專題08立體幾何綜合

【母題來源】2022年新高考1卷

【母題題文】已知正方體hftl—h/i力L，則（）

A,直線必與由,所成的角為90°

B.直線的與辦所成的角為90°

C.直線方與平面所成的角為45°

D.直線芯與平面hill所成的角為45°

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】如圖，直三棱柱hii—h/i/i/的體積為4,的面積為2的.

（〃求h到平面h』i的距離；

⑵設(shè)1為h/i的中點(diǎn)，h%=hi,平面h/Iil?平面h%h/,求二面角h-11一i的正弦值.

【母題來源】2022年新高考II卷

卜母題題文】如圖，四邊形疝1為正方形，直，平面疝1,n/ALhi=ii=2ii,

記三棱錐T—hii,T-hn,i—hii的體積分別為g,o2,o5,則()

A.63=26,

B.63=261

C.63=6；+o2

D.26j=3o/

【母題來源】2022年新高考II卷

【母題題文】如圖,L是三棱錐I一疝的高，！h="，hI_Lhi,T是「的中點(diǎn).

(〃證明：p■〃平面時(shí)；

⑵若NhiL=N/L=30°,1L=3,|h=5,求二面角i一hT—i正弦值.

【命題意圖】

考察棱柱、棱錐棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能畫出簡單空間圖形并能識(shí)別立體

圖形的模型，考察兒何體中的點(diǎn)線面關(guān)系，考察線線、線面、面面之間的平行和垂直關(guān)系，考察異面

直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角的平面角等的求解，考察數(shù)形結(jié)合思想，空間想象力及

邏輯推導(dǎo)能力.

【命題方向】

立體幾何綜合考察，考察用立體幾何的知識(shí)證明線線、線面、面面的平行與垂直.考察體積和表面積的求

解運(yùn)算能力，考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.能熟練運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量運(yùn)算，把空間立體幾何問

題轉(zhuǎn)化為空間向量問題。能運(yùn)用平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，進(jìn)行證明和求解計(jì)算.

【得分要點(diǎn)】

一、向量角度:

X|X2+y|j2+z,z2

a=(X”ypZ)),ft=(x2,y2,z2)cos(a,B)=

yj^+y^+z^yjx^+y^+z^

二、角度公式:

（1）、異面直線夾角（平移角，也是銳角和直角峰（0.夕）

cos"Icos(獲)|=Jx占+yj+zR

'/Jxj+yj+zj

（2）、直線與平面所成的角（射影角，也是夾角，必嗚］）而是平面法向量

sin8=|cos（昉尸應(yīng)"型嶺+它」

Jx；+y|2+z：

（3）、二面角（法向量的方向角，tfe［0.7z］）源平面法向量

Ix.x,+y,y^+z,z,|

|cos<9|=lcos(m,"，=「

22+z2

:xj+yj+z：7-v2+y22

判斷正負(fù)方法（經(jīng)驗(yàn)型結(jié)論）:

（1）觀察法；

（2）同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等;

三、向量計(jì)算點(diǎn)到距離公式（棱錐等的高）

XiXz+yiH+zv|

d=|尸/1sin6=|尸川?|cosg)l=!

|n|

一、多選題

1.（2022?福建?莆田八中高三開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面是正方形，“l(fā)平面/8C2S/=/8,

。尸分別是4c,sc的中點(diǎn)，〃是棱以＞上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.OM1PA

B.存在點(diǎn)M使0例//平面S8C

C.存在點(diǎn)〃，使直線0"與所成的角為30。

D.點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值

2.（2022?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五棱錐尸-/8CZJE中，P/1平面/BC0E,

ABIICD,ACIIED,AEIIBC,NABC=4S,AB=2?,BC=2AE=4,△48是等腰三角形.則（）

A.平面尸CD1平面P4c

B.直線PB與平面PC。所成的角為的大小為60。

C.四棱錐P-/COE的體積為正

3

D.四邊形4C0E的面積為3

3.（2022?湖北?襄陽五中模擬預(yù)測(cè)）正方體44GA的棱長為1,瓦RG分別為BC,CG，網(wǎng)的中點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)H在線段4G上，則下列結(jié)論中正確的是（）

9

A,直線4E與直線中|異面B.平面4跖截正方體所得的截面面積為-

8

C.存在點(diǎn)“，使得平面/￡〃//平面CDAGD.三棱錐/-EC”的體積為定值

4.（2022?湖南?長沙市明德中學(xué)二模）如圖，”8是底面直徑為2高為1的圓柱的軸截面，四邊形OQD4

繞。。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)8（0v8w勸到。OQM,則（）

A.圓柱0a的側(cè)面積為4/r

B,當(dāng)0<6<“時(shí)，DD}1A,C

C.當(dāng)6=^?時(shí)，異面直線4。與OQ所成的角為:

D.A/ICD面積的最大值為6

5.（2021?河北?滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中S-/BCD中，力8C。為正方形，

SC=SD=CD=\,￡為線段5D的中點(diǎn)，F(xiàn)為4c與BD的交點(diǎn)、,ADLSD,則下列結(jié)論正確的是（）

A.8cl平面SCOB.EFP平面S48

C,平面SC。1平面/8C。D,線段8E長度等于線段S/長度

6.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）已知正方體N8C。-44GA的棱長為1,E為棱相＞上的動(dòng)點(diǎn)，平面a

過點(diǎn)E且與平面平行，則（）

A.BiEJ.Cn

B.三棱錐的體積為定值

c.AE與平面所成的角可以是g

D.平面。與底面/8C。和側(cè)面的交線長之和為2后

7.（2022?遼寧鞍山?二模）如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體/8CO-48cA的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝IJ（）

A.當(dāng)P在平面8CC圈上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P-4IQQ的體積不變

B.當(dāng)尸在線段/c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。尸與4a所成角的取值范圍是[g,j]

C,使直線AP與平面所成的角為45。的點(diǎn)P的軌跡長度為”+4企

D.若尸是4月的中點(diǎn)，當(dāng)尸在底面N8C。上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸〃平面8cA時(shí)，PF長度的最小值是逐

8.（2022?海南?？?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長方體力8。-44cH中，AAt=2AB=2AD,E,尸分別是棱GA,

CG的中點(diǎn)，則（）

A.△8OE是等邊三角形B,直線4E與8尸是異面直線

C./尸1平面BOED.三棱錐與三棱錐的體積相等

二、解答題

9.（2020?重慶?高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸中，PCJ_底面48CZ）,48C。是直角梯形，ADLDC,

A81/DC,AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E是P8的中點(diǎn).

（1）證明：平面E4CJ_平面尸8C；

（2）若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為縣；

3

①求三棱錐P-/CE的體積；

②求二面角P-AC-E的余弦值.

10.（2022?重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱/8C-44G中，/8_L8C,平面/CG41平面/8C,/4=4C,

E,尸分別為線段/C4用的中點(diǎn).

Bi

(1)求證：EFLBC；

Q）若AB=BC=五,直線44與平面CE尸所成角的正弦值為且N4/C>30。，求三棱錐即的體

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