PAGEPAGE8數(shù)值積分中的代數(shù)精度的討論學(xué)生姓名:滕偉峰學(xué)號(hào):20085034002數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)指導(dǎo)教師:李連兵職稱(chēng):講師摘要:本文基于插值型求積公式及代數(shù)精度的概念，對(duì)代數(shù)精度的算法以及節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)代數(shù)精度的情況進(jìn)行討論．關(guān)鍵詞:插值型求積公式；代數(shù)精度；節(jié)點(diǎn)TheDiscussionofAlgebraPrecisioninNumericalIntegrationAbstract:Inthisessay,webaseoninterpolationquadratureformulaandtheconceptofalgebraprecisiontodiscussthealgebraprecisionalgorithmandhowwillalgebraprecisiongoingwhenthenodalpointnumberisoddnumberorevennumber．Keywords:Interpolationquadratureformula；algebraprecision；nodalpointnumber前言實(shí)際問(wèn)題中常常需要計(jì)算積分．有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解問(wèn)題也都和積分計(jì)算有關(guān)．在計(jì)算定積分時(shí)，根據(jù)人們所熟知的微積分基本定理，對(duì)于積分，只要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，便有下列牛頓萊布尼茨公式．但是在很多場(chǎng)合下，用這種方法往往有些困難，如(1)實(shí)驗(yàn)與觀測(cè)僅給出在一些離散點(diǎn)的函數(shù)值，(2)函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，如，等．(3)計(jì)算某些數(shù)學(xué)模型時(shí)，經(jīng)常遇到大量定積分需要計(jì)算，用牛頓萊布尼茨公式就顯得過(guò)于費(fèi)時(shí)費(fèi)力．基于上述原因，我們有必要研究積分的計(jì)算問(wèn)題．1插值型的求積公式目前，數(shù)值積分用的最多的公式就是插值型的求積公式，其中為給定的一組節(jié)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，并且已知在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值．作插值函數(shù)，為積分的近似值，為求積系數(shù)，通過(guò)插值基函數(shù)積分得出．2代數(shù)精度的概念數(shù)值求積方法是近似計(jì)算，為了保證精度，我們自然希望求積公式能對(duì)“盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確成立，這也就引出了代數(shù)精度的概念．定義1如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于次多項(xiàng)式就不能準(zhǔn)確成立，則稱(chēng)該求積公式具有m次代數(shù)精度．顯然，對(duì)于公式具有m次代數(shù)精度等價(jià)于．因此，討論代數(shù)精度m時(shí)，就要從兩方面討論，一是在m次成立，二是在次不成立．一般地，欲使求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對(duì)于都準(zhǔn)確成立，這就要求，，…（1）=．以下將通過(guò)一道例題來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題．例2.1求的代數(shù)精度．解由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此公式具有1次代數(shù)精度．2.1對(duì)于給定節(jié)點(diǎn)不等距的情況如果事先已給定中的求積節(jié)點(diǎn)如下，此時(shí)，式（1）成為n+1個(gè)未知數(shù)的m+1階線(xiàn)性方程組，顯然時(shí)，有無(wú)窮多組解．用n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)可以構(gòu)造具有多高的代數(shù)精度的求積公式呢？我們有如下定理:定理對(duì)于任意給定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，總存在求積系數(shù)，使求積公式至少具有n次代數(shù)精度．3牛頓—科特斯公式在做積分運(yùn)算的過(guò)程中我們常常將積分區(qū)間劃分為n等份，步長(zhǎng)為選取等距節(jié)點(diǎn)，，i=0,1,2,n，構(gòu)造出插值型求積公式，此公式即為牛頓科特斯公式．特別地當(dāng)時(shí)，，此公式為梯形公式．當(dāng)時(shí)，不難求．此時(shí)相應(yīng)的牛頓—科特斯公式為，此公式稱(chēng)為為辛普森公式．當(dāng)時(shí)，C，此時(shí)的牛頓—科特斯公式特別地稱(chēng)為科特斯公式．但作為插值型的求積公式，n階的牛頓—科特斯公式至少具有n次代數(shù)精度．