《香煙過濾嘴問題》論文新疆教育學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2011級數(shù)學(xué)教育定向?qū)？瓢?0110310468張靜2014/4/2香煙過濾嘴的作用問題摘要：為了求解過濾嘴的作用及使用的材料和過濾嘴的長度的關(guān)系，我們建立一個描述吸煙過程的數(shù)學(xué)模型，分析人體吸入的毒物數(shù)量與哪些因素有關(guān)，以及他們之間的數(shù)量表達式。通過分析比較，我們得出過濾嘴可一定程度上阻礙煙毒進入人體。關(guān)鍵詞：過濾嘴毒物量毒物吸收率1）問題的提出普遍認為香煙過濾嘴的作用可使吸煙者對尼古丁和煙焦油等毒物的吸收率減少，肺癌死亡率下降。這有何根據(jù)呢？本節(jié)從定量的角度介紹一個模型，描述煙霧通過香煙的過程，分析人體吸入毒物的數(shù)量與哪些因素相關(guān)，說明過濾嘴的作用與使用的材料和過濾嘴的長度之間的關(guān)系。2）模型機理假設(shè)毒物均勻地分布在香煙中，吸煙時點燃處的煙草化為煙霧，毒物由煙霧攜帶著一部分直接進入空氣，另一部分沿著香煙穿行。在穿行過程中，又有一部分被未點燃的煙草和過濾嘴吸收而沉積下來，剩下的部分進入人體。的數(shù)量比例隨吸煙的方式、環(huán)境等多種因素的變化而不同。煙霧沿香煙穿行的速度隨著吸煙動作變化也不斷地變化。為了建立模型，我們希望避開這個復(fù)雜的過程。為此，設(shè)想吸煙者是架機器，吸煙的動作、方式及外部環(huán)境在整個吸煙過程中不變，于是可以認為毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例、煙霧穿行的速度、過濾嘴和煙草對毒物的吸收率等在吸煙過程中都是常數(shù)。香煙燃燒速度與相比，可認為燃點處于靜止?fàn)顟B(tài)。下面用數(shù)學(xué)語言來描述。3）模型假設(shè)1．點燃處毒物隨煙霧進入空氣部分和沿香煙穿行部分的數(shù)量比例是；2．煙霧沿著香煙穿行的速度和香煙燃燒速度都是常數(shù)。且；3．未點燃的煙草和過濾嘴對毒物的吸收率（單位時間內(nèi)毒物被吸收的比例）分別為常數(shù)和；4．香煙總長為，煙草部分長，則過濾嘴長為。整支香煙所含毒物總量均勻分布在長的煙草當(dāng)中。于是毒物的平均密度；5．坐標(biāo)系如圖3-19所示。設(shè)時刻，在處點燃香煙，則在時整支香煙燃盡。圖3-19香煙點燃狀態(tài)4）模型建立首先定義幾個基本函數(shù)：毒物流量：在燃燒過程中的時刻，單位時間內(nèi)通過香煙截面處的毒物量。煙草毒物密度：在燃燒過程中的時刻，截面處單位長度煙草中的毒物含量。煙霧毒物密度：在燃燒過程中的時刻，截面處單位長度煙霧內(nèi)毒物的含量。則。下面分三個階段進行建模討論1．

確定瞬間，單位時間內(nèi)通過處的毒物量。由假設(shè)2中關(guān)于的假定，可以認為燃點靜止不動。為簡單起見，記，。在這一段香煙中，毒物通過和的流量之差為，根據(jù)守恒定律這兩個流量之差應(yīng)該等于這一段未燃煙草或過濾嘴對毒物的吸收量，即或。因此我們有，即。假設(shè)可導(dǎo)，令，將上式兩邊分別求導(dǎo)：。再設(shè)燃點處在單位時間內(nèi)放出的毒物量為。由假設(shè)1知，從而。這時，我們構(gòu)成，解之，得。根據(jù)在處的連續(xù)性，可知，因而構(gòu)成，解得，即。