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第第頁(yè)2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列期末典例專練15:比的應(yīng)用綜合“奧數(shù)思維訓(xùn)練版”[]一、填空題。1.葉平和王軍一共有1020元。若葉平的錢數(shù)增加,王軍的錢數(shù)增加,則兩個(gè)人擁有的錢數(shù)相等。葉平有()元,王軍有()元?!敬鸢浮?80540【分析】先把葉平的錢數(shù)、王軍的錢數(shù)分別看作單位“1”,若葉平的錢數(shù)增加,即現(xiàn)在葉平的錢數(shù)是原來(lái)的(1+);王軍的錢數(shù)增加,即現(xiàn)在王軍的錢數(shù)是原來(lái)的(1+);此時(shí)兩人擁有的錢數(shù)相等,即葉平的錢數(shù)×(1+)=王軍的錢數(shù)×(1+),由此得出葉平的錢數(shù)∶王軍的錢數(shù)=(1+)∶(1+),化簡(jiǎn)比,求出葉平的錢數(shù)∶王軍的錢數(shù)=8∶9;那么葉平的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的,王軍的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的;把兩人的總錢數(shù)看作單位“1”,根據(jù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少,用乘法計(jì)算,分別求出兩人各自的錢數(shù)?!驹斀狻咳~平的錢數(shù)∶王軍的錢數(shù)=(1+)∶(1+)=∶=(×36)∶(×36)=40∶45=(40÷5)∶(45÷5)=8∶9葉平的錢數(shù):1020×=480(元)王軍的錢數(shù):1020×=540(元)葉平有480元,王軍有540元?!军c(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是先求出兩人的錢數(shù)之比,再根據(jù)按比分配的解題方法,把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù),根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義解答。2.圖書(shū)館買回一批新圖書(shū),分別放在甲、乙兩個(gè)書(shū)架上,甲書(shū)架放了這批書(shū)的。如果從甲書(shū)架拿出150本放到乙書(shū)架,那么甲、乙兩個(gè)書(shū)架所放書(shū)本數(shù)的比是2∶3,這批圖書(shū)共有()本?!敬鸢浮?000【分析】把這批書(shū)的總本數(shù)看作單位“1”,甲書(shū)架放了這批書(shū)的,如果從甲書(shū)架拿出150本放到乙書(shū)架,那么甲、乙兩個(gè)書(shū)架所放本書(shū)的比是2∶3,即現(xiàn)在甲書(shū)架上書(shū)的本數(shù)占這批書(shū)的;由此可知150本占這批書(shū)的(-),單位“1”未知,用除法計(jì)算,即可求出這本批書(shū)的總本數(shù)?!驹斀狻?50÷(-)=150÷(-)=150÷(-)=150÷=150×=1000(本)這批圖書(shū)共有1000本?!军c(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)除法與比的實(shí)際應(yīng)用,把比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù),找出單位“1”,分析出150本占總本數(shù)的幾分之幾,單位“1”未知,根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義解答。3.有兩塊同樣重的合金,一塊合金中銅與鋅的比是1:5,另一塊合金中銅與鋅的比是2:3,現(xiàn)將兩塊合金合成一塊,新合金中銅與鋅的比是()?!敬鸢浮?7:43【詳解】試題分析:假設(shè)每塊合金重30,那么第一塊中銅占合金的,根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義,則銅有30×=5,鋅有30﹣5=25;第二塊中銅占合金的,根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義,則銅有30×=12,鋅有30﹣12=18;則合成一塊,銅5+12=17,鋅25+18=43,進(jìn)而求比即可.解:假設(shè)每塊合金重30,1+5=6,2+3=5,(30×+30×):(30×+30×),=(5+12):(25+18),=17:43;答:新合金中銅與鋅的比是17:43.故答案為17:43.點(diǎn)評(píng):解答此題的關(guān)鍵:先假設(shè)每塊合金重30,進(jìn)而根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義,分別求出兩塊合金中鋅和銅的重量,然后求出新合金中鋅和銅的重量,再求比即可.4.