對稱性在積分中的應(yīng)用摘要：對稱性是宇宙中許多事物都具有的性質(zhì),大到銀河星系,小到分子原子.根據(jù)對稱性,我們就可以把復(fù)雜的東西簡單化，把整體的東西局部化.本文介紹運(yùn)用數(shù)學(xué)中的對稱性來解決積分中的計(jì)算問題,主要介紹了幾種常見的對稱性在積分計(jì)算過程中的一些結(jié)論及其應(yīng)用，并通過實(shí)例討論了利用積分區(qū)間、積分區(qū)域、被積函數(shù)的奇偶性,從而簡化定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的計(jì)算方法.另外對于曲面積分的計(jì)算,本文還給出了利用輪換對稱性簡化積分的計(jì)算.積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn),在積分計(jì)算時,許多問題用“正規(guī)〞的方法解決，反而把計(jì)算復(fù)雜化,而善于運(yùn)用積分中的對稱性，往往能使計(jì)算簡捷,到達(dá)事半功倍的效果.關(guān)鍵詞：積分對稱定積分重積分曲線積分曲面積分區(qū)域?qū)ΨQ輪換對稱目錄引言相關(guān)對稱的定義區(qū)域?qū)ΨQ的定義函數(shù)對稱性定義輪換對稱的定義重積分的對稱性定積分中的對稱性定理及應(yīng)用二重積分中的對稱性定理及應(yīng)用三重積分中的對稱性定理及應(yīng)用曲線積分的對稱性第一曲線積分的對稱性定理及應(yīng)用第二曲線積分的對稱性定理及應(yīng)用曲線積分的對稱性第一曲面積分的對稱性定理及應(yīng)用第二曲面積分的對稱性定理及應(yīng)用小結(jié)參考文獻(xiàn)謝詞引言積分的對稱性包括重積分、曲線積分、曲面積分的對稱性.在積分計(jì)算中,根據(jù)題目的條件,充分利用積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性,往往可以到達(dá)事半功倍的效果.下面我將從積分對稱性的定理及結(jié)論,再結(jié)合相關(guān)的實(shí)例進(jìn)行具體探討.本文從積分區(qū)域平行于坐標(biāo)軸、對角線的直線的對稱性,平行于坐標(biāo)面的平面等的對稱性定義.二、相關(guān)的定義定義1：設(shè)平面區(qū)域?yàn)?假設(shè)點(diǎn),那么關(guān)于直線對稱,對稱點(diǎn)與是關(guān)于的對稱點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)∈,那么關(guān)于直線對稱，稱點(diǎn)與是關(guān)于的對稱〔顯然當(dāng),對關(guān)于,軸對稱〕.定義2:設(shè)平面區(qū)域?yàn)?假設(shè)點(diǎn),那么對稱,稱點(diǎn)與是關(guān)于的對稱點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)，那么關(guān)于直線對稱.注釋：空間區(qū)域關(guān)于平行于坐標(biāo)面的平面對稱；平面曲線關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱；平面曲面以平行于坐標(biāo)面對稱，也有以上類似的定義.空間對稱區(qū)域.定義3：(1)假設(shè)對,點(diǎn),那么稱空間區(qū)域關(guān)于面對稱;利用相同的方法,可以定義關(guān)于另外兩個坐標(biāo)面的對稱性.(2)假設(shè)對,點(diǎn),那么稱空間區(qū)域關(guān)于軸對稱;利用相同的方法,可以定義關(guān)于另外兩個坐標(biāo)軸的對稱性.(3)假設(shè)對,點(diǎn),那么稱空間區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.(4)假設(shè)對,點(diǎn),那么稱空間區(qū)域關(guān)于具有輪換對稱性.定義4:假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且有,那么關(guān)于對稱當(dāng)且僅當(dāng)時,那么為偶函數(shù).假設(shè),那么為關(guān)于中心對稱.當(dāng)且僅當(dāng)時有那么為奇函數(shù).假設(shè)且那么既關(guān)于對稱,又關(guān)于中心對稱.定義5假設(shè)n元函數(shù),(),那么稱n元函數(shù)關(guān)于具有輪換對稱性.定義6：假設(shè)有成立，那么稱關(guān)于具有輪換對稱性.三、重積分的對稱性〔一〕對稱性在定積分中的應(yīng)用利用函數(shù)圖形的對稱性可簡化定積分的計(jì)算.在特殊情況下,甚至可以求出原函數(shù)不是初等函數(shù)的定積分.因此掌握對稱性在積分中的方法是必要的.下面首先給出一個引理,由此得出一系列的結(jié)論,并通過實(shí)例說明這是結(jié)論的應(yīng)用.