2023-2024學年高二數(shù)學上學期重難點和易錯點突破（人教A版2019）專題4.2等差數(shù)列的概念知識點一等差數(shù)列的概念與通項公式1.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中項由三個數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,.3.等差數(shù)列的遞推公式及通項公式已知等差數(shù)列的首項為,公差為d，則遞推公式為，通項公式為知識點二等差數(shù)列的性質(zhì)與應用1.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣（1） （2）.（3）,且.2.若分別是公差為的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù))公差為的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))3.下標性質(zhì)在等差數(shù)列中,若,則.特別的,若,則有重難點1利用定義判斷等差數(shù)列1．已知數(shù)列中，，，則.2．已知數(shù)列的通項公式為，其中p，q為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？3．判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．4．判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.5．已知在數(shù)列中，，，則等于．6．（多選）若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是（

）A．B．C．(為常數(shù))D．重難點2利用定義得到等差數(shù)列的通項公式7．等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項公式是（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，（，），則．9．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為.10．已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．3911．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．12．已知數(shù)列（）為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項公式為.重難點3等差數(shù)列基本量的計算13．已知遞增數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A．2024 B．2023 C．4048 D．404614．已知等差數(shù)列中，，，則首項與公差分別為（

）A． B． C． D．15．已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是．16．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.17．已知在等差數(shù)列中，，，則．18．已知等差數(shù)列滿足，則的值為.重難點4等差中項及其應用19．一個直角三角形三邊長a，b，c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長是.20．已知等差數(shù)列滿足，則.21．記等差數(shù)列的公差為，若是與的等差中項，則d的值為（

）A．0 B． C．1 D．222．有窮等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則的最小值是.23．已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為24．已知數(shù)列滿足：，，則．重難點5等差數(shù)列的性質(zhì)25．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件26．已知正項等差數(shù)列，若，，則(

)A． B．C． D．27．若是公差不為的等差數(shù)列，滿足，則該數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．28．已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個零點，則（

）A．3 B．6 C．8 D．929．已知等差數(shù)列滿足，則．30．在等差數(shù)列中，若為方程的兩根，則．重難點6等差數(shù)列的證明31．已知數(shù)列{an}滿足，，令.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．32．已知數(shù)列滿足，（），令.(1)求的值；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.33．已知滿足，且.(1)求；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.34．數(shù)列滿足.(1)求的值；(2)設(shè)，證明是等差數(shù)列.35．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.36．已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項積為，且滿足．求證：為等差數(shù)列；37．已知數(shù)列的前項和為．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；重難點7構(gòu)造等差數(shù)列38．在數(shù)列中，，若，則（

）A．18 B．24 C．30 D．3639．已知數(shù)列滿足，則（

）A．2023 B．2024 C．2027 D．404640．已知各項均不為0的數(shù)列滿足，且，則．41．已知數(shù)列滿足，，則.42．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，則．43．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.重難點8等差數(shù)列的實際應用44．習近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元45．稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為.46．百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個“家庭日”，則2021年全年他們約定的“家庭日”是星期五的天數(shù)為；2021年全年他們約定的“家庭日”共有個.47．某公司購置了一臺價值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價值會逐年減少．經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值就會減少d（d為正常數(shù)）萬元．已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設(shè)備將報廢．請確定d的取值范圍．重難點9等差數(shù)列與數(shù)學文化的結(jié)合48．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當日日影長為9.5尺，春分當日日影長為6尺，則小滿當日日影長為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺49．天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，在1980年庚申年，我國正式設(shè)立經(jīng)濟特區(qū)，請問：在100年后的2080年為（

）A．戊戌年 B．辛丑年 C．己亥年 D．庚子年50．《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（