實(shí)際的代數(shù)精度能否進(jìn)一步提高則是我們更應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題．首先我們考慮偶數(shù)階牛頓科特斯公式的代數(shù)精度．引理牛頓科特斯公式至少具有n次代數(shù)精度；如果n為偶數(shù)，則其代數(shù)精度能提高到n+1次．容易驗(yàn)證辛普森公式的代數(shù)精度剛好是3．先看辛普森公式:它是二階牛頓—科特斯公式，因此至少具有二次代數(shù)精度．進(jìn)一步用進(jìn)行檢驗(yàn)，按辛普森公式計(jì)算得；另一方面，此時(shí)有．即辛普森公式對(duì)不超過(guò)三次的代數(shù)精度均能準(zhǔn)確成立．同樣，我們用進(jìn)行檢驗(yàn)，另一方面，此時(shí)有．因此，辛普森公式具有3次代數(shù)精度．一般地，當(dāng)被積函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，牛頓—科特斯公式余項(xiàng)具有下列結(jié)論:(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則總存在，使得；(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則總存在，使得；由引理及上面的余項(xiàng)公式我們有如下定理．定理2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓—科特斯公式具有次代數(shù)精度；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，它有n次代數(shù)精度．下面我們給出此定理的具體證明．證明我們只要證明出當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓—科特斯公式的余項(xiàng)全為零，的余項(xiàng)不為零即可．按余項(xiàng)，式中與變量x有關(guān)，．由于，從而有．引入變量，并注意到有．若n為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有．據(jù)此就可以制定=0．因?yàn)楸环e函數(shù)=是一個(gè)奇函數(shù)，并且，當(dāng)時(shí)，引進(jìn)變量，并注意到有．因?yàn)閚為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，有．由于是偶函數(shù)，故0．因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓科特斯公式具有n+1次代數(shù)精度．同理，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由，引入變量，并注意到有．若n為奇數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有．因?yàn)楸环e函數(shù)=是一個(gè)奇函數(shù)，故=0．同理，當(dāng)時(shí)，0．即n為奇數(shù)時(shí)，牛頓—科特斯公式具有n次代數(shù)精度．以上討論的是給定等距節(jié)點(diǎn)的情況，下面簡(jiǎn)單說(shuō)一下節(jié)點(diǎn)不等距的情況．3.1對(duì)于給定節(jié)點(diǎn)不等距的情況為了使=成立，（這里為已知），則要有n個(gè)條件，即有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成n-1次多項(xiàng)式，使線(xiàn)性組合有唯一解．即．所以，當(dāng)?shù)仁接形ㄒ唤?；?dāng)?shù)仁綗o(wú)解；當(dāng)?shù)仁接袩o(wú)窮多解．因此，在節(jié)點(diǎn)給定的情況下，代數(shù)精度m為．3.2未給定節(jié)點(diǎn)的情況在未給定節(jié)點(diǎn)位置的情況下，里，是個(gè)待定系數(shù)，是個(gè)待定的點(diǎn)，因此，為使成立，要待定個(gè)條件，構(gòu)成次多項(xiàng)式，使等式唯一確定，即當(dāng)?shù)仁接形ㄒ唤猓划?dāng)?shù)仁綗o(wú)解；當(dāng)?shù)仁接袩o(wú)窮多解．因此，在未給定節(jié)點(diǎn)位置時(shí)，代數(shù)精度m為2．結(jié)束語(yǔ):數(shù)值積分是近似計(jì)算，代數(shù)精度就是基于數(shù)值積分中出現(xiàn)的問(wèn)題提出來(lái)的概念．所謂數(shù)值積分問(wèn)題，就是要通過(guò)某種途徑確定求積系數(shù)及節(jié)點(diǎn)，并使得求積結(jié)果逼近函數(shù)達(dá)到所要求的精度．本文就是在此基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)值積分中由于節(jié)點(diǎn)給出的情況不同對(duì)代數(shù)精度的算法做了淺顯的討論．這點(diǎn)多于做一些提高代數(shù)精度確定求積公式中的待定參數(shù)的試題有一定的幫助．參考文獻(xiàn):［1］吳波英主編.數(shù)值分析原理[M]．北京:科學(xué)出版社,，2003［2］李慶楊王能超易大義.數(shù)值分析[M]第4版[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001［3］徐萃薇孫繩武.計(jì)算方法引論[M