清單07二次函數與事函數

知識與方法清單

i.二次函數解析式的三種形式

⑴一般式：J(x)=ax2+bx+c(?#O)；

(2)頂點式：,/(x)=a(x—〃?)2+〃(4和)；

(3)零點式:y(x)=a(x-Xj)(x-x2)(a#)).

【解讀】根據已知條件確定二次函數的解析式，一般用待定系數法，方法如下：

——|三點坐標|——T選用一般式|

頂點坐集一!

------1對稱軸］?I選用頂點式|

L~|最大(小)禰］

——|與*軸兩交點坐標I選用零點式|

【對點訓練1］己知二次函數左)滿足人2)=-1次-1)=-1,且＜x)的最大值是8,則二次函數的解析式為

【答案】7(x)=-4x2+4x+7

(4a+2h+c=-\,,,

a=—4,

方法一：(利用一般式)設危尸加+法+血和)，由題意得j'解之得＜。=4,

、4訛4一a爐=8,［c=7.r

所以所求二次函數為y=-4/+4x+7.

2+(—1)1

方法二：(利用頂點式)設火工)=。5一m)2+〃3邦),因為人2)=火一1),所以拋物線對稱軸為x=---------=1

所以“T，又根據題意，函數有最大值為8,所以〃=8,所以./U)=a(x—/+8.因為12)=—1,即

c(2—+8=—1.解之得a=-4.所以外)=-4(x—力+8=—4x2+4x+7.

方法三：(利用零點式)由已知人］)+1=0的兩根為內=2上=-1,即ga)=/a)+i的兩個零點為2,—1,

4〃(—2a—1)—/7-

故可設?r)+l=4(x—2)(犬+1)(#0),即人用二以2一以一2a—1.又函數有最大值ymax=8,即

=8,解之得〃=—4,所以所求函數解析式為7(x)=—4/+我一2x(—4)—1=—4/+4x+7.

2.二次函數的圖象與性質

二次函數段)=依2+版+以〃8)的圖象是一條拋物線,它的對稱軸、頂點坐標、開口方向、值域、單調性分別

是：

b

⑴對稱軸：x=----；

2a

小、k上ML（b4QC-/?2、

（2）頂點坐標：----,--------；

I2Q4Q,

（3）開口方向：a>0時，開口向上一,〃VO時，開口向下；

（4）值域：〃>0時必V0時,yW；

（5）單調性：。>0時在上（一8,一微，是減函數，在（一盤，+，）上是增函數；。<0時?r）在（一8,一給上

是增函數，在（一5，+8）上是減函數.

【解讀】對于函數遂力=以2+公+c,若是二次函數，就隱含“知,當題目未說明是二次函數時，就要分。=0和

兩種情況討論.②在二次函數尸底+"+以w0）中,a的正負決定拋物線開口的方向（a的大小決定開口大

?。?c確定拋物線在），軸上的截距力與a確定頂點的橫坐標（或對稱軸的位置）.

【對點訓練2］如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點4（一3,0）,對稱軸為x=-1.給出下面

四個結論：

①加>4"。；②2a—6=1；③a—6+c=0；④5a<6.其中正確的是（）

A.①③B.0@C.②③D.②④

【答案】B

_b

【解析咽為圖象與x軸交于兩點,所以。2—4ac>0,即〃>4%①正確;對稱軸為X=-1,即一或=一1,2“

—6=0,②錯誤；結合圖象，當x=-1時,y>0,即a—b+c>0,③錯誤；由對稱軸為x=-1知力=2”,又函數圖

象開口向下，所以。<0,所以5a<2a,即5a<b,④正確.故選B.