）A．升 B．升 C．升 D．升51．中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（

）A．乙分到37文，丁分到31文 B．乙分到40文，丁分到34文C．乙分到31文，丁分到37文 D．乙分到34文，丁分到40文52．諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年……人類都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔年出現(xiàn)一次.從現(xiàn)在（2023年）開始到公元3000年，人類可以看到這顆彗星的次數(shù)為.53．中國古代經(jīng)典數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》記錄了這樣一個問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），問物幾何？”現(xiàn)將1到200共200個整數(shù)中，同時滿足“三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三”的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列最大項和最小項之和為． 專題4.2等差數(shù)列的概念知識點一等差數(shù)列的概念與通項公式1.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.2.等差中項由三個數(shù)組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時,A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,.3.等差數(shù)列的遞推公式及通項公式已知等差數(shù)列的首項為,公差為d，則遞推公式為，通項公式為知識點二等差數(shù)列的性質(zhì)與應用1.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣（1） （2）.（3）,且.2.若分別是公差為的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù))公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù))公差為的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))3.下標性質(zhì)在等差數(shù)列中,若,則.特別的,若,則有重難點1利用定義判斷等差數(shù)列1．已知數(shù)列中，，，則.【答案】【分析】先判斷得是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得解．【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差，又，所以．故答案為：．2．已知數(shù)列的通項公式為，其中p，q為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？【答案】一定是等差數(shù)列．【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義證明數(shù)列是等差數(shù)列.【詳解】取數(shù)列中任意相鄰兩項與，作差得，它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列一定是等差數(shù)列．3．判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．【答案】(1)是，公差為6(2)不是等差數(shù)列(3)是，公差為【分析】結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷即可；【詳解】（1）因為，所以是等差數(shù)列，且公差為6．（2）因為，所以，因此不是等差數(shù)列．（3）因為，所以是等差數(shù)列，且公差為4．判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)an=3-2n；(2)an=n2-n.【答案】(1)是等差數(shù)列(2)不是等差數(shù)列【分析】（1）（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷即可.【詳解】（1）因為，是常數(shù)，所以數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列．（2）因為，不是常數(shù)，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．5．已知在數(shù)列中，，，則等于．【答案】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得解．【詳解】解：因為，所以，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，故，所以．故答案為：．6．（多選）若是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的是（

