1/1第1章部分習(xí)題參考解答-外語學(xué)習(xí)

第1章部分習(xí)題參考解答

GGG

1.1給定三個矢量A、B和C如下：

GGGGGGGGGG

A=ex+ey2ez3，B=ey4+ez，C=ex5ez2，

GGGGGGG

求：（1）eA；（2）AB；（3）AB；（4）θAB；（5）A在B上的重量；

GGGGGGGGGGGGGG（6）AC；（7）A(BC)和(AB)C；（8）(AB)C和A(BC)。

GGGG

e+e2eAGGGG3解：（1）eA===ex+eyezAGGGGGGGGGG

（2）AB=(ex+ey2ez3)(ey4+ez)=ex+ey6ez4=GGGGGGG

（3）AB=(ex+ey2ez3)(ey4+ez)=11（4）由cosθAB

GGAB，得===AB

=135.5DθAB=arccos(GG

GGGGAB（5）A在B上的重量AB=AcosθAB==

B

GG

（6）AC=1

Gex5

Gey20Gex5

GGAB=1

Gex0

GGG3=ex4ey13ez102Gey40Gey24

Gez

GGG

1=ex8+ey5+ez20，Gez

GG

（7）由于BC=0

2

GGG3=ex10eyez41Gez

GGGGGGGGG

所以，A(BC)=(ex+ey2ez3)(ex8+ey5+ez20)=42

GGGGGGGG

(AB)C=(ex10eyez4)(ex5ez2)=42

GGGGGG

（8）(AB)C=1014=ex2ey40+ez5

5

2

Gex

Gey

Gez

第1章部分習(xí)題參考解答

GGG

A(BC)=1

Gex8

Gey25

GGG3=ex55ey44ez11

20

Gez

1.2三角形的三個頂點為P1(0,1,2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)。（1）推斷ΔPP（2）求三角形的面積。12P3是否為始終角三角形；解：（1）三個頂點P1(0,1,2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)的位置矢量分別為

