2024屆北京科技大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，若{an}前n項(xiàng)和為24，則n為()．A．25 B．576 C．624 D．6252．已知，則滿足的關(guān)系式是A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．4．某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國(guó)畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的概率為（）A． B． C． D．5．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則（)A． B． C． D．6．半徑為，中心角為的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．將甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)5場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成如圖所示的莖葉圖，由圖可知以下結(jié)論正確的是()A．甲隊(duì)平均得分高于乙隊(duì)的平均得分中乙B．甲隊(duì)得分的中位數(shù)大于乙隊(duì)得分的中位數(shù)C．甲隊(duì)得分的方差大于乙隊(duì)得分的方差D．甲乙兩隊(duì)得分的極差相等8．在數(shù)列an中，an+1=an+a（n∈N*，a為常數(shù)），若平面上的三個(gè)不共線的非零向量OA、OB、OC滿足OC=a1A．1005 B．1006 C．2010 D．20129．已知函數(shù)f（x），則f[f（2）]＝（）A．1 B．2 C．3 D．410．將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折起，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)f(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是____________.12．已知，，若，則實(shí)數(shù)________.13．200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機(jī)抽取40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按1~200編號(hào)，分為40組，分別為1~5，6~10，…，196~200，若第5組抽取號(hào)碼為22，則第8組抽取號(hào)碼為________．若采用分層抽樣，40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人．14．一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔的南偏西距塔64海里的處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的處,則這只船的航行速度為__________海里/小時(shí)．15．在正方體中，是的中點(diǎn)，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.16．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.18．解下列方程（1）；（2）；19．某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？（不用計(jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖20．高一某班以小組為單位在周末進(jìn)行了一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，且每小組有5名同學(xué)，活動(dòng)結(jié)束后，對(duì)所有參加活動(dòng)的同學(xué)進(jìn)行測(cè)評(píng)，其中A，B兩個(gè)小組所得分?jǐn)?shù)如下表：A組8677809488B組9183？7593其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，看不清楚了，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高出1分.（1）若從B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過(guò)85分的概率；（2）從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，求的概率.21．已知點(diǎn)，，均在圓上.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相交于,兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在直線，使得恰好平分的外接圓？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】an＝＝－()，前n項(xiàng)和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋()]＝－1＝24，故n＝624.故選C.2、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【題目詳解】∵，∴，∵，∴，又，∴，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵．3、D【解題分析】

過(guò)的中心M作直線,則上任意點(diǎn)到的距離相等，過(guò)線段中點(diǎn)作平面，則面上的點(diǎn)到的距離相等，平面與的交點(diǎn)即為球心O，半徑，故選D.考點(diǎn)：求解三棱錐外接球問(wèn)題.點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是找到球心的位置（球心到4個(gè)頂點(diǎn)距離相等）.4、B【解題分析】

算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率的計(jì)算公式可求概率.【題目詳解】設(shè)為“恰好抽到2幅不同種類”某學(xué)校美術(shù)室收藏有6幅國(guó)畫，分別為人物、山水、花鳥各2幅，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽，基本事件總數(shù)，恰好抽到2幅不同種類包含的基本事件個(gè)數(shù)，則恰好抽到2幅不同種類的概率為．故選B．【題目點(diǎn)撥】計(jì)算出所有的基本事件的總數(shù)及隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算即可.計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)該利用排列組合的方法.5、D【解題分析】

可得.【題目詳解】向量，則．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【題目詳解】，.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解題分析】

由莖葉圖分別計(jì)算甲、乙的平均數(shù)，中位數(shù)，方差及極差可得答案．【題目詳解】29；30，∴∴A錯(cuò)誤；甲的中位數(shù)是29，乙的中位數(shù)是30，29<30,∴B錯(cuò)誤；甲的極差為31﹣26＝5，乙的極差為32﹣28＝4，5∴D錯(cuò)誤；排除可得C選項(xiàng)正確，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了由莖葉圖求數(shù)據(jù)的平均數(shù)，極差，中位數(shù)，運(yùn)用了選擇題的做法即排除法的解題技巧，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

