頻率域濾波主要介紹了如何在圖像濾波中應(yīng)用傅里葉變換和頻率域的基本知識，并介紹其基本原理及與數(shù)字圖像處理的關(guān)系。背景法國數(shù)學家傅里葉在熱分析理論一書中，指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個正弦項和/或余弦項乘以不同的系數(shù)（傅里葉級數(shù)）。非周期函數(shù)可以用傅里葉變換來表示。傅里葉概念的最初應(yīng)用是在熱擴散領(lǐng)域，基本概念復數(shù)復數(shù)C的定義如下：極坐標下復數(shù)定義：由于歐拉公式復數(shù)可以表示為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的表示形式為其中沖激函數(shù)沖激函數(shù)表示形式為，其中被限制為滿足等式，其物理意義就是一個幅度無限，持續(xù)時間為0，具有單位面積的尖峰信號。其取樣特性為函數(shù)與沖激函數(shù)的乘積：；那么對于其離散的函數(shù)具有相似的表達，其沖激函數(shù)為，其離散變量的取樣特性為：；其沖激串則定義為無限多個分離的周期沖激單元之和：。沖激可以是連續(xù)或離散的。連續(xù)變量函數(shù)的傅里葉變換連續(xù)函數(shù)f(t)的傅里葉變換為，那么必存在一個傅里葉反變換：，利用歐拉公式得到，由于積分的左邊唯一變量是，所以說傅里葉變換域就是頻率域。頻率域的單位是獨立于輸入變量的每單位周期的。卷積定義如下：而在空間域中，兩個函數(shù)的卷積的傅里葉變換等于兩核函數(shù)的傅里葉變換在頻率域中的乘積。即★和是傅里葉變換對。可寫為★取樣和取樣函數(shù)的傅里葉變換考慮一個連續(xù)函數(shù)，以獨立變量t的均勻間隔取樣。得到取樣函數(shù)。取樣函數(shù)的傅里葉變換。且。卷積為 。可以看到取樣后的函數(shù)的傅里葉變換是的一個拷貝的無限、周期序列，也是原始連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換。上述為取樣函數(shù)的取樣率，只有當取樣率足夠高，一遍在周期之間提供有效的間隔，保持的完整性，取樣率需要滿足。稱為取樣定理。那么不超過函數(shù)最高頻率的兩倍的取樣率來獲得樣本，那么就稱作欠取樣，就會產(chǎn)生混淆的現(xiàn)象，以低于奈奎斯特取樣率取樣的最終效果是周期重疊，導致無法分離出變換的一個單周期，改變換已被鄰近周期的頻率破壞了。由于具有無限擴展的頻率分量，如果用有限長度的取樣和紀錄工作，混淆是不可避免的，可以通過平滑輸入函數(shù)減少高頻分量的辦法來降低混淆的影響，這樣的處理叫抗混淆?！锛纯捎扇雍蟮臄?shù)據(jù)復建函數(shù)。單變量的離散傅里葉變換（DFT）關(guān)于原始函數(shù)變換的取樣過的數(shù)據(jù)的變換我們想要在周期到之間得到之間的M個等間距樣本，可以通過如下頻率處取樣： 于是可以得到相應(yīng)的離散傅里葉變換對：無論對于正變換還是反變換，都是無限循環(huán)的，其周期為M，那么其離散的卷積表示為★根據(jù)一維的推導，同樣可以是用在二維變量中，可以得到在坐標的沖激為其取樣特性為。那么二維離散傅里葉變換為那么二維取樣可用二維沖激串建模：，同樣滿足取樣定理，要求t，z軸兩個分量分別滿足取樣定理：與。對于二維變量，混淆的現(xiàn)象就擴展到了圖像，存在兩種主要混淆：時間混淆和空間混淆。時間混淆與圖像序列中圖像間的時間間隔有關(guān)，最常見的是“車輪效應(yīng)”?？臻g混淆主要是欠取樣造成的，如“莫爾（波紋）模式”、現(xiàn)狀特征中的鋸齒、偽高光等的出現(xiàn)。