引理設(shè)函數(shù)在上連續(xù),那么有(1)證令,有(2)令,那么〔3〕將〔3〕式帶入〔2〕式,并將積分變量統(tǒng)一成,那么特別地，令，就得公式由函數(shù)奇偶性的定義及上式，易知定理1設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，那么假設(shè)為偶函數(shù)，那么假設(shè)為奇函數(shù)，那么次結(jié)論有廣泛的應(yīng)用，如能恰當(dāng)?shù)厥褂?，對簡化定積分的計(jì)算有很大的幫助，求解：雖然被奇函數(shù)非奇非偶，但可以把它分成兩局部和，前一局部是奇函數(shù)，后一局部是偶函數(shù)，運(yùn)用定理1的結(jié)論簡化其計(jì)算.==2注：而對于任意區(qū)間上的定積分問題，可以平移到對稱區(qū)間上求解。下面我們把定理1推廣到更一般的情況.定理2設(shè)函數(shù)連續(xù)1〕假設(shè)的圖像關(guān)于直線對稱，即，那么對一切，有2〕假設(shè)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，即，那么對一切，有證1)由〔1〕式及條件，有2)有〔1〕式及條件，有例2求解：由于及都關(guān)于對稱，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因此關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)中心對稱，有區(qū)間關(guān)于對稱，故由定理2的2〕有于是本例中的被積函數(shù)原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以不能直接利用牛頓—萊布尼茲公式，但利用對稱性卻能容易地求出其值.以上我們研究的是一個函數(shù)圖像本身的對稱性在積分中的應(yīng)用，下面來看看兩個函數(shù)圖像之間的對稱關(guān)系是如何在定積分中的應(yīng)用的.定理3設(shè)，都是連續(xù)1〕假設(shè)與關(guān)于直線對稱，即，那么對一切，有2〕假設(shè)與的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，即，那么對一切，有例3求解：設(shè)，，那么而由定理3可證，故故.注：定理3可以推廣到更一般的情況.定理4設(shè)與都連續(xù)，那么1〕；2〕例4計(jì)算解：令，那么所以,由定理3得.我們可以看出這些都是教材中常見的等式，我們使用對稱性給出了它們的簡潔證明，并有一定的規(guī)律可循.另外,取各種連續(xù)函數(shù)，又可以從的公式中到處許多公式.〔二〕重積分中的對稱性定理及應(yīng)用在二重積分的計(jì)算中利用對稱性不僅要求積分區(qū)域具有對稱性，而且被積函數(shù)對于區(qū)域也要有有對稱性.但在特殊情況下區(qū)域不對稱，或者關(guān)于對稱區(qū)域的被積函數(shù)不具備對稱性，也可以經(jīng)過一些變化使之能用對稱性來計(jì)算.定理5設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸對稱，那么1)當(dāng)〔即是關(guān)于的奇函數(shù)〕時，有2)當(dāng)〔即是關(guān)于的偶函數(shù)〕時，有,其中是由軸分割所得到的一半?yún)^(qū)域.例5計(jì)算，其中為由與圍城的區(qū)域.解：如下圖幾，積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，且圖形待定即是關(guān)于的奇函數(shù)，由定理5有類似地推出下面的定理：定理6設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域連續(xù)，且關(guān)于軸對稱，那么假設(shè)，那么假設(shè)，那么其中是由軸分割所得到的一半?yún)^(qū)域.例6計(jì)算，，其中為，所圍成的區(qū)域，是連續(xù)函數(shù).圖形待定解：如圖幾，作輔助線，它把區(qū)域分成，兩局部，其中,,在上，滿足，而關(guān)于軸對稱，因而.在上，，且關(guān)于軸對稱，因而因此例7計(jì)算二重積分，其中：解：如下圖幾,關(guān)于軸和軸均對稱，且被積函數(shù)關(guān)于和是偶函數(shù)，即有由定理5,6，得其中是的第一象限局部，2有對稱性知，,故圖形待定定理7設(shè)平面區(qū)域,且,關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么當(dāng)上連續(xù)函數(shù)滿足1〕時，有2〕時，有.例8計(jì)算二重積分，區(qū)域:解：如下圖幾，區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于被積函數(shù)，有由定理7，得定理8設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域上連續(xù)，且，且,關(guān)于直線對稱，那么1〕;.2〕當(dāng)時，有.3〕當(dāng)時，有例9求，區(qū)域：解：積分區(qū)域關(guān)于直線對稱，由定理8，得，故相似地，我們可得以下定理：定理9設(shè)二元函數(shù)在平面區(qū)域上連續(xù)，且，且,關(guān)于直線對稱，那么1〕時，有;2)時，有.