利用等差數(shù)列的定義可知數(shù)列an為等差數(shù)列，由向量中三點(diǎn)共線的結(jié)論得出a1+【題目詳解】∵an+1=an∵三點(diǎn)A、B、C共線且該直線不過(guò)O點(diǎn)，OC=a1因此，S2010故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列求和，涉及等差數(shù)列的定義以及向量中三點(diǎn)共線結(jié)論的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9、B【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式求解即可.【題目詳解】由題.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值,屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】

根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形得出三棱錐的外接球直徑，從而求出外接球的表面積，得到答案.【題目詳解】由題意，將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折起，得到三棱錐，如圖所示，則,三棱錐的外接球直徑為，即半徑為，外接球的表面積為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面圖形的折疊問(wèn)題，以及外接球的表面積的計(jì)算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（2,4）【解題分析】

令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函數(shù)求出定點(diǎn)的縱坐標(biāo)得解.【題目詳解】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函數(shù)得，所以定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,4）.故答案為：（2,4）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、2或【解題分析】

根據(jù)向量平行的充要條件代入即可得解.【題目詳解】由有：，解得或.故答案為：2或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量平行的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、371【解題分析】

由系統(tǒng)抽樣，編號(hào)是等距出現(xiàn)的規(guī)律可得，分層抽樣是按比例抽取人數(shù)．【題目詳解】第8組編號(hào)是22+5+5+5＝37，分層抽樣，40歲以下抽取的人數(shù)為50%×40＝1（人）．故答案為：37；1．【題目點(diǎn)撥】本題考查系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】由，行駛了4小時(shí)，這只船的航行速度為海里/小時(shí)．【題目點(diǎn)撥】本題為解直角三角形應(yīng)用題，利用直角三角形邊角關(guān)系表示出兩點(diǎn)間的距離，在用輔助角公式變形求值，最后利用速度公式求出結(jié)果.15、【解題分析】

作出圖形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計(jì)算出、，可得出，進(jìn)而得解.【題目詳解】如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，為的中點(diǎn)，則，，且，為的中點(diǎn)，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的正弦值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角函數(shù)的定義求余弦值，解題的關(guān)鍵就是三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)即可．（2）利用配湊把打開即可．【題目詳解】解：（1）原式（2），，又，，，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二倍角公式，兩角和與差的正切的應(yīng)用．輔助角公式．18、（1）或；（2）；【解題分析】

（1）由，得，解方程即可.（2）由已知得到，解得即可.【題目詳解】（1），，或，或.（2），，解得.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)型、對(duì)數(shù)型方程，考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見解析，B類②123，133.8，131.1【解題分析】

（1）先計(jì)算抽樣比為，進(jìn)而可得各層抽取人數(shù)（2）①類、類工人人數(shù)之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數(shù)，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更?、谌∶總€(gè)小矩形的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積相加即得平均數(shù).【題目詳解】（1）由已知可得：抽樣比，故類工人中應(yīng)抽?。喝?，類工人中應(yīng)抽取：人，（2）①由題意知，得，，得．滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更?。?，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1【題目點(diǎn)撥】本題考查等可能事件、相互獨(dú)立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等知識(shí)、考查運(yùn)算能力．20、（1）（2）【解題分析】

（1）先設(shè)在B組中看不清的那個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x，分別求得兩組的平均數(shù)，再由平均數(shù)間的關(guān)系求解.（2）先求出從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)所有方法數(shù)，再用列舉的方法得到滿足求的方法數(shù)，再由古典概型求解.【題目詳解】（1）設(shè)在B組中看不清的那個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)為x由題意得解得x=88所以在B組5個(gè)分?jǐn)?shù)超過(guò)85的有3個(gè)所以得分超過(guò)85分的概率是（2）從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，則所有共有共10個(gè)其中滿足求的有:共6個(gè)故|的概率為

【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平均數(shù)和古典概型概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（3）存在，和.【解題分析】

（1）根據(jù)圓心在，的中垂線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)求出的值，從而可得結(jié)果；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理可得結(jié)果；（3）首先驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)符合題意，然后斜