3.根據二次函數單調性求參數范圍，常轉化為二次函數圖象的對稱軸與單調區(qū)間的位置關系，若二次函數在某

區(qū)間上單調，則該區(qū)間在對稱軸的一側，若二次函數在某區(qū)間上不單調,則對稱軸在該區(qū)間內（非端點），

【對點訓練3】（安徽省六安市高三上學期月考）如果函數/（力=尤2-必;-3在區(qū)間（-8,2］上單調遞減，那

么實數。滿足的條件是（）

A.a>2B.a<2C,a>4D.a>-4

【答案】C

【解析】由二次函數〃x）=x2—融―3的對稱軸為x且開口向上，若在區(qū)間（-oo,2］上單調遞減，

可得：q22,解得。24,故選C.

2

4.二次函數、二次方程、二次不等式三者之間的關系

二次函數段）=加+隊+。（中0）的零點（圖象與x軸交點的橫坐標）是相應一元二次方程ax2+hx+c=0的根，

也是一元二次不等式加+加+介。（或加+云+區(qū)0）解集的端點.

【對點訓練4】不等式a?—法+c>。的解集為"|一2<%<1},則函數丁=0?+法+。的圖像大致為（）

【解析】

—2。+1=—b

ab=-a

不等式ax?+灰+°>0的解集為{工|一2<工<11,.'.,-2x1=-/.c=-2a,

a

a<0

a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a（x2一x-2）,圖象開口向下，兩個零點為2,-1.故選C.

5.二次函數在閉區(qū)間上的最值

二次函數在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點或二次函數的頂點處取得，可分別求值再比

較大小，最后確定最值.

【對點訓練5】（2021江蘇省南通市高三上學期月考）若使得不等式犬―2x+a<（）成立，則實

數a的取值范圍為()

A.a<—3B.a<0C.a<\D.a>—3

【答案】C

2

【解析】因為玉L2],使得不等式x-2x+a<0成立，所以玉W一1,2],使得不等式af+2x成立，

令/(x)=-%2+2x,xe[-l,2],因為對稱軸為x=Lxw[-l,2],所以y(x)max=/⑴=1,

所以。<1,故選C

6.含參二次函數在閉區(qū)間上的最值要依據對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論.

【對點訓練6】(2021浙江省臺州市高三上學期期中)己知為正實數涵數/(力=/-2%+。,且對任意

xe[0,r],w|/(x)|<a成立.若對每一個正實數a，記t的最大值為g⑷,若函數g⑷的值域記為B,則下

列關系正確的是()

A.2&BB.-iBC.3eBD.-iB

23

【答案】A

【詳解】；/(%)=——2x+a函數/(x)的圖象開口向匕對稱軸為x=1

2

①0<4,1時J(x)在[0,〃上為減函數,=/(O)=a,f(x)min=f(t)=t-2t+a

???對任意的都有/(x)wHz,a]..-.-a<t2-2t+a^t2-2t+2a>0,

,1

當△=(—2)——4x2a=4(l—2“)<0.即423時,0<%,1,

當△=(一2)2—4乂2。=4(1-24)>0,即0<4<；時,1_5/13^4.41

②/>1時,/(x)在[0,1]上為減函數，在[1⑺上為增函數，

則f(x)“加=/°)=a-12-a"a、=/nzu{/(0),/(r)}=max{a,r-2t+a}<a,

且/-2f+“,即1</,,2,：f的最大值為g(a)

綜上可得，當aN1時fe(O,2],當0<a<；時,fe(O,l)

二函數g(。)的值域為(0,2],故選A.

7.一元二次方程根的討論(即二次函數零點的分布)

設XIX2是實系數一元二次方程，*+公+。=03>())的兩實根，則沏上的分布范圍與系數之間的關系如表所示.

根的分布

（m<n<p且tn,圖象滿足的條件

n,p均為常數）

'△>0,

Vb

九1〈垃〈加-1?>“①一不如

n

(〃?)>0.

2>0,

b

m<x\<X2②0-丁〉根，

為2a

</(zn)>0.

x\<m<X2③AM<0.

