彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊界問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法§5－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種函數(shù)。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。應(yīng)力變分法─取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。

彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當(dāng)取時的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢能1.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：形變勢能（2）∵應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是非線性關(guān)系─

線性關(guān)系─（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（3）對于平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題

單元體積上應(yīng)力所做的功都是

(c)形變勢能（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的

內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能，或應(yīng)變能，存貯于物體內(nèi)部。

─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。形變勢能（5）整個彈性體的形變勢能是

(d)形變勢能形變勢能

對于平面應(yīng)變問題，將，。再將幾何方程代入，可用位移表示為（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形變勢能密度，可用形變表示為3.形變勢能的性質(zhì)（1）是應(yīng)變或位移的二次泛函， 故不能應(yīng)用疊加原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關(guān)。（4）對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力：

(g)形變勢能的性質(zhì)

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和，(h)1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系下，。2.試由式(e)導(dǎo)出式(g)。3.試列出極坐標(biāo)系中平面應(yīng)力問題的形變勢能公式，并與式(d)、(e)和(f)相比較。思考題§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其宗量為位移狀態(tài)函數(shù)

，。 現(xiàn)在來導(dǎo)出位移變分方程。⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移(a)

其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態(tài)的位移、，必須滿足

2.虛位移狀態(tài)

⑴虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即

虛位移(b)（在上）。

虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài)

就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。(c)虛位移微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置

(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y；而因變量為函數(shù)，如位移，有

(d)⑵變分與微分的比較變分與微分變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(e)由于微分和變分都是微量，所以

a.它們的運(yùn)算方式相同，如式(d)，(e)；

b.變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(f)當(dāng)發(fā)生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能由于虛位移引起虛應(yīng)變，外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

形變勢能的變分，即實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功,

由于實際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,∴作為常力計算，故無系數(shù)。虛位移上功和能(j)（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）。故有位移變分方程4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出（2）位移變分方程

─將式(g)的代入上式,得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程位移變分方程它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程

─將式(j)的代入上式，得其中─形變勢能的變分，如式(j)所示，

─外力功的變分，如式(g)所示。位移變分方程（4）最小勢能原理─式(k)可寫成其中U─彈性體的形變勢能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)。可以證明，式(n)可以寫成為證明如下：位移變分方程由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運(yùn)算，可得

綜合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移變分方程位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。最小勢能原理：數(shù)學(xué)表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)（5）位移變分方程的又一形式

─式(l)

中可化為

又一形式應(yīng)用分部積分公式和格林公式（其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦），可將進(jìn)行轉(zhuǎn)換。又一形式∵在上，虛位移，∴

對其余幾項進(jìn)行同樣的轉(zhuǎn)換，并代入式(),可得又一形式的位移變分方程：又一形式例如，對第一項計算，(s)因，都是任意的獨立的變分，為了滿足上式,必須（在A中）(v)（在上）(w)又一形式

由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。⑴實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應(yīng)力邊界條件；

c.域A中的平衡微分方程。5.結(jié)論結(jié)論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b,c。結(jié)論⑶由此得出一種變分解法，即預(yù)先使位移函數(shù)滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位移解答。

1.微分和變分各是由什么原因引起的？

2.試導(dǎo)出式(u)。

3.試比較4.中變分方程

(1)-(5)的不同的物理解釋。

4.試證明二階變分。思考題

位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程?！?-6位移變分法(a)瑞利-里茨法

（1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令

1.瑞利-里茨法

其中和均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法 ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。 而，用來反映位移狀態(tài)的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(d)瑞利-里茨法

位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。

2.伽遼金法（1）設(shè)定位移試函數(shù)如式(a)所示，但令

u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應(yīng)力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法

將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于，為完全任意的和獨立的變分，得到伽遼金法（2）于是，由§5-5中式(u)可見，由于上的應(yīng)力邊界條件已滿足，設(shè)定的位移只需滿足下列變分方程將上式括號內(nèi)的應(yīng)力用位移來表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法

式(j)也是關(guān)于，的線性代數(shù)方程組，從上式解出，，便得到位移的解答。伽遼金法

試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變分方程和求解的計算工作量等方面對瑞利-里茨法和伽遼金法進(jìn)行比較。思考題例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束?！?-7位移變分法例題

應(yīng)用瑞利-里茨法，設(shè)定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b)其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中）：(c)對式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件（當(dāng)或處積分為0），例題最后得位移解答：例題(d)

對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：本題以y軸為對稱軸，∴

u應(yīng)為x的奇函數(shù),

v應(yīng)為x的偶函數(shù)。例題(f)設(shè)定位移勢函數(shù)為

位移(g)已滿足對稱性條件(f)和全部邊界條件(e)。因全部為位移邊界條件且均已滿足，∴從§5－5

式(u)可見，也可應(yīng)用伽遼金變分法。例題

將位移(g)代入上式，求出得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法給出的結(jié)果相同。

因，故伽遼金變分方程為例題(h)第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題例題4

試證明，在同樣的應(yīng)變分量，和下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。例題對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中，變換為解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢能是：例題(a)代入，得顯然，方括號內(nèi)將式⑴中的，都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢能公式，

例題(c)

從式⑶可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能中的第一、二、三項均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第四項不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢能大于平面應(yīng)力的形變勢能U