為了完美重建，理論上要適用無限求和來內(nèi)插，但實際上是達不到的，所以為了減少混淆，可以在縮小圖像之前稍微模糊以下圖像，然后再重采樣，就可以得到更加清晰地結(jié)果。其中二維DFT的性質(zhì)：（1）平移和旋轉(zhuǎn)，其中平移不影響幅度（譜），旋轉(zhuǎn)角度兩者在變換前后是一致的；（2）周期性，其變換以及反變換在u方向和v方向是無限周期的，對于一維，將其中心化，可進行操作，對于二維同理可進行操作；（3）對稱性，實函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換是共軛對稱的：，而對于虛函數(shù)其傅里葉變換是共軛反對稱的：。通過將二維DFT進行極坐標變換，可得到幅度，稱為傅里葉譜（頻譜），它是用來存儲圖像的灰度信息的；而其相角是用來攜帶圖像形狀特性的。5.頻率域濾波基礎(chǔ)頻率域中的濾波技術(shù)是以如下處理為基礎(chǔ)的：修改傅里葉變換達到特殊目的，然后計算IDFT返回到圖像域。頻率域濾波由修改一幅圖像的傅里葉變換然后計算反變換得到處理后的結(jié)果組成。由此，給定衣服大小為的數(shù)字圖像，我們感興趣的濾波公式為，濾波步驟為給定一幅大小為的輸入圖像，得到填充參數(shù)P和Q。典型地，我們選擇P=2M和Q=2N.對添加必要數(shù)量的0，形成大小為的填充后圖像用乘以移到其變換的中心計算來自步驟3的圖像的DFT，得到生成一個實的，對稱的濾波函數(shù)，其大小為，中心在(P/2,Q/2)處。用陣列形成乘積得到處理后的圖像通過從的左上象限提取區(qū)域，得到最終處理結(jié)果g（x,y)通過衰減高頻信號來達到頻率域的平滑，所以引出低通濾波器，常用有理想濾波器、布特沃斯濾波器、高斯濾波器三類。理想低通濾波器ILPF在頻率域的剖面圖類似于盒裝濾波器，其相應(yīng)的空間濾波器具有sinc函數(shù)形狀，所以其中心的波瓣是引起模糊的主因，而外側(cè)較小的波瓣是造成振鈴的主要原因。布特沃斯低通濾波器有形式：，可根據(jù)不同的n得到不同的徑向剖面，其平滑程度也不同，對于同一階，其截止頻率越大，其高頻越容易通過。頻率域與空間域具有反比性。該低通濾波器可看做是高斯濾波與理想濾波的過渡。高斯低通濾波器的表達形式為，其中。跟平滑圖像相反，采用衰減低頻信號，來使銳化圖像，所以引出高通濾波器，常用的有理想高通濾波器、布特沃斯高通濾波器、高斯高通濾波器，都與上一節(jié)相似，這里提出與低通不同的是采用鈍化模板、高提升濾波和高頻強調(diào)濾波的方法，在第三章所討論過的，利用對原圖像進行模糊后，用原圖像減去模糊圖像得到邊緣的增強模板，再加載在原圖像上得到銳化的效果，即，其中當k=1時為鈍化模板，k>1高提升濾波器；同樣我們可以利用高通濾波器來表達該結(jié)果：該表達是即為高頻強調(diào)濾波器，其中給出了控制距原點的偏移量，控制高頻的貢獻。還有一種方法叫同態(tài)濾波，根據(jù)照射-反射模型建立的，將一幅圖像f(x,y)表示為照射分量i(x,y)與反射分量r(x,y)的乘積，其中照射分量通常由慢的空間變化表征，而反射分量往往引起突變，所以將變換后的低頻與照射相對應(yīng)，高頻與反射相對應(yīng)，從而進行頻率域的處理。其步驟如下：取ln對數(shù)DFT取exp上述的一些濾波器主要在整個頻率矩形上操作，而很多應(yīng)用主要側(cè)重于指定的頻段或頻率矩形的小區(qū)域，前者主要是帶阻濾波器與帶通濾波器，后者主要是陷波濾波器；其中陷波濾波器是拒絕（或通過）事先定義的關(guān)于頻率矩形中心的一個鄰域的頻率。6.