當(dāng)時，。2．確定香煙在燃燒過程中任意時刻，單位時間內(nèi)通過處的毒物流量。由假設(shè)2知為常數(shù)，則時刻香煙燃至處。這時，將第1步中的、、分別改記為、、，其中表示時刻點燃的煙草在單位時間內(nèi)放出的毒物量。根據(jù)與第1步完全類似的推導(dǎo)，只需將第1步中的的表達式中的、和分別替換為、和，即得。由上式直接得出。下面首先確定：設(shè)時刻處，單位時間內(nèi)燃燒的長度，又煙草內(nèi)毒物數(shù)量的密度為，故。綜合上述、、三式，得?，F(xiàn)在的任務(wù)是確定：由假設(shè)4記。隨著的增長，未點燃的煙草在吸煙過程中不斷地吸收煙霧中的毒物，致使上升，根據(jù)守恒定律其增量應(yīng)該等于單位長度煙霧中的毒物被未點燃的煙草吸收的部分。即在時間內(nèi)，，令，得將的表達式代入，推得對上式從0到積分：以代入并兩端同乘，得記,則上式為兩端同時對求導(dǎo)，并注意到時，從而得到關(guān)于的微分方程，解之，得。結(jié)合的原始表達式，這等價于。于是，。3．確定抽完整支香煙時通過處的毒物總量。抽完整支香煙的時間。應(yīng)用積分的方法，易知回顧，代入上式，得。5）模型分析根據(jù)假設(shè)1、4可知，煙霧沿?zé)煵荽┬械亩疚锟偭繛椋^濾嘴長度為。下面我們從幾個不同的角度分析與、、、等因素的關(guān)系。1．注意到的表達式中是使下降的因子。因此，提高值，或加大都能夠?qū)ζ鸬截撝笖?shù)衰減的效果，并且和在數(shù)量上增加一定比例時所起的作用相同。這體現(xiàn)了香煙過濾嘴減少毒物進入人體的作用。另外，降低穿行速度也可減少。2．記，，則在表達式中的。當(dāng)時，，從而。所以，提高煙草吸收率，或加長也有助于減少。但與和對所起的負指數(shù)衰減作用相比，增加和的效果要小得多。3．當(dāng)時，因子，，由此推出。即煙霧穿行的速度過大時，香煙過濾嘴失去作用。因此，奉勸抽煙者切勿猛力抽吸。4．為了更清楚地對過濾嘴的有效性作出評估，我們比較兩支香煙，一支是上述模型討論的，另外一支沒有過濾嘴，香煙總長仍為，但只吸到處即扔掉，參數(shù)、、、與第一支相同。吸第一支和第二支煙進入人體的毒物量分別記作和，當(dāng)然如同上面的的表達式，也不必重新計算，只需把第二支煙設(shè)想成過濾嘴的吸收率與煙草吸收率相同為的假過濾嘴香煙即可，這樣由的表達式可直接寫出和，兩式相比，我們得到?？梢?，若，則；若，則。因此，要做到比不裝過濾嘴有更好的效果，那么過濾嘴對毒物的吸收必須比煙草更為有效。我們還可以看到，如果過濾嘴的長度不變，那么比值隨吸收率的增加成指數(shù)下降。再進一步，如果吸收率不變，則比值隨過濾嘴的長度的增加也成指數(shù)下降。由于提高必須研制新材料，難度較大，所以一般都會建議采用增長過濾嘴的辦法，它可達到同樣的效果有較易辦到。5．設(shè)了過濾嘴，或加長又會帶來另一番惡果。根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，過濾嘴香煙減少有害物質(zhì)，但是，吸煙者在吸煙時，需要花費更大的勁抽吸，并且增加抽吸抽吸的次數(shù)。所以，參照3的分析，在一定程度上抵消了過濾嘴的作用，甚至有可能增加有害物質(zhì)的吸入。此外，由于過濾嘴的卷煙紙較一般煙紙厚，阻礙了香煙燃燒時的氧化作用，增加吸煙的阻力。因此，吸煙者吸入一氧化碳（CO）的量