?A>0,

b

機一五<〃，

771<X1<X2<H④V

f(m)>0,

f(〃)>0.

f(/n)>0,

tn<x\<n<X2<p⑤?f(n)<0,

/(P)>o.

△

后'=0,

tn<x\=X2<n⑥b

〃7<一五〈兒

只有一根

V

\\

\____\

在區(qū)間（孫〃）內⑦犬附貝〃）<0.

/n-

口二

【解讀】對一元二次方程根的問題的研究，主要分三個方面：①根的個數問題，由判別式判斷；②正負根問題,

由判別式及韋達定理判斷；③根的分布問題，依函數與方程思想，通過考查開口方向、對稱軸、判別式、端點

函數值等數形結合求解

【對點訓練7】已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

⑴若方程有兩根淇中一根在區(qū)間（一1,0）內,另一根在區(qū)間（1⑵內，求m的取值范圍;

⑵若方程兩根均在區(qū)間（0,1）內，求m的取值范圍.

【解析】(I)條件說明拋物線/(犬)=/+2〃狀+2加+1與A-軸的交點分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內，作出函數人x)

的大致圖象，得

1

m<-2,

7(0)=2〃?+1<0,

1/(-1)=2>0,mGR,

1

/(I)=4w+2<0,加<-5,

,/(2)=66+5>0

5

所以-薩<-，?

5

故m的取值范圍為:-

6一

⑵山拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0,1)內，作出函數?r)的大致圖象得

7(o)=2w+l>0,

1/(1)=4加+2>0,

A=(2加)2—4(2m+1)>0,

、0<一mvl.

r1

m>—y

1i

>m>~r，所以一予何一位

)n>\+讓或/彷1一近，

<一1<7W<0.

故m的取值范圍為,一；Vmgl一誨j.

8.第函數的定義

形如)，=K(a￡R)的函數稱為某函數，其中x是自變量以為常數.注意N的系數為1.

【對點訓練8】下列函數是暴函數的是()

A.y=-x2B.y=lC.y=3x3D.y=x3

【答案】D

i

【解析】由哥函數的定義可知y=是幕函數.

【提醒】注意y=x0與y=l的區(qū)別，前者是幕函數，后者不是幕函數，雖然x0=l,但這兩個函數的定義域不同,

y=x°的定義域時,(YQ,0)U(0,+8)?y=i的定義域為(~0°,+8).

9.暴函數解析式的確定

由于基函數的形式是y=d(aCR),其中只有一個參數/因此只需一個條件即可確定其解析式.

【對點訓練9］已知幕函數〃力=?病+，”『(WWN*)的圖象經過點(2,也)，則/(%)=.

【答案】必

【解析】因為函數外)的圖象經過點(2,啦),所以及=2而+，")'，即2、2而+"，廣，

所以病+"7=2,解得m=\或，"=—2.又因為,"GN*,所以m=\,f(x)-x1.

10.y=X,y=》2,y=%3,丁=》2,>=彳-1的圖象.

在同一坐標系內，這5個幕函數的圖象如圖所示，這5個塞函數代表了暴函數的5種基本類型，是考綱要求掌握

的5個幕函數.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因為y=Z，2-4，M(>neZ)的圖象與坐標軸沒有交點，所以加2—4〃?<0,即0</n<4.

又函數的圖象關于y軸對稱且"PZ,又M-4"?為偶數，因此加=2.

11.累函數圖象的規(guī)律

對于累函數y=x。的圖象應注意以下兩個方面：

(l)a的正負：a>0時,圖象過原點和(1,1),在第一象限的圖象上升；a<0時,圖象不過原點，過(1,1),在第一象限

的圖象下降.

(2)曲線在第一象限的凹凸性,a>l時，曲線下凸；0<a<l時，曲線上凸；a<0時，曲線下凸.