有兩組數(shù),第一組數(shù)的平均數(shù)是13.6,第二組數(shù)的平均數(shù)是10.8,而這兩組數(shù)總的平均數(shù)是12.4,那么,第一組數(shù)的個(gè)數(shù)與第二組數(shù)的個(gè)數(shù)的比值是()?!敬鸢浮?:3【詳解】試題分析:根據(jù)本題中所給的數(shù)量關(guān)系,如果第一組數(shù)和第二組數(shù)的總個(gè)數(shù)為“1”的話,可設(shè)第一組為x,那么第二組就為(1﹣x),由此可得方程:13.6x+10.8×(1﹣x)=12.4.解:把總個(gè)數(shù)當(dāng)做“1”,可設(shè)第一組為x則:13.6x+10.8×(1﹣x)=12.4,13.6x+10.8﹣10.8x=12.4,2.8x=1.6,x=;則第二組為:1﹣=,它們的比為:=4:3.故答案為4:3.點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是把總個(gè)數(shù)看做“1”.5.小剛,小強(qiáng)兩人騎車的速度之比是15:13,如果小剛,小強(qiáng)分別由甲、乙兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,半小時(shí)后相遇;如果他們同向而行,那么小剛追上小強(qiáng)需要()小時(shí)。【答案】7【詳解】試題分析:根據(jù)題干可令小剛和小強(qiáng)的速度分別為15和13,由此求得兩地距離即:小強(qiáng)和小剛之間的距離差為14,由此即可解決問(wèn)題.解:令小剛和小強(qiáng)的速度分別是15,13,則甲乙兩地的距離是:(15+13)×0.5=14,14÷(15﹣13)=14÷2=7(小時(shí));答:小剛追上小強(qiáng)需要7小時(shí).故答案為7.點(diǎn)評(píng):此題的關(guān)鍵是得出小強(qiáng)和小剛的速度從而求得二者的距離差.6.兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比是10;9,第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比是7:3,第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比是5:4.這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比是()?!敬鸢浮?1:20【詳解】試題分析:根據(jù)題干“兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比是10;9”,則周長(zhǎng)的一半,即它們的一條長(zhǎng)與一條寬的和的比也是10:9,設(shè)第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是10a,則第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是9a,由此根據(jù)它們的長(zhǎng)與寬的比分別求出長(zhǎng)與寬,再利用長(zhǎng)方形的面積公式即可解答.解:根據(jù)題干分析可得:這兩個(gè)長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和的比是10:9,設(shè)第一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是10a,則長(zhǎng)是:10a×=7a,寬是10a﹣7a=3a;第二個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和是9a,則長(zhǎng)是:9a×=5a,寬是9a﹣5a=4a,所以這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積比是:(7a×3a):(5a×4a)=21:20,答:兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之比是21:20.故答案為21:20.點(diǎn)評(píng):根據(jù)題干得出這兩個(gè)長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和的比是10:9,再利用長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比分別表示出它們的長(zhǎng)與寬,即可解答.7.三批貨物共值2250元.按質(zhì)量,第一批和第二批的比是1:2,第二批和第三批的比是1:2.5;按單價(jià),第一批和第二批的比是3:1,第二批和第三批的比是7:3.則第一批貨物值()元?!敬鸢浮?45【詳解】試題分析:按照質(zhì)量比第一批和第二批的比是1:2,第二批和第三批的比是1:2.5,以及比的基本性質(zhì)可得:第一批:第二批:第三批=1:2:5,按照單價(jià)比第一批和第二批的比是3:1,第二批和第三批的比是7:3,以及比的基本性質(zhì)可得:第一批:第二批:第三批=21:7:3,然后依據(jù)總價(jià)=數(shù)量×單價(jià),求出三批貨物的總價(jià)比,最后按比例分配即可解答.