。例題

例題5

圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發(fā)生什么變化？例題CDEFAB解：⑴當(dāng)AB線切開時，AB線上的應(yīng)力趨于0。而形變勢能是正定的，，當(dāng)這部應(yīng)力時，相應(yīng)的形變勢能也失去因此，板的總的形變勢能減少。

⑵當(dāng)AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：例題(b)AB線張開，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而(a)、(b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。例題(a)AB切開后，仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；

例題6

單位厚度的深梁，兩側(cè)邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。（取，并設(shè)）。例題qyxbuvbaaoq解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對稱于x軸，而反對稱于y軸。

因此，位移分量u應(yīng)為、的奇函數(shù)，而v為x

、y

的偶函數(shù)，xy如圖所示?？梢栽O(shè)定位移勢函數(shù)如下：

上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進(jìn)行計算。例題假設(shè)只取u，v中一項，即將u和v代入形變勢能公式（平面應(yīng)力問題），得：例題

在本題中體力，在邊界上只有的均布荷載，。由此，瑞利-里茨方程成為

例題再積分求U，

邊界是，且，從到積分。再將U代入上式，得到兩個求的方程：當(dāng)取，且時，上兩式方程簡化為由此解出,位移分量的解答是例題例題7

圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取，。例題aabxyq解：在瑞利-里茨法中，設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿足位移邊界條件，并應(yīng)反映圖示問題的對稱性。取上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的偶函數(shù)，u為x的奇函數(shù)。僅取各一項進(jìn)行運(yùn)算，由于體力，面力只存在于AB邊（），因此求解的位移變分方程為：例題當(dāng)，且取泊松系數(shù)時，形變勢能簡化為將u、v代入,例題（a）（b）形變勢能U為將U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量，取，得：例題在對稱軸上，x=0，

,在邊界，

,

本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應(yīng)取更多的項數(shù)進(jìn)行計算。

第五章習(xí)題提示和答案習(xí)題提示和答案5-1

參見書中由低階導(dǎo)數(shù)推出高階導(dǎo)數(shù)的方法。5-2

參見書中的方程。5-3

注意對稱性的利用，取基點A如圖。答案見書中。5-4

注意對稱性的利用,并相應(yīng)選取基點

A。答案見書中。5-7按位移求微分方程的解法中，位移應(yīng)滿足:

(1)

上的位移邊界條件，

(2)

上的應(yīng)力邊界條件，

(3)區(qū)域A中的平衡微分方程。習(xí)題提示和答案5-5

注意對稱性的利用，本題有一個對稱軸。5-6

注意對稱性的利用，本題有二個對稱軸。5-8在拉伸和彎曲情況下，引用的表達(dá)式，再代入書中的公式。在扭轉(zhuǎn)和彎曲情況下，引用的表達(dá)式，再代入書中的公式。習(xí)題提示和答案用瑞利-里茨變分法求解時，設(shè)定的位移試函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足(1)

上的位移邊界條件，而(2)和(3)的靜力條件由瑞利-里茨變分法來代替。5-9對于書中圖5-15的問題，可假設(shè)

對于書中圖5-16的問題中，y軸是其對稱軸，x軸是其反對稱軸，在設(shè)定u、v試函數(shù)時，習(xí)題提示和答案為滿足全部約束邊界條件，應(yīng)包含公共因子。此外，其余的乘積項中，應(yīng)考慮：u應(yīng)為x和y的奇函數(shù)，v應(yīng)為x和y的偶函數(shù)。5-10答案見書中。5-11在u,v

中各取一項,并設(shè)時,用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入后,上兩式方程是解出習(xí)題提示和答案習(xí)題提示和答案位移分量的解答為應(yīng)力分量為

第五章教學(xué)參考資料

（一）本章學(xué)習(xí)重點及要求

1.彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應(yīng)力、形變和位移。從數(shù)學(xué)上看，彈性力學(xué)問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數(shù)式的精確解答。教學(xué)參考資料

但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。從彈性力學(xué)基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應(yīng)用的近似解法。彈性力學(xué)中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學(xué)參考資料

2.差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些結(jié)點上的函數(shù)值來代替，并從而將微分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù))

方程，使問題易于求解。在這種方法中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學(xué)參考資料

3.變分法是彈性力學(xué)中另一獨立的求解方法。

在變分法中根據(jù)平衡狀態(tài)時的能量處于極小值的條件，建立變分方程，并進(jìn)行求解。彈性力學(xué)中的變分方程和微分方程是溝通的，可以互相導(dǎo)出。 由于變分法得出的常常是近似的解答，所以也將變分法歸入彈性力學(xué)的近似解法。

教學(xué)參考資料4.有限單元法是20世紀(jì)中期發(fā)展起來的彈性力學(xué)近似解法。在有限單元法中,首先將區(qū)域離散化，把連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；然后將連續(xù)體的能量極小值條件應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，從而建立求解的方法。有限單元法應(yīng)用計算機(jī)進(jìn)行計算，可以有效地解決各種復(fù)雜的工程問題。教學(xué)參考資料

5.對于工程技術(shù)人員來講，這些彈性力學(xué)的近似解法，是用來解決實際問題的有效手段。因此，讀者不僅要理解，而且要能應(yīng)用這些近似解法。教學(xué)參考資料

1.導(dǎo)數(shù)的差分