專題07：極值點偏移第五招——函數(shù)的選取于極值點偏移問題，前文已多次提到其解題策略是將多元問題（無論含參數(shù)或不含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為一元問題，過程都需要構(gòu)造新函數(shù).那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然會選取不同的函數(shù).★已知函數(shù)有兩個不同的零點，，其極值點為．（1）求的取值范圍； （2）求證：；（3）求證：； （4）求證：．【思考】練習(xí)1：（查看熱門文章里極值點偏移（1））應(yīng)該用哪個函數(shù)來做呢？練習(xí)2：（安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測）已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),，為函數(shù)的兩個零點，求證.【招式演練】★已知函數(shù)有兩個零點，求證：.★已知的圖像上有兩點，其橫坐標(biāo)為，且.（1）證明：；（2）證明：.★已知函數(shù)．（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：．★已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：<0.★已知函數(shù)f（1）當(dāng)x>1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.（2）若對于任意x∈[e,e2]，都有（3）若x1≠x2★已知函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)極值點為，若存在，且，使，求證：★已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，是函數(shù)的兩個零點，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：.★已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（1）不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）設(shè)在內(nèi)的實根為，，若在區(qū)間上存在，證明：.★已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時，.★已知.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，，為函數(shù)的兩個零點，求證：.★已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：．★已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：．于極值點偏移問題，前文已多次提到其解題策略是將多元問題（無論含參數(shù)或不含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為一元問題，過程都需要構(gòu)造新函數(shù).那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然會選取不同的函數(shù).★已知函數(shù)有兩個不同的零點，，其極值點為．（1）求的取值范圍； （2）求證：；（3）求證：； （4）求證：．解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減，學(xué)*科網(wǎng)在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有．（嚴(yán)格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當(dāng)時，；當(dāng)時，）．（3）由所證結(jié)論可以看出，這已不再是的極值點偏移問題，誰的極值點會是1呢？回到題設(shè)條件：（ii）構(gòu)造函數(shù)，則學(xué)*科網(wǎng)（4）（i）同上；（ii）構(gòu)造函數(shù)，則學(xué)*科網(wǎng)當(dāng)時，，但因式的符號不容易看出，引進輔助函數(shù)，則，當(dāng)時，，得在上遞增，有，則，得在上遞增，有，即；（iii）將代入（ii）中不等式得，又，，在上遞增，故，．學(xué)*科網(wǎng)點評：雖然做出來了，但判定因式及的正負時，均需要輔助函數(shù)的介入，費了一番功夫，雖然的極值點是1，理論上可以用來做（3）、（4）兩問，但實踐發(fā)現(xiàn)略顯麻煩，我們還沒有找到理想的函數(shù)．再次回到題設(shè)條件：，記函數(shù)，則有．接下來我們選取函數(shù)再解（3）、（4）兩問．（3）（i），得在上遞減，在上遞增，有極小值，又當(dāng)時，；當(dāng)時，，由不妨設(shè)．【點評】用函數(shù)來做（3）、（4）兩問，過程若行云流水般，格外順暢．這說明在極值點偏移問題中，若函數(shù)選取得當(dāng)，可簡化過程，降低難度．注1：第（2）問也可借助第（4）問來證：將，相加得．注2：在第（ii）步中，我們?yōu)槭裁纯偸墙o定的范圍？這是因為的范圍較的范圍小，以第（3）問為例，若給定，因為所構(gòu)造的函數(shù)為，這里，且，得，則當(dāng)時，無意義，被迫分為兩類：①若，則，結(jié)論成立；②當(dāng)時，類似于原解答．而給字，則不會遇到上述問題．當(dāng)然第（4）問中給定或的范圍均可，請讀者自己體會其中差別．【思考】練習(xí)1：（查看熱門文章里極值點偏移（1））應(yīng)該用哪個函數(shù)來做呢？提示：用函數(shù)來做，用函數(shù)來做．學(xué)*科網(wǎng)練習(xí)2：（安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測）已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè),，為函數(shù)的兩個零點，求證.提示：將，兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程處理.【招式演練】★已知函數(shù)有兩個零點，求證：.只要證：即證：，即證：，由的單調(diào)性知，只需證：，學(xué)*科網(wǎng)同理構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明，下略.★已知的圖像上有兩點，其橫坐標(biāo)為，且.（1）證明：；（2）證明：.又構(gòu)造函數(shù)：，則，故在上單調(diào)遞增，由于時，，且，故必存在，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，學(xué)*科網(wǎng)再由，且在上單調(diào)遞增，故，即證：成立.綜上：即證成立.從而對恒成立，同理得出：.綜上：即證成立，也即原不等式成立.學(xué)*科網(wǎng)★已知函數(shù)．（1）若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）證明見解析.試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得．因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為．（2）因為，①當(dāng)時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)，即時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；學(xué)*科網(wǎng)④當(dāng)，即時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．令，則，于是，令（），則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立，所以原不等式成立．所以，即成立，所以原不等式成立．