解:三批貨物質(zhì)量比:1×2=2,2.5×2=5,第一批:第二批:第三批=1:2:5,三批貨物單價(jià)比:3×7=21,1×7=7,第一批:第二批:第三批=21:7:3,三批貨物總價(jià)比:1×21=21,2×7=14,5×3=15,第一批:第二批:第三批=21:14:15,2250×,=2250×,=945(元),答:第一批貨物值945元,故答案為945.點(diǎn)評(píng):解答本題的依據(jù)是數(shù)量關(guān)系式:總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,關(guān)鍵是求出三批貨物的質(zhì)量和單價(jià)比.8.某大型超市共有收銀員若干名,其中男女人數(shù)的比是5:3,收銀部的主管將所有收銀員按8:7:5分成早班組、中班組和晚班組.早班組中男女人數(shù)比是3:1,晚班組中男女人數(shù)比是4:3,中班組中男女人數(shù)比是()。【答案】51:47【詳解】試題分析:由題意可知:男女人數(shù)的比是5:3,這樣看,男女一共是8份,所以男員工占,女員工占;收銀部的主管將所有收銀員按8:7:5分成早中晚班組,一共是20份,早班,中班,晚班,即:早班,中班,晚班;根據(jù):早班組中男女人數(shù)的比是3:1,所以早班人員中男員工占,女員工占;根據(jù):晚班組中男女人數(shù)的比是4:3,所以晚班員中男員工占,女員工占;男員工除掉安排早、晚班以后:﹣×﹣×=;女員工除掉安排早、晚班以后:﹣×﹣×=;剩下的男女員工就是安排在中班的,它們的比為::=51:47;據(jù)此解答即可.解:男女人數(shù)的比是5:3,這樣看,男女一共是8份,所以男員工占,女員工占;收銀部的主管將所有收銀員按8:7:5分成早中晚班組,一共是20份,早班,中班,晚班,即:早班,中班,晚班;根據(jù):早班組中男女人數(shù)的比是3:1,所以早班人員中男員工占,女員工占;根據(jù):晚班組中男女人數(shù)的比是4:3,所以晚班員中男員工占,女員工占;男員工除掉安排早、晚班以后:﹣×﹣×=;女員工除掉安排早、晚班以后:﹣×﹣×=;剩下的男女員工就是安排在中班的,它們的比為::=51:47;故答案為51:47.點(diǎn)評(píng):解答此題的關(guān)鍵是:先求出早班組和晚班組中男女的人數(shù)占總數(shù)的幾分之幾,進(jìn)而求出中班組中男女的人數(shù)占總數(shù)的幾分之幾,于是問(wèn)題得解.9.如圖,4個(gè)相同的直角三角形圍成了一個(gè)正方形,已知a∶b=1∶2,陰影部分的面積占大正方形面積的()。【答案】【分析】根據(jù)題意可知,陰影部分的邊長(zhǎng)等于直角三角形的斜邊的長(zhǎng),已知直角三角形兩條直角邊的比是1∶2,大正方形的邊長(zhǎng)等于兩條直角邊的和,根據(jù)正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng),先求出大正方形的面積,把大正方形的面積看作單位“1”,再求出四個(gè)直角三角形占大正方形的幾分之幾,再用單位“1”減去四個(gè)直角三角形占大正方形的幾分之幾,就求出了中間的正方形的面積占大正方形面積的幾分之幾?!驹斀狻看笳叫蔚倪呴L(zhǎng)等于兩條直角邊的和,即1+2=3;1-1×2÷2×4÷32,=1-4÷9,=1,=【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形面積的計(jì)算,解答關(guān)鍵是求出大正方形的面積,把它看作單位“1”,再求出4個(gè)三角形的面積正方形的面積占大正方形面積的幾分之幾,用單位“1”減4個(gè)三角形占大正方形的幾分之幾即可。由此解決問(wèn)題。10.如圖所示為一個(gè)污水凈化塔內(nèi)部,污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等腰直角三角形的凈化材料表面,流向如圖中箭頭所示,每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會(huì)相同,經(jīng)過(guò)四層凈化后流入底部的5個(gè)出口中的一個(gè),則第3、4兩個(gè)出水口的出水量之比為()?!敬鸢浮?∶2【分析】根據(jù)題意,假設(shè)第一次分流的出水量是16,然后根據(jù)每一次水流流經(jīng)三角形兩腰的機(jī)會(huì)相同,分別求出下一次分流的水量,并求出每個(gè)出水口最后的出水量是多少,再用第3個(gè)出水口的出水量比第4個(gè)出水口的出水量即可。【詳解】假設(shè)第一次分流的出水量是16,每次分流的出水量如圖:1號(hào)出水口的出水量是:1,2號(hào)出水口的出水量是:1+3=4,3號(hào)出水口的出水量是:3+3=6,4號(hào)出水口的出水量是:3+1=4,5號(hào)出水口的出水量是:1。所以,第3、4兩個(gè)出水口的出水量之比為6∶4=3∶2。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是設(shè)第一次分流的出水量是16,進(jìn)而分別求出每個(gè)出水口最后的出水量是多少。二、解答題。11.五(一)班原計(jì)劃抽的人參加大掃除,臨時(shí)又有個(gè)同學(xué)主動(dòng)參加,實(shí)際參加掃除的人數(shù)是其余人數(shù)的。