語言，教師掌控課堂教學時間和教學言語行為類型，努力實現(xiàn)課堂教學語言豐富多彩，減少學生的聽覺疲勞，提高課堂教學質量。備課中，努力做到：在課堂引入環(huán)節(jié)，應用隱喻教學方式，努力尋找與學生生活實際相聯(lián)系例子，以激發(fā)他們對概率統(tǒng)計的學習興趣；例題講解環(huán)節(jié)，應該主要采用提問、陳述和師屯共同重復等教學語言進行講解，幫助學生建構自己的知識網絡；練習講解環(huán)節(jié)，應該注重應用反饋性語言，及時評價學生，以鼓勵、引導學生積極思考；課堂小結環(huán)節(jié)，利用啟發(fā)誘導性語言，引導學生積極發(fā)言?？傊?，教師豐富、有效的課堂教學語言可以激發(fā)學生學習的積極性，提高學生參與度?？傊怕式y(tǒng)計教師課堂教學語言應力求做到：首先，簡潔易懂；其次，具有啟發(fā)性；再次，邏輯性強；然后，表達準確無誤；接著，具有趣味性，使人喜聞樂聽；最后，表達流暢，聲音響亮，語調抑揚頓挫。4.3豐富高中概率統(tǒng)計課堂教學物質資源課程資源是國家基礎教育課程新一輪改革所提出的一個重要概念?！稑藴省氛J為，概率統(tǒng)計課程資源是指依據概率統(tǒng)計課程標準所開發(fā)的各種教學材料以及概率統(tǒng)計課程可以利用的各種教學資源、工具和場所等，主要包括各種紙質的文字材料、實踐活動材料、錄像帶、多媒體光盤、計算機軟件及網絡、圖書館，以及報刊雜志、電視廣播、少年宮、博物館等?！稑藴省穼Ω怕式y(tǒng)計課程資源的刻畫基本屬于“物質的”范疇。任何課程改革的實施與推行都必須要有課程資源的支持，尤其是在課程改革的初期，課程實施所需要的空間、材料、設備、環(huán)境、場地等課程資源，都應該加以規(guī)劃，并且能夠適時地提供。這是改革初期最重要的保障，也是改革推行的物質基礎。然而在當前課程改革中，課程實施資源的嚴重缺乏是一個最大的障礙。如唐麗芳、馬云鵬(2002)的調查中，44.2%的教師認為“缺少課程資源”是課改實驗中的主要困難，78.2%的教師認為“教學設施等物質條件不能滿足需求”是本校對實施新課程的不利條件。在本研究中，概率統(tǒng)計課程資源的缺乏也是影響和制約教師進行概率統(tǒng)計課堂教學設計能力發(fā)展的一大因素。其主要表現(xiàn)在：首先，需要豐富課程配套資源。新課程要求教師創(chuàng)造性地使用教材，對課程能進行二次開發(fā)與創(chuàng)造。然而在實際教學中，不少教師反映“新課程參考資料缺乏，往往對三維目標把握不準，使教學過程和教學設計陷入困境”、“如果能有更多的配套的課程材料將更有利于我的課堂教學設計”、“缺少課本內容所涉及的教具”、“輔助教具缺乏”、“很少有適宜的教具給學生看”。從而這也就在一定程度上影響了教師的課堂教學設計。如有些教師提出“當遇到問題時，往往沒有權威的資料可以參考，所以只好作罷。”其次，跟上辦學條件的步伐。學校的辦學條件也是直接影響和制約新課程實施和教師教學進行課堂教學設計的重要因素之一。絕大多數教師反映“沒有現(xiàn)代教育技術設備，如幻燈、多媒體等”、“我認為當前進行教學設計面臨的困難是多媒體、網絡教學設計，是因為教學設備不齊，根本無法開展”、“多媒體教學設備不能匹配到校，故而在很大程度上局限了設計新課改概率統(tǒng)計課堂教學設計”?？偨Y根據調查得到以下幾個主要的結論：第一，教師較熟悉概率的古典定義和頻率定義，對概率的幾何定義這個名稱不太熟悉，但都會計算指針指向轉盤上某一扇形部分的概率。只有極少數教師聽說過貝特朗悖論，能夠較合理解釋悖論的教師寥寥無幾，沒有一個教師在解釋中提到概率的公理化定義。第二，與初中教師相比，高中教師更傾向于從理論的角度處理概率問題，忽視試驗。在求概率值時，教師主要采用排列組合方法或作樹狀圖等理論分析，很少設計模擬試驗用頻率估計概率，高中教師理論分析的成功率高，但是沒有一個人提到用頻率估計概率。初中教師尤其是農村初中教師排列組合技能水平一般，但也很少談到用頻率估計概率。部分新、老教師對總的基本事件數和所求事件數不明確，導致所求概率值錯誤。在解釋概率值含義時，高中教師傾向于從理論的角度解釋，市