【對點訓練11］基函數當a取不同的正數時,在區(qū)間［0,1］上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖).設點

41,0),8(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個幕函數的圖象三等分，即有BM=MN=NA.那么

磔=()

A.1B.2C.3D.無法確定

【答案】A

12

【解析】由條件得MQ,扣仔，。由一般性,，即a=log2=log^?S=bg2

333

12lg3lg3

5?logI'："，，'：1?故選A.

12.根據圖象高低判斷幕指數大小的方法

恭函數的基指數的大小，大都可通過基函數的圖象與直線x=a(awl)的交點縱坐標的大小反映.一般地，在

區(qū)間(0,1)上屆函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”),在區(qū)間(1,+刃)上爆函數中指數越

大，圖象越遠離x軸(不包括幕函數)，=/).

在區(qū)間(0,1)上鼎函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(l,+oo)上晶函數中指數越

大，函數圖象越遠離X軸.

【對點訓練12］如圖,曲線是幕函數y=/在第一象限的圖象，已知〃取2,3(一1四個值，則相應于曲線

G,C2,C3,C4的n依次為

【答案】3,2.1-1,

【解析】

解法一（數形結合法）:

如圖,作直線由于函數y=/的圖象與直線x=r的交點為可見指數〃的大小與圖象交點的“高低”

是一致的，結合圖象，可得答案.

解法二(特殊值法)：當x=2時,yi=23=8,>2=22=4,券=2°-5=黃,),4=2「|8>4>陋>(,.?.丫1>”>”>泗,

故填3,2,1,-1.

13.某函數的單調性

當a>0時基函數y=X。在（0,+8）上單調遞增；⑵當a<0時,幕函數y=￡在（0,+s）上單調遞減.

【對點訓練13］尋函數y=』"T與>=》3止〉在（0,+8）上都是單調遞增函數，則滿足條件的整數機的值為

（）

A.0B.1和2C.2D.0和3

【答案】C

|/n-l|>0

【解析】由題意可得：,3加—加2〉0,解得：加=2,故選C.

meZ

14.塞函數的奇偶性

mm

形如y=X"或y=（m,n為互質的正整數）類型函數的奇偶性判斷

當犯〃都為奇數時，幕函數在定義域上為奇函數;當m為奇數,〃為偶數時，哥函數在定義域上為非奇非偶函數;

當m為偶數,〃為奇數時，幕函數在定義域上為偶函數.

【對點訓練14】（2021北京市中國人民大學附屬中學高三考前熱身練）設ae{-l,g,1,2,3：則“〃》）=/

的圖象經過（一1,一1）”是“/（力=6為奇函數”的（）

A.充分不必要件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由ae{—.由〃x）=/的圖像經過（一1,一1）廁a的值為一1,1,3.此時/（力=^為奇

函數.又當/（%）=6為奇函數時，則a的值為—1,1,3,此時/（x）=X。的圖象經過（-1,-1）.

所以“=X。的圖象經過（一1,—1）”是“〃x）=x"為奇函數”的充要條件，故選C

15.基值大小的比較

比較兩個哥的大小，首先要分清是底數相同還是指數相同.如果底數相同，可利用指數函數的單調性；如果指

數相同，可轉化為底數相同，或利用暴函數的單調性,也可借助函數圖象；如果指數不同，底數也不同，則要利用

中間量.

【對點訓練15］（河南省九師聯盟高三五月聯考）已知a=3.939,b=3.936,c=3.83,,d=3.83"則。,兒。,

d的大小關系為（）

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b>d>c>aD.b<c<d<a

【答案】B

［解析】構造函數/（x）=/測/'（X）=上手.當xG（e,+a>）吐r（X）<0.

故/（x）在（e,-K?）匕單調遞減，所以/（3.9）</（3.8），所以端^<，即3.81n3.9<3.91n3.8,

所以In3.9"<ln3.83-9,所以3.9相<3,83-9:因為y=在（0,+a>）上單調遞增，所以3.8"<3,938,

同理3忌9<3.939，所以3.賺8<3,9"<3.8"<3,939,^d<b<c<a.故選B.