原計(jì)劃抽多少個(gè)同學(xué)參加大掃除?【答案】8人【分析】把全班的總?cè)藬?shù)看作單位“1”,“實(shí)際參加的人數(shù)是沒(méi)參加的”轉(zhuǎn)化為“實(shí)際參加的是總數(shù)的”,找2對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)(),據(jù)除法的意義求出全班的人數(shù),全班人數(shù)乘得出原來(lái)參加大掃除的人數(shù)?!驹斀狻?÷()×=2÷×=40×=8(人)答:原計(jì)劃有8位同學(xué)參加大掃除?!军c(diǎn)睛】這道題關(guān)鍵在于統(tǒng)一單位“1”,“實(shí)際參加的人數(shù)是沒(méi)參加的”轉(zhuǎn)化為“實(shí)際參加的是總數(shù)的”。12.小明是從昨天開(kāi)始看這本書(shū)的,昨天讀完以后,小明已經(jīng)讀完的頁(yè)數(shù)是還沒(méi)讀的頁(yè)數(shù),他今天比昨天多讀了頁(yè),這時(shí)已經(jīng)讀完的頁(yè)數(shù)是還沒(méi)讀的頁(yè)數(shù)的,問(wèn)題是,這本書(shū)共有多少頁(yè)?【答案】280頁(yè)【分析】首先,可以直接運(yùn)算得出,第一天小明讀了全書(shū)的,而前二天小明一共讀了全書(shū)的,所以第二天比第一天多讀的頁(yè)對(duì)應(yīng)全書(shū)的。所以整本書(shū)一共有(頁(yè))。【詳解】第一天讀了全書(shū)的:前兩天小明一共讀了全書(shū)的:第二天比第一天多讀的頁(yè)對(duì)應(yīng)全書(shū)的(頁(yè))答:這本書(shū)共有280頁(yè)。【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)除法的意義,將全書(shū)看成單位“1”,那么將每個(gè)量占全書(shū)頁(yè)數(shù)的分?jǐn)?shù)求出來(lái)。13.小莉和小剛分別有一些玻璃球,如果小莉給小剛24個(gè),則小莉的玻璃球比小剛少;如果小剛給小莉24個(gè),則小剛的玻璃球比小莉少,小莉和小剛原來(lái)共有玻璃球多少個(gè)?【答案】132個(gè)【分析】小莉給小剛24個(gè)時(shí),小莉是小剛的(=1一),即兩人球數(shù)和的;小剛給小莉24個(gè)時(shí),小莉是兩人球數(shù)和的(=),因此24+24是兩人球數(shù)和的=。從而,和是(24+24)÷=132(個(gè))。【詳解】(24+24)÷(1-)=48÷(1-)=48÷=48×=132(個(gè))答:小莉和小剛原來(lái)共有玻璃球132個(gè)。【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算應(yīng)用,關(guān)鍵要找到單位“1”,并且找到量和對(duì)應(yīng)的分率應(yīng)用除法來(lái)解出單位“1”。14.甲、乙、丙三堆棋子總共有100多枚.先從甲堆分一些棋子給另外兩堆,使得乙、丙兩堆的棋子數(shù)增加1倍;接著,從乙堆分一些棋子給另外兩堆,使得甲、丙兩堆各增加2倍;最后,從丙堆分一些棋子給另外兩堆,使得甲、乙兩堆各增加3倍,此時(shí)甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是1:2:3.請(qǐng)問(wèn):原來(lái)三堆棋子各有多少枚?【答案】甲、乙、丙原來(lái)各有73、50和21枚.【詳解】試題分析:首先由丙分之后甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是1:2:3,根據(jù)比的基本性質(zhì)變形,進(jìn)一步得到丙分之前,乙分之前,甲分之前甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比,再根據(jù)甲、乙、丙三堆棋子總共有100多枚即可求解.解:丙分之后甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是1:2:3=4:8:124÷(3+1)=18÷(3+1)=212+(4﹣1)+(8﹣2)=21丙分之前是1:2:21=3:6:633÷(2+1)=163÷(2+1)=216+(3﹣1)+(63﹣21)=50乙分之前是1:50:21=2:100:42100÷(1+1)=5042÷(1+1)=212+(100﹣50)+(42﹣21)=73甲分之前是73:50:21又因?yàn)榧住⒁?、丙三堆棋子總共?00多枚,73+50+21=144(枚),所以甲、乙、丙原來(lái)各有73、50和21枚.點(diǎn)評(píng):考查了按比例分配應(yīng)用題和逆推問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是得到甲分之前甲、乙、丙三堆棋子數(shù)的比是73:50:21.15.某工地用三種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方.