專題01：初識極值點偏移一、極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數(shù)的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、新題展示【2019江蘇無錫高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)f(x)=－ax(a>0).(1)當(dāng)a=1時，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函數(shù)y=f(x)恰好在x=x1和x=x2兩處取得極值，求證：<lna.四、問題初現(xiàn)，形神合聚★函數(shù)有兩極值點，且.證明：.★已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過的中點作軸的垂線分別交，于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.五、招式演練★過點P(?1,0)作曲線f(x)=e（1）求切線l的方程；（2）若直線l與曲線y=af(x)?(a∈R)五、新題試煉【2019江蘇無錫高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)f(x)=－ax(a>0).(1)當(dāng)a=1時，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函數(shù)y=f(x)恰好在x=x1和x=x2兩處取得極值，求證：<lna.極值點偏移問題在近幾年高考及各種?？?，作為熱點以壓軸題的形式給出，很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的.其實，此類問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們來逐一探索！一、極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對稱；可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點.如二次函數(shù)的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)滿足，則與極值點必有確定的大小關(guān)系：學(xué)科*網(wǎng)若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數(shù)的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（為函數(shù)的極值點）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點）；3.若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.三、新題展示【2019江蘇無錫高三上學(xué)期期末】已知函數(shù)f(x)=－ax(a>0).(1)當(dāng)a=1時，求證：對于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)若函數(shù)y=f(x)恰好在x=x1和x=x2兩處取得極值，求證：<lna.【答案】（1）見解析；（2）見解析.（2）∵函數(shù)y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2兩處取得極值∴x1，x2是方程f′（x）＝0的兩個實數(shù)根，不妨設(shè)x1＜x2，∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，當(dāng)a≤0時，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）＝0至多有一個實數(shù)解，不符合題意，當(dāng)a＞0時，f″（x）＜0的解集為（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集為（lna，+∞），∴f′（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，學(xué)科.網(wǎng)∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，由題意，應(yīng)有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，此時f′（﹣1）0，∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，易知當(dāng)時，f(x).∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，∴a＞1滿足題意，設(shè)g（t）＝（2t﹣et）et+1，∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，∴g（t）單調(diào)遞減，∴g（t）＜g（0）＝0，即f″（）＜0，∴∴l(xiāng)na．四、問題初現(xiàn)，形神合聚★函數(shù)有兩極值點，且.證明：.所以，所以，因為，，在上單調(diào)遞減所以，即.學(xué)科&網(wǎng)★已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過的中點作軸的垂線分別交，于點，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.五、招式演練★過點作曲線的切線．（1）求切線的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點，，求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，再根據(jù)點斜式求切線方程．因為，不妨設(shè)，．學(xué)科@網(wǎng)設(shè)，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，．因為x2>-2，所以從而，因為，在單調(diào)遞減，所以，即．學(xué)科&網(wǎng)極值