學(xué)*科網(wǎng)【方法點晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與切線的問題，考查導(dǎo)數(shù)與極值、最值的問題，考查構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的方法.第一問涉及求函數(shù)的參數(shù)，只需代入點的坐標(biāo)解方程即可，涉及切線問題利用導(dǎo)數(shù)和斜率的對應(yīng)關(guān)系易得.第二問求函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值，需要對進行分類討論，分類的依據(jù)是導(dǎo)數(shù)的零點是否在定義域內(nèi).第三問要證明不等式，先將其轉(zhuǎn)化為同一個參數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最小值來求.★已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：<0.【答案】（1）（2）（3），理由見解析用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值.學(xué)*科網(wǎng)（3）有兩個實根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證.試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴．★已知函數(shù)（）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間和極值.（）若對于任意，都有成立，求的取值范圍；（）若且證明：【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析.試題解析：⑴①時,因為所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值；②當(dāng)時，令解得，當(dāng)時，當(dāng)所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在區(qū)間上的極小值為無極大值．⑵由題意，即問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立．即對于恒成立,令,則令,則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故故所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)要使對于恒成立,只要,又即證構(gòu)造函數(shù)即h因為,所以即所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故而故所以即所以成立．點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題．處理導(dǎo)數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會．學(xué)科%網(wǎng)★已知函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)極值點為，若存在，且，使，求證：【答案】（1）增區(qū)間為：減區(qū)間為：；（2）見解析.試題解析：（Ⅰ）的定義域為，由得:由得增區(qū)間為：由得減區(qū)間為：（Ⅱ）要證，只需證由（Ⅰ）知在上為增函數(shù)，在上是增函數(shù)，，即又成立，即★已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，是函數(shù)的兩個零點，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號進行討論，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)有一零點，導(dǎo)函數(shù)先正后負，故得增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）利用分析法先等價轉(zhuǎn)化所證不等式：要證明，只需證明，即證明，即證明，再令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定其最值：在上遞增，所以，即可證得結(jié)論.學(xué)#科網(wǎng)綜上：∴當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為即證明，即證明令，則則，∴在上遞減，，∴在上遞增，所以成立，即點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（1）不等式對任意恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）設(shè)在內(nèi)的實根為，，若在區(qū)間上存在，證明：.【答案】（1）1（2）見解析：要證：，即證：，只要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中.利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，即得學(xué)*科網(wǎng)試題解析：（1）由，所以，設(shè)，∴.由，∴，在上單調(diào)遞增；，∴，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以實數(shù)的最大值為.而，故，而，從而，因此當(dāng)，即單調(diào)遞增.從而當(dāng)時，，即，故得證.學(xué)科.網(wǎng)★已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時，.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.★已知.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，，為函數(shù)的兩個零點，求證：.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析:（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，分類討論，當(dāng)時，；當(dāng)時，，由得，時，，時，，即可得出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．不妨設(shè)，由條件知，即，構(gòu)造函數(shù)，與圖像兩交點的橫坐標(biāo)為，，利用單調(diào)性只需證學(xué)科#網(wǎng)構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明．點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度大，屬于難題．處理導(dǎo)數(shù)大題時，注意分層得分的原則，力爭第一二問答對，第三問爭取能寫點，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論，對于恒成立問題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會．★已知函數(shù)，．（Ⅰ）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)存在兩個極值點，，且，證明：．【答案】（1）．（2）詳見解析.②若，即，方程的兩根為，，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意．綜上，若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為．（Ⅱ）因為函數(shù)有兩個極值點，所以在上有兩個不等的實根，即在有兩個不等的實根，，于是，且滿足，，，同理可得．學(xué)#科網(wǎng)，★已知函數(shù)與的圖象在點處有相同的切線．（Ⅰ）若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程見解析；（Ⅱ）由題意，函數(shù)，其定義域為，，令，得，其判別式，函數(shù)有兩個極值點，，等價于方程在內(nèi)有兩不等實根，又，故．所以，且，，，令