）A．B．C．(為常數(shù))D．【答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一進行檢驗即可求解.【詳解】對于選項A，數(shù)列是等差數(shù)列，取絕對值后不是等差數(shù)列，故選項A不符合題意；對于選項B，若為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知：數(shù)列為常數(shù)列，故為等差數(shù)列，故選項B符合題意；對于選項C，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為常數(shù)列，故為等差數(shù)列，故選項C符合題意；對于選項D，若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為常數(shù)，故為等差數(shù)列，故選項D符合題意，故選：BCD.重難點2利用定義得到等差數(shù)列的通項公式7．等差數(shù)列3，11，19，27，…的通項公式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到首項與公差，即可求出通項公式.【詳解】因為等差數(shù)列的首項，公差，所以通項公式為.故選：B8．已知數(shù)列滿足，（，），則．【答案】【分析】由題意得到為等差數(shù)列，公差為1，從而求出通項公式.【詳解】因為（，），故為等差數(shù)列，公差為1，所以.故答案為：9．在數(shù)列中，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)可得為等差數(shù)列，從而可求的通項公式.【詳解】由題設(shè)可得，故為等差數(shù)列，故，故，故答案為：10．已知數(shù)列中，，且是等差數(shù)列，則（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出的通項公式，再利用累加法求.【詳解】因為，所以，又是等差數(shù)列，故首項為3，公差為2，所以，所以．故選：A.11．在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把變形得到，再由等差數(shù)列的定義即可求出通項公式.【詳解】由得，令，則，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以.故選：B12．已知數(shù)列（）為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的概念可得數(shù)列的通項公式，進而可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，即，故答案為：.重難點3等差數(shù)列基本量的計算13．已知遞增數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A．2024 B．2023 C．4048 D．4046【答案】C【分析】設(shè)數(shù)列的公差為d（），解法一：根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求，即可得結(jié)果；解法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并以為中心求，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：設(shè)數(shù)列的公差為d（），因為，，則，解得，所以；解法二：設(shè)數(shù)列的公差為d（），由得，又因為，即，解得，所以.故選：C．14．已知等差數(shù)列中，，，則首項與公差分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意列出方程組，即可求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題得，解得.故選：D15．已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意求出首項和公差的關(guān)系，表示出即可求出其取值范圍.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為單調(diào)遞增，所以，由，所以，則，所以的取值范圍是.故答案為：16．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)已知判斷等差數(shù)列先正后負，是遞減數(shù)列，即可得出，再根據(jù)等差數(shù)列通項結(jié)合已知列不等式，即可解出答案.【詳解】，，，則，解得，，，即的取值范圍是.故答案為：.17．已知在等差數(shù)列中，，，則．【答案】20【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，進而列出方程求得，，進而求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，解得，，則.故答案為：20.18．已知等差數(shù)列滿足，則的值為.【答案】3【分析】由等差數(shù)列通項公式得，即，進而求出【詳解】由等差數(shù)列通項公式得，即，故，.故答案為：3重難點4等差中項及其應用19．一個直角三角形三邊長a，b，c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長是.【答案】12.【分析】方法一：設(shè)出直角三角形的三邊以及公差，進而通過基本量結(jié)合面積公式和勾股定理建立方程組求出三邊，進而得到答案；方法二：設(shè)出直角三角形的三邊，利用等差中項建立等式，進而結(jié)合面積公式和勾股定理解出三邊，進而得到答案.【詳解】方法一：設(shè)c為斜邊，公差為d，則a＝b－d，c＝b＋d，所以解得b＝4，d＝，從而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12.方法二：設(shè)c為斜邊，因為是直角三角形且三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且面積為12，可得：解得故三角形的周長為a＋b＋c＝12.故答案為：12.20．已知等差數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，代入條件式，可求得，再根據(jù)，可得解.【詳解】在等差數(shù)列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案為：.21．記等差數(shù)列的公差為，若是與的等差中項，則d的值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項公式及等差中項的意義列式求解即得.【詳解】等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項，得，即，整理得，而，解得，所以d的值為1.故選：C22．有窮等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則的最小值是.【答案】/0.75【分析】利用等差中項易知，再由基本不等式“1”的代換求目標式最小值，注意取值條件.【詳解】由，且，則，當且僅當時等號成立且滿足題設(shè).故答案為：23．已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為【答案】2【分析】利用等差中項的性質(zhì)和通項公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項和公差的方程，即可求得公差的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件，得，即，解得.故答案為：2.24．已知數(shù)列滿足：，，則．【答案】【分析】由，得，可知為等差數(shù)列，從而可以求出的通項公式，進而可求出的值．【詳解】解：由，得，∴為等差數(shù)列．又，，∴，∴．∴．故答案為．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了通項公式的求法，證明數(shù)列是等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵.重難點5等差數(shù)列的性質(zhì)25．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知可得充分性成立；舉例即可說明必要性不成立.【詳解】當時，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，故充分性成立；當為常數(shù)列時，有，由，，此時即可，故必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要條件，故選：A．26．已知正項等差數(shù)列，若，，則(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出和，進而求出公差即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，依題意，，故，解得，，故和是的兩根，解得，，，因為為正項等差數(shù)列，故公差，從而，，則，即，所以.故選：.27．若是公差不為的等差數(shù)列，滿足，則該數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，根據(jù)題意求得，然后利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)得出，利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，，，即，，，所以，，由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，即，所以，.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列求和，考查了等差數(shù)列基本量和基本性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中等題.28．已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個零點，則（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)進行計算即可.【詳解】由已知，函數(shù)的兩個零點，即方程的兩根，，∴，∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.故選：B.29．已知等差數(shù)列滿足，則．【答案】5【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，且，所以，解得.故答案為：30．在等差數(shù)列中，若為方程的兩根，則．【答案】15【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因為若為方程的兩根，由韋達定理可得，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得:．故答案為：15.重難點6等差數(shù)列的證明31．已知數(shù)列{an}滿足，，令.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將遞推關(guān)系代入，利用定義證明是等差數(shù)列；（2）由等差數(shù)列通項公式求，進而得.【詳解】（1）∵，∴，又，∴是首項為，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，∴.32．已知數(shù)列滿足，（），令.(1)求的值；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.【答案】(1)，(2)證明見解析，【分析】（1）采用迭代法，可求，;（2）將轉(zhuǎn)化為，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，算出數(shù)列的通項公式后即可計算數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）因為，且，當時，，當時，.（2）因為，所以，兩邊同時取倒數(shù)有：，令，有，，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以.33．已知滿足，且.(1)求；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式.【答案】(1)(2)證明詳見解析，【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求得正確答案.（2）根據(jù)已知條件進行整理，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行證明，進而求得.【詳解】（1）依題意，，，所以，，所以.（2）依題意，，，所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.34．數(shù)列滿足.(1)求的值；(2)設(shè)，證明是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求解即可；（2）結(jié)合遞推關(guān)系式與等差數(shù)列的定義證明即可.【詳解】（1）數(shù)列滿足所以，（2）∵∴為等差數(shù)列.35．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)將已知表達式變形為，通過配湊的方法可以得到是等差數(shù)列；(2)由第一問可以求得數(shù)列的通項公式，代入，用錯位相減法可以求得前n項和.【詳解】（1）由題可知，所以，所以.所以.又，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以所以.所以.所以.兩式相減，得所以.36．已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項積為，且滿足．求證：為等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)所給遞推公式及前項和、積的定義化簡，由等差數(shù)列定義可得證；【詳解】當時，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，當時，．所以，即，所以，即，所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列．37．已知數(shù)列的前項和為．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】利用與的關(guān)系及等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因為，，，即，，即，是1為首項，1為公差的等差數(shù)列．重難點7構(gòu)造等差數(shù)列38．在數(shù)列中，，若，則（

）A．18 B．24 C．30 D．36【答案】A【分析】由已知可得，則數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出，進而可求得，然后由可求得結(jié)果.【詳解】由且數(shù)列不存在為0的項，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為，公差為，所以，所以．由，得，故選：A．39．已知數(shù)列滿足，則（