16.把y=X'1的圖象通過伸縮與平移變換，可以得到y(tǒng)=變上邑（。/0,工力4］的圖象，利用圖象可進一步研

ax+b\ab）

火―立cx+d（八c

究函數y=-----。工0,一工一的性質.

ax+b\ab）

2r-1

【對點訓練16］>=與」的圖象的對稱中心的坐標為.

工-3

【答案】（3,2）

【解析】因為丁=生土=生心士*=2+二一.所以丁=上二!■的圖象可由>的圖象向右平移3個單

x—3x-3x-3x-3x

位，向上平移2個單位得到，由>=巳是奇函數,其圖象關于原點對稱，所以y=子:的圖象關于點（3,2）對稱.

跟蹤檢測

一、單選題

I.(2021湖北省黃岡市高三下學期第四次模擬)設。>0,。>0,若"+24=^+34則()

A.a<bB.a>bC.2a-3bD.3a<4匕

【答案】B

【解析】因為a>0,所以片+3。>4+2。=〃+3。,所以+3。>廿+30,因為函數/'(x)=V+3x,在

(0,+e)上單調遞增，且。力>0,所以a>從故選B

2.(2021安徽省六安市高三上學期月考)如果函數/(x)=Y+笈+c對任意的實數羽都有

y(T+X)=〃-%),那么()

A./(O)</(2)</(-2)B./(0)<./(-2)</(2)

C./(2)</(O)</(-2)D./(-2)</(0)</(2)

【答案】B

(解析】?.?f(x)=Y+"+c對任意的實數X,都有/(-1+x)=/(一力，，函數y=V+法+C的對稱軸方

程為X=-工???拋物線開口向上，稱軸方程為X=-2，％=0距離X=最近,X=2距離X=-《最遠，

2222

??J(O)</(—2)</(2).故選B.

3.(2021.北京市延慶區(qū)高三模擬)已知定義在R上的事函數〃x)=x"'為實數)過點A(2,8),記

a=/(logQ.53)，1=/(log25),c=/W),則瓦c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由題得8=2"',23=2",.?.機=3,/(x)=/.函數/(無)=d是R上的增函數

因為嗨53<log05l=0,0<log25<log,8=3=m,所以m>log25>log053,

所以/(，〃)>/(log,5)>/(log。$3),所以a<匕<c.故選A

4.(江西省重點中學盟校高三第二次聯考)已知函數y=-ax"+力-1是嘉函數，直線

H+1

mx-〃y+2=0O>0,〃>0)過點(a,力)，則----的取值范圍是()

加+1

A?卜WHnK(L3)C.[p3]D.加

【答案】D

【解析】由y=-ar"+。-1是幕函數，知：a=T,O=l.又(a,b)在如一〃y+2=0匕

71+13—/?!471+1I

；?根+〃=2,即〃=2一機＞0,則----=------=-------1且0＜機＜2,?'?-------e(―,3).

/篦+1m+l777+Im+13

故選D.

3

5.(2021徽省合肥市高三6月最后一卷)若0＜玉＜%，則下列函數①fix)=x:②/(x)=/；③/J)=x；

④/（幻=五；⑤/。）=：滿足條件/（七三）,，/）（/〉Y＞°）的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】只有上凹函數或者是一次函數才滿足題中條件，所以只有①②③⑤滿足.故選D.