例題略.注：在進(jìn)行二重積分計(jì)算式，我們要善于觀察被積函數(shù)的積分區(qū)域的特點(diǎn)，既要注意被積函數(shù)的奇偶性也要注意積分區(qū)域的對稱性.恰當(dāng)?shù)乩梅e分中的對稱性，可以防止計(jì)算的繁瑣，時二重積分的解答大大簡化.〔三〕三重積分的對稱性定理及應(yīng)用在三重積分中我們也有類似的結(jié)論.定理10設(shè)空間有界閉區(qū)域,與關(guān)于坐標(biāo)平面對稱，函數(shù)在上連續(xù),那么：1)假設(shè)是關(guān)于的奇函數(shù)，那么2)假設(shè)是關(guān)于的偶函數(shù)，那么同樣地，假設(shè)積分區(qū)域分別關(guān)于,坐標(biāo)平面對稱，也有類似的結(jié)論：推論11〕假設(shè)是關(guān)于的奇函數(shù)，那么2)假設(shè)是關(guān)于的偶函數(shù)，那么推論21)假設(shè)是關(guān)于的奇函數(shù)，那么2)假設(shè)是關(guān)于的偶函數(shù)，那么例10計(jì)算三重積分，其中是由球面所圍成的空間閉區(qū)域.解：積分區(qū)域關(guān)于面對稱,被積函數(shù)是的奇函所以定理10假設(shè)空間區(qū)域具有輪換對稱性,假設(shè),那么.在有些問題中，尤其對于三重積分，在被積函數(shù)及積分區(qū)域都沒有對稱性的時，而被積函數(shù)具有輪換對稱性，我們利用輪換對稱性可以使問問題得到簡便的計(jì)算.下面我們給出例子.例11求,其中是橢球體解：由于,其中,這里表示橢球面為它的面積為.于是.同理利用輪換對稱性可得,所以.四、對稱性在曲線積分中的定理及應(yīng)用〔一〕第一型曲線積分1、平面曲線積分的計(jì)算假設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，記位于周上半局部的，那么：當(dāng)時，當(dāng)時，同理能得到關(guān)于軸對稱的式子.例12求，其中為圓周.解：因?yàn)榍€關(guān)于軸對稱，記位于軸上方局部為，而被積函數(shù)滿足：所以注：對于一般情況我們可以得出引理引理：設(shè)關(guān)于直線對稱的一條曲線弧，那么1〕假設(shè)，那么.2〕假設(shè)，那么，其中.例13計(jì)算,其中是曲線所圍成的回路.解：因?yàn)殛P(guān)于軸和直線對稱，故設(shè)，那么;設(shè)，那么.所以有.2、空間曲線積分的計(jì)算假設(shè)積分曲線關(guān)于面對稱，記位于面上半局部為，那么當(dāng)時，當(dāng)時，同理可得關(guān)于，面對稱的式子.例題略.〔二〕第二型曲線積分對于第二型曲線積分還需要我們考慮投影元素的符號.當(dāng)積分方向與坐標(biāo)方向之間的夾角小于時，投影元素的符號為正，否那么為負(fù)，就而言，只需考察在對稱點(diǎn)的符號.但第二類曲線積分有關(guān)對稱性的結(jié)論與第一型曲線積分結(jié)論恰好相反：定理11設(shè)積分曲線是平面分段光滑曲線,假設(shè)曲線關(guān)于軸對稱，且在軸上半局部與下半局部走向相反，曲線,分別是位于軸上、下方的局部，那么1〕，當(dāng)時；2〕當(dāng)時.其中,表示是的偶函數(shù)，表示是的奇函數(shù)。注：當(dāng)定理中兩局部的方向相同時那么結(jié)論與定理相反.推論：設(shè)是平面上關(guān)于直線對的一光滑曲線弧，，任意，有,且,在軸投影方向相反，那么1〕假設(shè),那么2〕假設(shè),那么定理12假設(shè)積分曲線關(guān)于,,具有輪換對稱性，即,那么.例14計(jì)算,其中為圓周,以逆時針方向.解：令，,將分為,與,兩局部.對于對稱點(diǎn),，有,而,兩局部關(guān)于軸對稱，且方向相同，所以.例15設(shè)為球面和平面的交線，假設(shè)從軸正向看去，時沿逆時針方向的,試計(jì)算以下第二型曲線積分：解：把代入,得.令,,可得所以可取,，由此可知的參數(shù)方程為,,,因?yàn)?由輪換對稱性可知，所以.五、曲面積分的對稱性〔一〕第一型曲面積分的對稱性定理及應(yīng)用定理13假設(shè)積分曲面可以分成對稱的兩局部，在對稱點(diǎn)上被積函數(shù)的絕對值相等，即光滑曲面關(guān)于或,或坐標(biāo)面對稱，那么有1〕假設(shè)在對稱點(diǎn)上取相反的符號，即關(guān)于(或,或)的奇函數(shù),那么，.2)在對稱點(diǎn)上取相同的符號，即關(guān)于(或,或)的偶函數(shù)，那么，.推論1：假設(shè)光滑曲面可以分成對稱的兩局部,且關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么1〕,為關(guān)于(或,或)的奇函數(shù).2)，關(guān)于(或,或)的偶函數(shù).例16計(jì)算積分,其中為曲面被曲面所截取局部.圖在P273解：因?yàn)殛P(guān)于坐標(biāo)平面