年中考試題專題等腰三角形與勾股定理試題一、選擇題1．圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是A．13B．26C【答案】C2．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A3．“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．如圖，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4．中間小正方形與大正方形面積的比是A．B．C．D．【答案】CBADBADCA．30°B．45°C．60° D．90°【答案】B5．如圖，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，則∠ABD的度數(shù)是（）AFBCDEA． B． C．AFBCDE【答案】B6．如圖，已知直線且則等于（）A．B．C．D．【答案】B7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于（）A．30oB．40oC．45oD．36o【答案】D8．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于點E，點D為AB的中點，連結DE，則△BDE的周長是()A．7+B．10C．4+2D．12【答案】BADEBC9．如圖，等腰ADEBCAB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，則△BEC的周長為（）A．13 B．14C．15 D．16【答案】A10.在等腰中，，一邊上的中線將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10【答案】C二、填空題1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o，腰長為4cm，則其腰上的高為cm．【答案】2．如圖1，在邊長為1的等邊△ABC中，中線AD與中線BE相交于點O，則OA長度為．【答案】3．如圖2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…線段CA1，A1C1，，…，則CA1＝，BCBCA30°【答案】，．4．某樓梯的側面視圖如圖4所示，其中米，，，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為．【答案】（2+2）米．5．已知等腰的周長為10，若設腰長為，則的取值范圍是．【答案】2．5＜x＜5．ACDB6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則ACDB【答案】或7．如圖，等腰中，，是底邊上的高，若，則cm．【答案】48．在中，為的中點，動點從點出發(fā)，以每秒1的速度沿的方向運動．設運動時間為，那么當秒時，過、兩點的直線將的周長分成兩個部分，使其中一部分是另一部分的2倍．解析：本題考查等腰三角形中的動點問題，兩種情況，①當點P在BA上時，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t＝7；②當點P在AC上時，PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），解得t＝17，故填7或17?！娟P鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)【答案】7或179、：如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3,則圖中陰影部分的面積為．【關鍵詞】勾股定理【答案】．10（等腰中，，是底邊上的高，若，則cm．CACABS1S2【關鍵詞】等腰三角形11、如圖，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則+的值等于．FEFEBCDA【答案】12、等邊三角形，點是邊上任意一點，于點，于點．若，則_____________．【答案】三、解答題6．（山東省臨沂市）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC＝1km，B村到公路l的距離BD＝2km，B村在A村的南偏東方向上．（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）．北北東BACDl解：（1）方法一：設與的交點為，根據(jù)題意可得．和都是等腰直角三角形．，．兩村的距離為（km）．BBACDlNMOP（2）作圖正確，痕跡清晰．作法：①分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點，作直線；②直線交于點，點即為所求． （7分）5．（2009白銀市）如圖13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D為AB邊上一點，求證：（1）；（2）．【關鍵詞】全等三角形的判定、勾股定理【答案】27．證明:（1）∵，∴．即∵，∴△ACE≌△BCD（2）∵是等腰直角三角形，∴．∵△ACE≌△BCD，∴．∴．∴．由（1）知AE＝DB，1．（2009年浙江省紹興市）如圖，在中，，分別以為邊作兩個等腰直角三角形和，使．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．【關鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．(2)AB＝AC,,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．2．（2009年河南）如圖所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，點O是AD、BC的交點，點E是AB的中點．試判斷OE和AB的位置關系,并給出證明．【關鍵詞】等腰三角形的性質(zhì)與判定【答案】OE⊥AB．證明：在△BAC和△ABD中，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA．∴△BAC≌△ABD．∴∠OBA＝∠OAB,∴OA＝OB．又∵AE＝BE,∴OE⊥AB．3．（2009年新疆）如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是，斜邊長為和一個邊長為的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖．（2）證明勾股定理．ccbacbacbacbacc【關鍵詞】勾股定理的驗證【答案】方法一解：（1）如圖ababccccbbbaaaabc（2）證明：大正方形的面積表示為,大正方形的面積也可表示為,，，．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．方法二解：（1）如圖（2）證明：大正方形的面積表示為：，又可以表示為：,，，．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．4．(2009年牡丹江市)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長．【關鍵詞】勾股定理的應用【答案】在中，由勾股定理有：，擴充部分為擴充成等腰應分以下三種情況：①如圖1，當時，可求,得的周長為32m．②如圖2，當時，可求,由勾股定理得：,得的周長為③如圖3，當為底時，設則由勾股定理得：,得的周長為AADCBADBCADBC圖1圖2圖37．（2009年重慶）作圖，請你在下圖中作出一個以線段AB為一邊的等邊．（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法和結論）AAB19題圖已知：求作：【關鍵詞】等邊三角形,尺規(guī)作圖【答案】解：已知：線段．求作：等邊．作圖如下：（注：每段弧各1分，連接線段各1分）AABC【關鍵詞】勾股定理、直角三角形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和全等三角形的判定方法DDCEBGAF8．(2009年湖州)若P為所在平面上一點，且，則點叫做的費馬點．（1）若點為銳角的費馬點，且，則的值為________；（2）如圖，在銳角外側作等邊′連結′．求證：′過的費馬點，且′＝．AACB【關鍵詞】閱讀理解題，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，綜合題【答案】（1）2．（2）AACBPE證明：在上取點，使，連結，再在上截取，連結．，為正三角形，＝，為正三角形，＝，＝，′，．，，為的費馬點，過的費馬點，且＝+．9．（2009臨沂）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC＝1km，B村到公路l的距離BD＝2km，B村在A村的南偏東方向上．（1）求出A，B兩村之間的距離；（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）．北北東BACDl【關鍵詞】等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖【答案】解：（1）方法一：設與的交點為，根據(jù)題意可得．和都是等腰直角三角形．，．兩村的距離為（km）．方法二：過點作直線的平行線交的延長線于．易證四邊形是矩形，．在中，由，可得．（km）兩村的距離為km．（2）作圖正確，痕跡清晰．BBACDlNMOP作法：①分別以點為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點，作直線；②直線交于點，點即為所求．10．（2009年中山）如圖所示，是等邊三角形，點是的中點，延長到，使，（1）用尺規(guī)作圖的方法，過點作，垂足是（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：．【關鍵詞】等腰三角形，等邊三角形【答案】解：（1）作圖見下圖，AACBDEM（2）是等邊三角形，是的中點，平分（三線合一），．，．又，．又，，，．又，．11.（2009龍巖）閱讀下列材料：正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形．數(shù)學老師給小明同學出了一道題目：在圖正方形網(wǎng)格（每個小正方形邊長為1）中畫出格點△ABC，使；小明同學的