6.（2021浙江省杭州市高三5月模擬）已知二次函數"》）=犬+辦+》（a,Z?eR）有兩個不同的零點，若

/仁+2x-］）=0有四個不同的根玉＜/＜?。?且不，龍2，/，Z成等差數列，則a-力不可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】設/（%）+ax+b（a,beR］的兩個不同零點為〃?,〃,且m＞n,

m+n=-a

所以/（加）=/（〃）=（），△=/一4人＞0,且1.,

mn=b

又因為/（d+2x-1）=。有四個不同的根玉＜二＜七＜Z，

所以X2+2x—1=m對應的根為%，*4，%2+2x—1=〃對應的根為冗2，入3，

A=4+4(l+m)＞0[A=4+4(1+H)＞0

所以‘玉+X4=一2,＜x2+玉=—2

x}x4=-\-mx2x3=-\-n

22

所以(元4一工1)2=X4+x)-2X4X,=(X4+石)2-4X4X}=4+4(1+⑼，

2

同理(*3—修)-=-^3+*2--2%3%2=(，3+*2)—-4-X^X7=4+4(1+H),

因為王，龍2,￡，匕成等差數列，

2

所以%—玉=3。3—々),則(2—X1)2=9(X3-X2)

所以4+4(1+機)=9[4+4(1+〃)],解得771=16+9/1.

因為所以〃?=16+9〃>〃,解得〃>一2,

所以。一6=—(根+〃)一根〃=-(16+10〃)一(16+9〃)"=-9〃2-26n-16=-9(?+—.

I99

7.（2021浙江省普通高中強基聯盟協作體高三下學期統(tǒng)測安）已知對任意的亂9目0,3].方

程|/"）二/"（3）|+|/（力—/（々）|=加在[°，3]上有解,則加的取值范圍是（）

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【解析】/（X）=（X-1）2-1,Xe。3],則/（X）min=TJ（X）max=3.

要對任意的X1,&e[o,3].方程|/（x）-/（X|）|+1/（x）-（%2）|=〃2在[。，3]上都有解，

取〃石）=-1J（W）=3,此時，任意xw[0,3],都有m=—『（3）+，（兀）一/（馬）|=4,

其他加的取值，方程均無解，則旭的取值范圍是{4}.故選D.

8.（2021浙江省臺州市、紹興市高三5月模擬）已知關于x的不等式（J+ax+oJlnxNO在（0,+向上恒

成立（其中。、OGR）,則（）

A.當。=一2時，存在b滿足題意B.當a=0時,不存在b滿足題意

C.當人=1時，存在"滿足題意D.當人=2時,不存在。滿足題意

【答案】D

【解析】因為關于X的不等式卜2+以+孫InX20在（0,+。）上恒成立,

’0〈尤<1

所以必需要滿足0X>+1辦+/0

x1+ax+b<0

即對于函數y=V+ox+b,必有一零點為x=1且零點左右函數值符號不同,

即當0cx<1時,y<0；當x>l時,y》0.

A項：a=—2,y=%~-2%+b,令x=1.0=12-2+/?，b=l，

此時y=公—2x+l,不滿足零點左右函數值符號不同,A錯誤；

B項：。=0,、=*2+力.令x=i.o=]2+。,人=一],

此時y=/一1，存在b滿足題意.B錯誤；

C項：5=1.y=%2+依+1,令*=1，0=12+。+1.。=-2.

此時y=%2-2%+1,不滿足零點左右函數值符號不同,C錯誤；

D項：/?=2,^=%2+。工+2,令％=1，0=12+4+2.a——3-

此時y=x2-3x+2,不滿足當0<x<l時ywo且當X>1時,y20.

即不存在。滿足題意,D正確，故選D.

9.（2021安徽省六安市高三上學期第一次月考）在同一直角坐標系中，指數函數y=,二次函數

丁=姓2一樂的圖象可能是（）

【答案】B

【解析】指數函數y=圖象位于x軸上方，據此可區(qū)分兩函數圖象.二次函數丁=0?一灰=(依-母小

有零點2,0.A,B選項中，指數函數y=在R上單調遞增，故2>1,故A錯誤、B正確.C,D選項中，指

ayaJa

數函數y=在K上單調遞減，故0<2<l,故c,D錯誤.故選B

\a)a

10.已知函數/(x)=-犬+笈+c,則“//)]>0”是“方程/(X)=0有兩個不同實數解且方程

f(7(x))=0恰有兩個不同實數解”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由f(x)=一/+瓜+C表示開口向下的拋物線,對稱軸的方程為X=5,