）A．2023 B．2024 C．2027 D．4046【答案】C【分析】由可得，進而可得，則有數(shù)列的偶數(shù)項是以為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可得解.【詳解】由①，得，②，由②①得，所以數(shù)列的偶數(shù)項是以為公差的等差數(shù)列，則，所以.故選：C.40．已知各項均不為0的數(shù)列滿足，且，則．【答案】/【分析】將取倒數(shù)化簡可得，即判斷為等差數(shù)列，即可求得的通項公式，即可得答案.【詳解】由題意知數(shù)列滿足，即，即，即為首項是，公差為1的等差數(shù)列，故，故，故答案為：41．已知數(shù)列滿足，，則.【答案】120【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，可求得數(shù)列的通項，即可得解.【詳解】因為，所以，即，等式兩邊開方可得：，即，所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：120.42．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，則．【答案】【分析】題中所給式子無法直接根據(jù)進行轉(zhuǎn)化，考慮使用進行轉(zhuǎn)化，先求出，再求．【詳解】由，得到，然后兩邊同除以得到，即，于是數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．而，于是，進而得到，所以當時，有（）．綜上所述，．故答案為：43．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法，先求得，進而求得.（2）利用裂項求和法求得.【詳解】（1）由得：，∵，所以數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；（2），所以.重難點8等差數(shù)列的實際應用44．習近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)題意得出五年累計總投入資金為，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計總投入資金為：，因為，所以，當且僅當時取等號，故預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.45．稠環(huán)芳香烴化合物中有不少是致癌物質(zhì)，比如學生鐘愛的快餐油炸食品中會產(chǎn)生苯并芘，它是由一個苯環(huán)和一個芘分子結(jié)合而成的稠環(huán)芳香烴類化合物，長期食用會致癌.下面是一組稠環(huán)芳香烴的結(jié)構(gòu)簡式和分子式：名稱萘蒽并四苯…并n苯結(jié)構(gòu)簡式……分子式……由此推斷并十苯的分子式為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可以判斷出稠環(huán)芳香烴的分子式中、的下標分別成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【詳解】因為稠環(huán)芳香烴的分子式中下標分別是：，的下標分別是：所以稠環(huán)芳香烴的分子式中下標成等差數(shù)列，首項為，公差為4，所以通項公式為：，稠環(huán)芳香烴的分子式中下標成等差數(shù)列，首項為，公差為2，所以通項公式為：，所以并n苯的分子式為：，因此當時，得到并十苯的分子式為：.故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力.46．百善孝為先，孝敬父母是中華民族的傳統(tǒng)美德.因父母年事已高，大張與小張兄弟倆約定：如果兩人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把這一天記為“家庭日”.由于工作的特殊性，大張每工作三天休息一天，小張每周星期一與星期五休息，除此之外，他們沒有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他們約定的首個“家庭日”，則2021年全年他們約定的“家庭日”是星期五的天數(shù)為；2021年全年他們約定的“家庭日”共有個.【答案】；.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設(shè)大張的休息日構(gòu)成的等差數(shù)列為，顯然大張在2021年第天放假，所以有，若小張每周星期五休息，小張休息日構(gòu)成等差數(shù)列為，則有，此時兩數(shù)列的公共項為：，首項為，公差為，末項為，設(shè)共有項，所以有；若小張每周星期一休息，小張休息日構(gòu)成等差數(shù)列為，則有，此時兩數(shù)列的公共項為：，首項為，公差為，末項為，設(shè)共有項，所以有，所以2021年全年他們約定的“家庭日”共有天，故答案為：；47．某公司購置了一臺價值為220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價值會逐年減少．經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值就會減少d（d為正常數(shù)）萬元．已知這臺設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設(shè)備將報廢．請確定d的取值范圍．【答案】【分析】這臺設(shè)備使用n年后的價值構(gòu)成一個數(shù)列．由題意可知，10年之內(nèi)（含10年），這臺設(shè)備的價值應不小于萬元；而10年后，這臺設(shè)備的價值應小于11萬元．可以利用的通項公式列不等式求解．【詳解】解：設(shè)使用n年后，這臺設(shè)備的價值為萬元，則可得數(shù)列．由已知條件，得．由于d是與n無關(guān)的常數(shù)，所以數(shù)列是一個公差為的等差數(shù)列．因為購進設(shè)備的價值為220萬元，所以，于是．根據(jù)題意，得，即，解這個不等式組，得．所以d的取值范圍為．重難點9等差數(shù)列與數(shù)學文化的結(jié)合48．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當日日影長為9.5尺，春分當日日影長為6尺，則小滿當日日影長為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】由題意，利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】設(shè)十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，公差為，則由題意可得，，，則小滿當日日影長．故選：D．49．天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之