平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算專題34專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)】1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)平面上任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)叫作向量a在平面直角坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記作

．a(chǎn)＝(x，y)專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)】(2)若O(0，0)，A(x，y)，則

＝

．(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝

．(4)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

．(5)若a＝(x，y)，λ為實(shí)數(shù)，則λa＝

．(6)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

．(x，y)(x2－x1，y2－y1)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)】(7)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝(x2－x1，y2－y1),專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【知識(shí)要點(diǎn)】2、平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量基本定理?xiàng)l件：e1,e2是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)___________.結(jié)論：對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,_____________實(shí)數(shù)λ1,λ2使a=__________.其中不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_____

.不共線向量存在唯一一對(duì)λ1e1+λ2e2基底專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a,b是非零向量且a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,y1,y2≠0，則a∥b?_______________________.定理1：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)_______.定理2：若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)

_______

，則它們平行.成比例成比例x1y2-x2y1=0專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【三年模擬】1.（2023年山西省高三中職對(duì)口高考沖刺模擬卷）若且

，則【解析】因?yàn)?/p>

，所以即1x(y+1)-4x5=0,解得y=19x1y2-x2y1=0專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算2.（2022年安徽省中職江淮十校職教高考第四次聯(lián)考）已知向量

，若

，則

的值是（

）A.2B.C.D.4【解析】因?yàn)?/p>

，所以解得,所以則答案選B專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3.(2022年浙江省中職財(cái)會(huì)聯(lián)盟高考第一次統(tǒng)考)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量

,則向量()A.(-7,-6)B.(7,6)C.(-1,-4)D.(1,4)

【解析】依題意,因?yàn)榇鸢高xA專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算4.(2021年廣東省職教高考研究聯(lián)合體第一次模擬)已知且

與

共線，則x的值為（

）A.1B.2C.D.【解析】依題意

，因此答案選D專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算5.(2022年河北省對(duì)口升學(xué)考試研究聯(lián)合體高三第一次聯(lián)考)若

，且

，則銳角

為（

）A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】因?yàn)?/p>

，所以即因?yàn)?/p>

是銳角，所以答案選B專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【例1】已知A(3，－3)，B(3，6)兩點(diǎn)，

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3，0)

B．(1，5)

C．(－1，4)

D．(2，1)【解析】設(shè)P(a，b)，由已知可得(a，b)－(3，－3)＝

[(3，6)－(3，－3)].解得a=3,b=0.答案選A

【題型一】平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【變式練習(xí)1】

(1)已知a＝(1，2)，b＝(2，3)，實(shí)數(shù)x，y滿足xa＋yb＝(3，4)，則x＝

，y＝

；(2)已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(－5，－3)，B(3，－1)，C(5，4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．－12專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(2)解：設(shè)D(x，y).∵

，∴(3，－1)－(－5，－3)＝(5，4)－(x，y)，∴(x，y)＝(－3，2)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－3，2)．專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【變式練習(xí)2】設(shè)點(diǎn)A(2，5)，且B是A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則

的坐標(biāo)是(

)A．(4，0)B．(－4，0)C．(－4，－10)D．(0，－10)【解析】因?yàn)?/p>

B(－2，－5)，

＝(－2，－5)－(2，5)＝(－4，－10)．答案選C專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【考點(diǎn)二】平面向量共線定理【例2】已知向量

，若

，則x=()A.B.C.D.6【解析】

因?yàn)?/p>

，所以

，解得答案選A專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【變式練習(xí)3】已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則定點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A.(1,4)B.(1,5)C.(2,4)D.(2,5)【解析】由題意得

，設(shè)

，則解得

，答案選B專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【考點(diǎn)三】平面向量基本定理【例3】如圖，在三角形OAB中，P是線段AB上一點(diǎn)，且

，則（

）A.B.C.D.【解析】因?yàn)樗约?/p>

，所以

，答案選C專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【變式練習(xí)4】如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AM交DE于N．設(shè)

用a,b表示向量專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【解析】因?yàn)橛伞鰽DE∽△ABC，得又AM是△ABC的中線，DE∥BC，所以專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算又專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算【課堂自測(cè)題】1.設(shè)向量a＝(m，1)，b＝(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為()（A）-1（B）1（C）-2（D）2【解析】選A.設(shè)a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm，解得m＝±1.∵λ＜0，∴m＝－1.答案選A專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算2.設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c＝()（A）(4，6)（B）(－4，－6)（C）(4，－6)（D）(－4，6)【解析】選C.設(shè)c＝(x，y)，則4a+（3b-2a）+c=0，答案選C專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，則m＝_____.【解析】a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.答案：－1專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算4.已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)

且(1)求3a+b-3c.(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n.【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a+b-3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb+nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴

解得專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算5.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1,0）,（3,0）,（1,-5），求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】如圖所示，設(shè)A（-1,0）,B（3,0）,C（1,-5）,D（x,y）.專題34——平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算（1）若四邊形ABCD1為平行四邊形，則而∴解得