要使得方程fW=0有兩個不同實數，只需檔)>0,要使得方程/(/(X))=0恰有兩個不同實數解，設兩解

分別為斗,々,且當<馬，則滿足X、〈于(X)M<工2，

因為xe(斗光2)時,“X)>0,所以/(/(1))>0,所以必要性成立；

反之，設t=/(1)>0,即/⑺>0,當/(/)=0有兩個正根,且滿足4<t2，若tt<t2</(x)max,

此時方程/(/(x))=o恰有四個不同實數解，所以充分性不成立.所以“/上?|>0”是“方程/(x)=0有

兩個不同實數解且方程/1(/(%))=0恰有兩個不同實數解”的必要不充分條件.故選C.

11.已知/(X)是定義在R上的奇函數，當x<0時,f(x)=Y+2x，若存在實數a,b(aH與，使f(x)在[a,b]

上的值域為任，則Q+力的值為，)

3+V5

AW2

3+5/5_p.—3--\/5

土苴或土也------或------

2222

【答案】D

2工_三x>0

【解析】因為/(%)為奇函數，所以/(x)=2一八，如圖,

x+2x,x<0

a<b

由區(qū)間概念可推知\11,得Q6>0,

—<—

ba

(1)當0<a<b時,/。)=一(％-1)2+141,從而，41,即心1.所以14。<。,由圖得y=/。)在［。,目

/(?)=-1

上為減函數，所以：，這兩個關系等價于是方程/(幻=上的兩個根，且1<。<夕’，

b

由方程2》一/=_1.得V一萬2—12一］)=0解得%=］,々=匕@,

%2

所以=!±且,即a+/?=上叵；

22

(2)當a<Z?<0時，

/(%)=(》+1)2—1之一1,從而、2—1,即/74—1,所以。<匕<-1,

/（?）=-1

由圖得y=fix）在［a,b］上為減函數，所以:，這兩個關系等價于，b是方程f（x）=-的兩個根,

/⑹=1X

b

且。<人工一1”,由方程2x+x2=g.得丁+%2+（%2-］）=o,解得玉=_1,“二1；占,

解得a=-1-也2=—1,即。=-3--，故選D

22

12.（2021上海市普陀區(qū)高三一模）設b、c均為實數，關于x的方程/+同x|+c=0在復數集。上給出下

列兩個結論：

①存在〃、J使得該方程僅有兩個共輒虛根；

②存在。、J使得該方程最多有6個互不相等的根.

其中正確的是（）.

A.①與②均正確B.①正確，②不正確

C.①不正確,②正確D.①與②均不正確

【答案】A

【解析】令。=04為正實數，則存在兩個共朝的虛根，如6=0,。=1,則存在兩個共聊虛根,x=±i,故①正確；

若％為實數，則方程可看做兇2+b|x|+c=0,只需保證國有兩個正解即可，此時方程有四個實根;若％為虛數,

則設x=m+應，（機,“eE）有Y+方可+。=0,等價于/_,2+2加班+b1病+“2+0=o,所以2m?=0.

又x為虛數，所以則有m=0,即一"+目H+c=o,（〃eR）,即"一同4一。=0最多有兩個根，所以方

b2-4c>0

程最多有6個解.只需,/+4c〉0即可，如b=-3,a=2,方程有一1,—2,1,2四個實根，有

b<Q

-3+^3-V17.兩個虛根.故②正確；故選A.

