一階微分方程的習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問題解法及應(yīng)用第十二章2015.51微分方程習(xí)題課(1-2)一、一階微分方程求解

1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解(1)變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式(2)積分因子法——選積分因子,解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程2015.52微分方程習(xí)題課(1-2)例1.求下列方程的通解解答：故為分離變量方程:通解2015.53微分方程習(xí)題課(1-2)方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.2015.54微分方程習(xí)題課(1-2)調(diào)換自變量與因變量的地位，化為這是一階線性方程通解：化簡(jiǎn)為2015.55微分方程習(xí)題課(1-2)方法1

這是一個(gè)齊次方程.2015.56微分方程習(xí)題課(1-2)方法2

化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程.2015.57微分方程習(xí)題課(1-2)內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程2015.58微分方程習(xí)題課(1-2)例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫為(貝努里方程)(分離變量方程)原方程化為2015.59微分方程習(xí)題課(1-2)令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為2015.510微分方程習(xí)題課(1-2)變方程為兩邊乘積分因子用湊微分法得通解:2015.511微分方程習(xí)題課(1-2)例3.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:2015.512微分方程習(xí)題課(1-2)(2)由一階線性微分方程解的公式得于是2015.513微分方程習(xí)題課(1-2)練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P326題2求以為通解的微分方程.提示:消去

C

得P327題3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分離變量方程:提示:

這是一階線性方程,其中P326題1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)2015.514微分方程習(xí)題課(1-2)提示:

可化為關(guān)于

x

的一階線性方程提示:

為貝努里方程,令提示:

為全微分方程,通解提示:可化為貝努里方程令微分倒推公式2015.515微分方程習(xí)題課(1-2)思考:

能否根據(jù)草圖列方程?練習(xí)題:P327題5,6P327題5.

已知某曲線經(jīng)過點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:

設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱2015.516微分方程習(xí)題課(1-2)二階微分方程的習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用

解法及應(yīng)用一、兩類二階微分方程的解法第十二章2015.517微分方程習(xí)題課(1-2)一、兩類二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解2015.518微分方程習(xí)題課(1-2)2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法

歐拉方程2015.519微分方程習(xí)題課(1-2)解答提示P327題2

求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P327題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)?015.520微分方程習(xí)題課(1-2)特征根:齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?2015.521微分方程習(xí)題課(1-2)P327題4(2)

求解提示:

令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問題改為求解則求解過程中得問開方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?2015.522微分方程習(xí)題課(1-2)特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定A,B,得得2015.523微分方程習(xí)題課(1-2)處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問題的解:2015.524微分方程習(xí)題課(1-2)例2.且滿足方程提示:

則問題化為解初值問題:最后求得2015.525微分方程習(xí)題課(1-2)思考:

設(shè)提示:

對(duì)積分換元,則有解初值問題:答案:2015.526微分方程習(xí)題課(1-2)的解.例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解:上式兩端對(duì)

x

求導(dǎo),得

(1)

由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研)2015.527微分方程習(xí)題課(1-2)代入原微分方程得①(2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:2015.528微分方程習(xí)題課(1-2)由初始條件得故所求初值問題的解為2015.529微分方程習(xí)題課(1-2)備用題

有特而對(duì)應(yīng)齊次方程有解微分方程的通解.解:故所給二階非齊次方程為方程化為1.設(shè)二階非齊次方程一階線性非齊次方程2015.530微分方程習(xí)題課(1-2)故再積分得通解復(fù)習(xí):

一階線性微分方程通解公式2015.531微分方程習(xí)題課(1-2)

2.(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和.解:(1)(02考研)2015.5