GGGGGGGGGGG

r1=eyez2，r2=ex4+eyez3，r3=ex6+ey2+ez5GGGGGGGGGGG

則R12=r2r1=ex4ez，R23=r3r2=ex2+ey+ez8，GGGGGGR31=r1r3=ex6eyez7

GGGGGGG

由此可得R12R23=(ex4ez)(ex2+ey+ez8)=0所以，ΔPP12P3為始終角三角形。

（2）三角形的面積S==17.13

GG

1.3求點P'(3,1,4)到點P(2,2,3)的距離矢量R及R的方向。解：點P'(3,1,4)和點P(2,2,3)的位置矢量分別為

GGGGGGGGrP'=ex3+ey+ez4，rP=ex2ey2+ez3GGGGGGG則R=RP'P=rPrP'=ex5ey3ez

G

且RP'P與x、y、z軸的夾角分別為

GGeR=32.31Dφx=arccosxP'P=arccosRP'P

GGeRD

φy=arccosyP'P=arccos120.47=RP'P

GGeRφz=arccoszP'P=arccos=99.73DRP'P

GGGGGGGGG

求它們之間的夾角和A在1.4給定兩矢量A=ex2+ey3ez4和B=ex4ey5+ez6，G

B上的重量。

第1章部分習(xí)題參考解答

G

G解：A==，B==

GGGGGGGG

AB=(ex2+ey3ez4)(ex4ey5+ez6)=31GG

故A與B之間的夾角為

D=arccos=131θABG

GGBG

A在B上的重量為AB=A==3.532

B

GGGGGGGGGGGGGG

1.5給定兩矢量A=ex2+ey3ez4和B=ex6ey4+ez，求AB在C=exey+ez上的重量。

Gex

Gey

Gez

=arccos

GGABAB

GG

解：AB=2

3

GGG4=ex13+ey22+ez10

641

GGGGGGGGG

(AB)C=(ex13+ey22+ez10)(exey+ez)=25G

C==GGG

GGGGG(AB)C所以，AB在C上的重量為(AB)C===14.43C

GGGGGGGGGG

1.6證明：假如AB=AC和AB=AC，則B=C。GGGGGGGGGG

證：由AB=AC，得A(AB)=A(AC)，即

GGGGGGGGGGGG(AB)A(AA)B=(AC)A(AA)CGGGGGGGGGG

由于AB=AC，于是得到(AA)B=(AA)C

GG

所以，B=C

1.7假如給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未

GGGGGGGG

知矢量。設(shè)A為一已知矢量，p=AX而P=AX，p和P已知，試求X。GGGGGGGGGGGGGGGGGG

解：由P=AX，有AP=A(AX)=(AX)A(AA)X=pA(AA)X

GGGGGGGpAAPpAAP

=故得X=

A2AA

第1章部分習(xí)題參考解答

1.8在圓柱坐標系中，一點的位置由(4,

2π

（1）直角坐標系,3)定出，求該點在：

3

中的坐標；（2）球坐標系中的坐標。

2π2π

解：（1）在直角坐標系中，x=4cos(=2,4sin(y==3z=

33

故該點的直角坐標為(2,。（2）在球坐標系中，

θ=φ=r==5,arctan(4/3)=53.1D,

故該點的球坐標為(5,53.1D,120D)。

2π

rad=120D3

GG25

1.9用球坐標表示的場E=er2。

r

G

（1）求在直角坐標中點(3,4,5)處的E和Ex；

GGGGG

（2）求在直角坐標中點(3,4,5)處E與矢量B=ex2ey2+ez構(gòu)成的夾角。

解：（1）在直角坐標系中(3,4,5)點處，r==，

GG251

故E=er2=

r2

GGGG

又在直角坐標系中(3,4,5)點處，r=ex3+ey4ez5，所以，

GGG

GG2525Ge3+e4e5

E=er2=3r=

rrGG

故Ex=exE==

20G

（2）B==3在直角坐標中(3,4,5)點處

GGG

GGe3+e4e5GGG

EB=(ex2ey2+ez)=GG

故，E與B構(gòu)成的夾角為

θEB

=arccos

GG

19EBD

arccos153.6==3/2EB

1.11已知標量函數(shù)u=x2yz，求u在點(2,3,1)處沿指定方向

第1章部分習(xí)題參考解答

GGGGGG

解：u=ex(x2yz)+ey(x2yz)+ez(x2yz)=ex2xyz+eyx2z+ezx2y

xyz

GGGG故沿指定方向el=exey+ez的方向?qū)?shù)為

uG22=uel=luG

=++=點(2,3,1)處沿el的方向?qū)?shù)值為

l(2,3,1)1.12已知標量函數(shù)u=x2+2y2+3z2+3x2y6z。（1）求u；（2）在哪些點上

u等于0？

GuGuGuGGG

+ey+ez=ex(2x+3)+ey(4y2)+ez(6z6)解：（1）u=ex

xyzGGG

（2）由u=ex(2x+3)+ey(4y2)+ez(6z6)=0，得

x=3/2,1/y=2,1z=

x2y2z2

1.13方程u=2+2+2給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。

abcG2xG2yG2z解：由于u=ex2+ey2+ez2

abc故橢球表面上任意點的單位法向矢量為

uGG

en==exu1.14利用直角坐標系，證明(uv)=uv+vu證：在直角坐標系中，

第1章部分習(xí)題參考解答

GvGvGvGuGuGu

+ey+ez+vex+ey+ezuv+vu=uex

yzxyzx

uGvuGvuGv

=exu+v+eyu+v+ezu+v

xyzxzy

G(uv)G(uv)G(uv)

=ex+ey+ez

xyz=(uv)

1.15一個球面S的半徑為5，球心在原點上，計算v∫解：v∫

S

S

GG

(er3sinθ)dS的值。

GGGG

(er3sinθ)dS=v(e3sinθ)erdS∫r

S

=∫

2π

∫

π

3sinθ52sinθdθdφ=75π2

GGGG

1.16已知矢量E=ex(x2+axz)+ey(xy2+by)+ex(zz2+czx2xyz)，試確定常數(shù)G

a、b、c，使E為無源場。

G

解：由E=(2x+az)+(2xy+b)+(12z+cx2xy)=0，得

a=2,1,b=2c=

GG2G

1.17在由ρ=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量A=eρρ+ez2z驗證散度定理。

G1

(ρρ2)2+(2z)=3ρ+2證：在圓柱坐標系中，A=

ρρz

G42π5

所以，∫AdV=∫dz∫dφ∫(3ρ+2)ρdρ=1200π

V000GGGGGGGG又v∫AdS=∫AdS+∫AdS+∫AdS

S

S上

S下

S柱面

=∫

2π

2π4G

+∫∫A

2π

∫∫

5

GA

z=4

2π5GG

ezρdρdφ+∫∫A

z=0

G

(ez)ρdρdφ

ρ=5

G

eρ5dzdφ

2π0

=∫

V

5

00

24ρdρdφ+∫

S

∫

4

525dzdφ=1200π

GGG

故有∫AdV=1200π=vA∫dS

GGG2G22G223

1.18（1）求矢量A=exx+eyxy+ez24xyz的散度；（2）求A對中心在原

G點的一個單位立方體的積分；（3）求A對此立方體表面的積分，驗證散度定理。

第1章部分習(xí)題參考解答

G(x2)(x2y2)(24x2y2z3)