已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6,速度比為3:4:5,運(yùn)送土方的路程之比為15:14:14,三種車的輛數(shù)之比為10:5:7.工程開(kāi)始時(shí),乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸,但甲種車只有一半投入,直到10天后,另一半甲種車才投入工作,又干了15天才完成任務(wù).求甲種車完成的工作量與總工作量之比.【答案】16:41.【詳解】試題分析:甲種車的一半干25天,另一半干15天,相當(dāng)于所有甲種車都干20天,所以甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比為20:25:25=4:5:5,相同時(shí)間內(nèi),三種車各一輛完成的工作量之比為::=14:14:15,甲、乙、丙三種車完成的工作量之比為(14×10×4):(14×5×5):(15×7×5)=112:70:105.進(jìn)而求得甲種車完成的工作量與總工作量之比.解:甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比為20:25:25=4:5:5三種車各一輛完成的工作量之比為::=14:14:15甲、乙、丙三種車完成的工作量之比為(14×10×4):(14×5×5):(15×7×5)=112:70:105.甲種車完成的工作量與總工作量之比為112:(112+70+105)=112:287=16:41答:甲種車完成的工作量與總工作量之比是16:41.點(diǎn)評(píng):題的關(guān)鍵是求出甲、乙、丙三種車工作時(shí)間之比以及甲、乙、丙三種車完成的工作量之比.16.往返于A、B兩地的甲、乙兩輛公共汽車分別從A、B兩城同時(shí)相向出發(fā),各自到達(dá)終點(diǎn)停車5分鐘便返回出發(fā)地,并同時(shí)到達(dá)C站.已知C站距A、B的中點(diǎn)6千米,甲、乙兩輛汽車的速度比是6:5,求AB兩城相距多少千米?【答案】44千米【詳解】試題分析:設(shè)AB兩城相距s千米,從開(kāi)始到到達(dá)C站所用時(shí)間為t,到達(dá)C站時(shí),甲走的路程為(1.5s+6)千米,乙走的路程為(1.5s﹣6)千米,根據(jù)甲、乙兩輛汽車的速度比是6:5,列式解答即可.解:設(shè)AB兩城相距s千米,從開(kāi)始到到達(dá)C站所用時(shí)間為t,5(1.5s+6)=6(1.5s﹣6)7.5s+30=9s﹣3630+36=9s﹣7.5s66=1.5ss=44,答:AB兩城相距44千米.點(diǎn)評(píng):本題考查了簡(jiǎn)單的行程問(wèn)題以及比的應(yīng)用.關(guān)鍵是得出到達(dá)C站時(shí),甲走的路程為(1.5s+6)千米,乙走的路程為(1.5s﹣6)千米.17.甲、乙、丙三人合作生產(chǎn)一批機(jī)器零件,甲生產(chǎn)的零件數(shù)量的一半與乙生產(chǎn)的零件數(shù)量的五分之三相等,又等于丙生產(chǎn)的零件數(shù)量的四分之三,已知乙比丙多生產(chǎn)50個(gè)零件,問(wèn):這批零件共有多少個(gè)?【答案】750個(gè)【分析】解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于將甲生產(chǎn)零件數(shù)量的一半等于乙生產(chǎn)零件數(shù)量的五分之三等于丙生產(chǎn)零件數(shù)量的四分之三轉(zhuǎn)化為同一基準(zhǔn),由于知道乙比丙多生產(chǎn)50個(gè)零件,不妨以乙生產(chǎn)的零件數(shù)量為單位“1”。【詳解】方法1:根據(jù)已知條件可得:因?yàn)榧咨a(chǎn)的零件數(shù)×=乙生產(chǎn)零件數(shù)量×,所以甲生產(chǎn)的零件數(shù)=乙生產(chǎn)的零件數(shù)×,即,甲生產(chǎn)的零件數(shù)量是乙生產(chǎn)的零件數(shù)量的。因?yàn)楸a(chǎn)的零件數(shù)量×=甲生產(chǎn)的零件數(shù)量×,所以丙生產(chǎn)的零件數(shù)量=甲生產(chǎn)的零件數(shù)量×,所以丙生產(chǎn)的零件數(shù)量是乙生產(chǎn)的零件數(shù)量的×=由于乙比丙多生產(chǎn)了50個(gè)零件,所以乙生產(chǎn)的零件數(shù)量為:50×(1-)=250(個(gè)),甲生產(chǎn)的零件數(shù)量為:250×=300(個(gè)),丙生產(chǎn)的零件數(shù)量為300×=200(個(gè))。甲、乙、丙共生產(chǎn)零件250+300+200=750(個(gè))答:這批零件共750個(gè)。方法2:因?yàn)椋杭咨a(chǎn)的零件數(shù)∶乙生產(chǎn)的零件數(shù)=甲生產(chǎn)的零件數(shù)∶丙生產(chǎn)的零件數(shù)所以:丙的數(shù)量∶乙的數(shù)量=4∶5;可得:甲∶乙∶丙=6∶5∶4總份數(shù):6+5+4=15(份)共生產(chǎn)零件數(shù)量為:50÷(-)=750(個(gè))答:
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