22

13.（2021河南省南陽市2高三期中質量評估）如果函數〃x）=（a—l）f+僅+2）x+l（其中6-aN2）

在［1,2］上單調遞減，則3a+2。的最大值為（）

2,

A.4B.-1C.-D.6

3

【答案】c

【解析】分以下幾種情況討論:

(1)當a—1=0時，即當4=1時,/(x)=(b+2)x+l在［1,2］上單調遞減，可得b+2<0,

解得人<一2.?.七一。=8—122,可得匕之3,不合乎題意；

(2)當a-l<0時，即當a<l時，

b+2

由于函數/(x)=(a—1)%2+。+2)元+1在［1,2］上單調遞減，則一2(._］)-1,

可得〃+2W2—2。,即2a+8<0,可得8W-2a,由。一“W2,可得?！簇耙?,

'_2

［b=-2a

所以,3。+給43(0-2)+2x(—2a)=Ta+3力—6,當且僅當12時，即當4時，等號成立，則

M—b=—

I3

3"2yH+24=|；

(3)當a—1>0時，即當a>l時，

b+2

由于函數/(x)=(。-l)f+(b+2)x+l在［1,2］上單調遞減，則一?？?2,可得4a+b?2,即

Z?<2—4。，?.?〃一。22,即〃22+a、「.2+aK〃K2—4tz,解得不合乎題意.

綜上所述,3a+2b的最大值為1.故選C.

二、多選題

14.已知函數/(x)=d-2x+a有兩個零點否，聲,以下結論正確的是()

112

A.a<\B.若％與。0,則—+—=—

%x2a

C./(-1)=/(3)D.函數有y=/(|x|)四個零點

【答案】ABC

【解析】二次函數對應二次方程根的判別式A=(—2)2-4a=4-4a>0,a<1,故A正確；

韋達定理%+工2=2,工］工2=。，—+—=------=—，故B正確；因為/(X)對稱軸為尤=1,點

x}x2x}x2a\,

(-1,/(-1)),(3,/(3))關于對稱軸對稱，故C正確；當a<0時,y=/(國)只有兩個零點，故D不正確.

故選ABC

15.(2021湖南省常德市高三上學期第月考)若二次函數/(x)=a?+必+”。工0)的圖象和直線y=x無

交點，現有下列結論：

①方程〃/(幻]=x一定沒有實數根；

②若a>0,則不等式/[/(x)]>x對一切實數x都成立；

③若a<0,則必存在實數%,使/[/(x0)]>/；

④函數g(x)=ax2-bx+c(a^0)的圖象與直線V=-％一定沒有交點.

其中，正確的是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【解析】因為函數“X)的圖象與直線>=》沒有交點，所以/U)>x(a>0)或/(x)<x(a<())恒成立.

因為/[/(%)]>/(x)>x或/[/?]</(%)<x恒成立，所以/"(x)]沒有實數根,故①正確；

若a>0,則不等式/"(x)]>/(x)>x對一切實數x都成立，故②正確；若a<0,則不等式/"(x)]<x對一

切實數x都成立，所以不存在實數%,使/[/(x0)]>/，故③錯誤；由函數g(x)=f(-x)與/(%)的圖象關于

y軸對稱，所以g(x)和直線>=一》也一定沒有交點.故④正確，故選ABD

16.(2021江蘇省無錫市高三上學期期初檢測)已知函數/(x)=3/-6x7,則()

A.函數/(力在(2,3)有唯一零點

B.函數“X)在(-1,+8)上單調遞增

C.當a>l時，若/(優(yōu))在上的最大值為8,則a=3

D.當0<a<1時，若/(")在xe[-1,1]上的最大值為8,則a=；

【答案】ACD

【解析】/(X)=3(X-1)2-4,A.〃2)=-1<0.八3)=8〉0,/。)在(2,3)匕^一個零點，又函數對稱軸

是x=l,還有一個零點小于1,因此函數f(x)在(2,3)有唯一零點,A正確；

B.由對稱軸知B錯；，C.時,優(yōu)由/(l)=3/-6a-l=8得a=3或〃=一1(舍

a

去