第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時(shí)空間中的夾角問題學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.理解線線、線面、面面夾角的向量表示直觀想象、抽象數(shù)學(xué)2.會(huì)用向量方法求直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|

空間三種角的向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為a，b，則cosθ＝____________＝__________________|cos〈a，b〉|

角的分類向量求法范圍直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝____________＝__________________二面角設(shè)二面角α－l－β為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|＝_____________＝__________________|cos〈a，n〉|

|cos〈n1，n2〉|

[0，π]

1．思維辨析(對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”)(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.(

)(2)直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角的余角就是直線l與平面α所成的角． (

)(3)二面角α－l－β的大小為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2則θ＝〈n1，n2〉． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【預(yù)習(xí)自測(cè)】【答案】A3．已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為 (

)A．45° B．135°C．45°或135° D．90°【答案】C|課堂互動(dòng)|題型1異面直線所成的角

(2)(2023年通化檢測(cè))如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，∠ACB＝90°，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為________.(3)用坐標(biāo)法求異面直線的夾角的方法①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②找到兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)形式；③利用向量的夾角公式計(jì)算兩直線的方向向量的夾角；④結(jié)合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角．1．如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB＝4，求異面直線AQ與PB所成角的余弦值．題型2直線與平面所成的角如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°．(1)求證：AP⊥PC；(2)設(shè)AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直線CB與平面PCD所成角的正弦值．(1)證明：因?yàn)槠矫鍼AB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，則BC⊥AP．又因?yàn)锳P⊥PB，且PB∩BC＝B，故AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC．圖1

圖2

利用坐標(biāo)法求二面角的步驟設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小，如圖．3．如圖，已知四棱錐S－ABCD，SD＝SB，在平行四邊形ABCD中，AD＝CD，Q為SC上的點(diǎn)，過AQ的平面分別交SB，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且BD∥平面AEQF．(1)證明：如圖1，連接AC交BD于點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，且AD＝CD，所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．因?yàn)锽D∥平面AEQF，平面AEQF∩平面SBD＝EF，BD?平面SBD，所以BD∥EF．因?yàn)锽D⊥AC，所以EF⊥AC．圖1圖2

審題指導(dǎo)：(1)要證明DE⊥平面ACD，需要證明DE與平面ACD內(nèi)兩條相交直線垂直，其中DE⊥DC較明顯，由平面ABC⊥平面BCDE，且AC⊥BC，證得AC⊥平面BCDE，從而DE⊥AC．(2)要求二面角B－AD－E的大小，可先以D為原點(diǎn)建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式計(jì)算二面角的大?。绢}后悟道】1．利用條件建立空間直角坐標(biāo)系充分利用題干中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，使幾何體的頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上，建系或在求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)用到的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系要進(jìn)行必要的說明，如本例中，AC⊥平面BCDE，不僅用于證明AC⊥DE，還為求點(diǎn)A的坐標(biāo)提供依據(jù)．|素養(yǎng)達(dá)成|2．向量法求直線與平面所成角的原理1．(題型2)若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于 (

)A．120° B．60°C．30° D．以上均錯(cuò)【答案】C【解析】由直線與平面所成的角的范圍及與向量所成角的關(guān)系知直線l與平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°．2．(題型3)已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為

(

)A．45° B．135°C．9