2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點一解無參數(shù)一元二次不等式【例1】(2020·全國高一課時練習(xí))解下列不等式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)或；(2)；(3)或.【解析】(1)不等式即為，解得或，因此，不等式的解集為或；(2)不等式即為，解得，因此，不等式的解集為；(3)不等式即為，即，解得或.因此，不等式的解集為或.解不含參數(shù)的一元二次不等式有以下3種方法：解不含參數(shù)的一元二次不等式有以下3種方法：方法一：若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集．方法二：若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得．方法三：則采用求一元二次不等式解集的通法——判別式法【舉一反三】1(2020·全國高一課時練習(xí))解下列一元二次不等式：(1)；(2)【答案】(1)；(2).【解析】(1)不等式，即，對應(yīng)拋物線開口向下，不等式解集為“兩根之間”，所以解集為(2)，化簡，對應(yīng)方程，方程的根所以解集為.2．(2020·浙江高一課時練習(xí))解不等式：．【答案】或．【解析】原不等式可化為即即如圖，結(jié)合數(shù)軸，可得原不等式的解集為或．3．(2020·荊州市北門中學(xué)高一期末)不等式的解集是________.【答案】【解析】原不等式可化為即，所以，故，所以原不等式的解集為.故答案為：.考點二解含有參數(shù)的一元二次不等式【例2】(2020·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期末(理))解關(guān)于的不等式:【答案】當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；【解析】由則因為，故對分情況討論當(dāng)時，則，所以，不等式的解集為當(dāng)時，由，不等式的解集或當(dāng)時，不等式的解集為或當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為解含參數(shù)的一元二次不等式時解含參數(shù)的一元二次不等式時（1）關(guān)于不等式類型的討論：二次項的系數(shù)a＞0，a＝0，a＜0；（2）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程的根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ＜0)；（3）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．【舉一反三】1．(2019·山東濟(jì)寧.高一月考)求關(guān)于的一元二次不等式的解集．【答案】詳見解析.【解析】，，令，，，(1)當(dāng)時，即，解集為，或．(2)當(dāng)時，即，解集為．(3)當(dāng)時，即，解集為，或．2．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))解關(guān)于x的不等式．【答案】分類討論，答案見解析.【解析】當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式對應(yīng)方程的根為或2，①當(dāng)時，不等式即的解集為；②當(dāng)時，不等式的解集為；③當(dāng)時，不等式的解集為；④當(dāng)時，不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.3．(2019·陜西秦都咸陽市實驗中學(xué)高二月考(理))解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.【答案】見解析【解析】原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0當(dāng)a＝0時，原不等式解為x>1.當(dāng)a<0時，不等式可化為，∵，∴或x>1.當(dāng)a>0時，原不等式可化為若，即a>1，則；若，即a＝1，則；若，即0<a<1，則.綜上所述，當(dāng)a<0時，原不等式的解集為或；當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為；當(dāng)a＝1時，原不等式的解集為；當(dāng)a>1時，原不等式的解集為.考點三三個一元二次的關(guān)聯(lián)【例3】(1(2020·江西上高二中高一期末(文))設(shè)一元二次不等式的解集為則的值為()A．1 B． C．4 D．(2)(2020·全國高一課時練習(xí))已知方程的兩根都大于2，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】(1)B(2)B【解析】由題意可知方程的根為，所以有(2)方程的兩根都大于2，則二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點都在x=2的右側(cè)，根據(jù)圖象得：方程的判別式；當(dāng)時函數(shù)值；函數(shù)對稱軸。即，解得，所以正確選項為B.1．一元二次不等式1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的橫坐標(biāo)．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．【舉一反三】1．(2020·農(nóng)安縣實驗中學(xué)高一期末)已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是()A． B．11 C． D．1【答案】C【解析】若關(guān)于的不等式的解集是，則2，3是方程的根，故，故，故選：．2．(2020·上海高一開學(xué)考試)一元二次不等式的解集是，則的值是()A．10 B．-10 C．14 D．-14【答案】D【解析】根據(jù)題意，一元二次不等式的解集是，則方程的兩根為和，則有，解可得，，則，故選：．3．(2020·全國高一課時練習(xí))關(guān)于的不等式的解集為，則_____________.【答案】-1【解析】由題意，方程有一個根為1，得，則不等式為，其解集為，得，，所以答案為-1.【點睛】本題主要考查一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系．4．(2020·浙江高一課時練習(xí))已知關(guān)于的不等式的解集是，則_____.【答案】【解析】因為不等式等價于，又其解集是，所以和是關(guān)于的方程的兩個根，因此，解得，故答案為 考點四一元二次的恒成立【例4】(1)(2020·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期末(理))已知關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．(2)(2020·安徽金安。六安一中高一期中(理))若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)A【解析】(1)時，不等式可化為；當(dāng)時，不等式為，滿足題意；當(dāng)時，不等式化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即；當(dāng)時，恒成立；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是答案選A(2)原不等式在內(nèi)有解等價于在內(nèi)有解，設(shè)函數(shù)，所以原問題等價于又當(dāng)時，，所以.故選：A.一、求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的常見方法：一、求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的常見方法：1.利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0；f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0；f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0；f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0．注：當(dāng)未說明不等式是否為一元二次不等式時，先討論a＝0的情況．2,。將參數(shù)分離出來，利用等價轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題（轉(zhuǎn)化為f(x)＞a或f(x)≥a或f(x)＜a或f(x)≤a恒成立的問題）即：存在成立若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)＜a恒成立a＞m；若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)≤a恒成立a≥m；若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)＞a恒成立a＜m；若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)≥a恒成立a≤m．（2）恒成立在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時要注意是求最最小【舉一反三】1．(2020·安徽省六安中學(xué)高二期末(文))若命題“存在，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是____【答案】【解析】由題意可知，命題“對任意的，”為真命題，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.2．(2020·全國高一課時練習(xí))不等式x2＋ax＋4＜0的解集不為空集，則a的取值范圍是()A．［－4，4］B．(－4，4)C．(－∞，－4］∪［4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)【答案】D【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故選D.3．(2019·山東濟(jì)寧.高一月考)(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；(2)若不等式在實數(shù)集上恒成立，求的范圍．【答案】(1)，或；(2).【解析】(1)的解集是，所以，是方程的根，由韋達(dá)定理得，不等式化為，解得，所以，或.(2)由題意可得，，即，整理得，解得．考點五實際運用題【例5】(2020·浙江高一課時練習(xí))某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)1百臺時又需可變成本(即需另增加投入)0.25萬元，市場對此商品的需求量為5百臺，銷售收入(單位：萬元)的函數(shù)為，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)并售出的數(shù)量(單位：百臺)．(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)．(2)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所得利潤最大？(3)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)才不虧本(不賠錢)？【答案】(1)；(2)475臺；(3)年產(chǎn)量在11臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本．【解析】(1)設(shè)利潤為y萬元，得即(2)顯然當(dāng)時，企業(yè)會獲得最大利潤，此時，，，即年產(chǎn)量為475臺時，企業(yè)所得利潤最大．(3)要使企業(yè)不虧本，則．即或得或，即．即年產(chǎn)量在11臺到4800臺之間時，企業(yè)不虧本．【舉一反三】1．(2020·全國高一專題練習(xí))國家原計劃以2400元/t的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品按規(guī)定,農(nóng)戶向國家納稅為:每收入100元的稅為8元(稱作稅率為8個百分點,即8%).為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),制定積極的收購政策,根據(jù)市場規(guī)律稅率降低x個百分點,收購量能增加2x個百分點,試確