解：（1）A=++=2x+2x2y+72x2y2z2

xyzG

（2）A對中心在原點的一個單位立方體的積分為

∫

V

G1/2AdV=∫

1/21/21/2

∫∫

1/21/2

(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=

G

（3）A對此立方體表面的積分為

124

v∫

S

GG1/2

AdS=∫

1/21/211

dydzdydz∫1/2∫1/221/2∫1/22

1/21/2

1/2

2

2

22

1/21/211

+∫∫x2dxdz∫∫x2dxdz

1/21/21/21/2

22

3

3

1/21/21/21/211

+∫∫24x2y2dxdy∫∫24x2y2dxdy1/21/21/21/2

22

1=24GGG1

故有∫AdV==∫AdS

VS24vGG

1.19計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求r對球體積的積分。

2ππGGGG23

解：vrdS=redS=dφaasinθdθ=4πa∫v∫r∫∫

S

S

G12

又在球坐標系中，r=(rr)=3，所以

rr

2ππaG23

∫rdV=∫∫∫3rsinθdrdθdφ=4πa

V

GGGG

（1）1.20在球坐標系中，已知矢量A=era+eθb+eφc，其中a、b和c均為常數(shù)。

GGG

問矢量A是否為常矢量；（2）求A和A。

GGGGG解：（1）A=A==，即矢量A=era+eθb+eφc的模為常數(shù)。GGGG

將矢量A=era+eθb+eφc用直角坐標表示，有

GGGGA=era+eθb+eφc

G

=ex(asinθcosφ+bcosθcosφcsinφ)

GG

+ey(asinθsinφ+bcosθsinφ+ccosφ)+ez(acosθbsinθ)

GG

由此可見，矢量A的方向隨θ和φ變化，故矢量A不是常矢量。

G

有上述結(jié)果可知，一個常矢量C在球坐標系中不能表示為

第1章部分習(xí)題參考解答

GGGGC=era+eθb+eφc

（2）在球坐標系中，

G1211c2abcosθ

(sinθb)+=+A=2(ra)+

rrrsinθθrsinθφrrsinθGGG

erreθrsinθeφ

G1GccosθGcGb

=ereθ+eφ

A=2

rsinθrθrsinθrφr

ArrAθrsinθAφ

GGGG

1.21求矢量A=exx+eyx2+ezy2z沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回路的線

G

積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求A對此回路所包圍的

曲面的面積分，驗證斯托克斯定理。解：如圖題1.21所示，可得

y

v∫

C

GG2GAdl=∫A

020

y=0

2GG

exdx+∫A

2

x=2

2GG

eydy+∫A

02

y=2

2GG

(ex)dx+∫A

x=0

G(ey)dy

=∫xdx+∫22dy∫xdx∫0dy

2

=8Gex

G又A=

xx所以，∫

CS

Geyyx2GezGG=ex2yz+ez2xzy2z

GG22G22GG

AdS=∫∫(ex2yz+ez2x)ezdxdy=∫∫2xdxdy=8

S

GGGG

故有vAdl=8=AdS∫∫

GGGG2222

再計算A對此圓面積1.22求矢量A=exx+exxy沿圓周x+y=a的線積分，

的積分。

第1章部分習(xí)題參考解答

GG2ππa424222

解：v∫CAdl=v∫Cxdx+xydy=∫0(acosφsinφ+acosφsinφ)dφ=4Ga2ππa4GAyAxG222

ezdS=∫SydS=∫0∫0ρsinφρdφdρ=∫SAdS=∫Sezxy4

GGGGGGGGG

1.23證明：（1）r=3；（2）r=0；（3）(kr)=k。其中，r=exx+eyy+ezz，G

k為一常矢量。

Gxyz

證：（1）r=++=3

xyzGGGexeyez

G

（2）r==0

xyzxyz

GGGGGG

（3）設(shè)k=exkx+eyky+ezkz，則kr=kxx+kyy+kzz，故GGGG

(kr)=ex(kxx+kyy+kzz)+ey(kxx+kyy+kzz)

xyG

+ez(kxx+kyy+kzz)

z

GGGG

=exkx+eyk