PAGE單元素養(yǎng)檢測(二)(第七章)(90分鐘120分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.(2022·揚州高二檢測)已知P(B|A)=12,P(AB)=15,則P(A)= (A.25 B.35 C.14 【解析】選A.由題意可知P(A)=P(AB)P(2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,則P(2<X<4)= ()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】選C.隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.4.3.若隨機變量X~B6,23,則D(2X+1)=A.43 B.163 C.173 【解析】選B.因為X~B6,故可得D(X)=6×23×13=故D(2X+1)=4D(X)=1634.(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為 ()A.13 B.25 C.23 【解析】選C.把位置依次標為1到6.總數(shù):先排2個0,有C62=15種,再排4個1,有一種,故共有15種.滿足題設的排法:先排4個1,有1種,其間有5個空,選2個空插入有C52=10種.故P=5.某服務性窗口可為顧客辦理A,B,C,D四類業(yè)務,假設顧客辦理業(yè)務所需時間相互獨立,統(tǒng)計以往數(shù)據(jù)可得辦理A,B,C,D四類業(yè)務的平均時間分別是2分鐘、3分鐘、4分鐘、6分鐘,頻率分別為0.2,0.3,0.4,0.1,辦理兩項業(yè)務之間的間隔時間忽略不計,則工作人員恰好在第7分鐘開始辦理第三位顧客業(yè)務的概率為 ()A.0.25 B.0.16 C.0.34 D.0.09【解析】選A.工作人員恰好在第7分鐘開始辦理第三位顧客的業(yè)務,即在第6分鐘末辦理完第二位顧客的業(yè)務,則工作人員為前兩位顧客辦理業(yè)務的時間都是3分鐘,或者一個2分鐘、一個4分鐘,則所求概率為0.32+C21×0.2×0.4=0.6.(2022·太湖高二檢測)有甲、乙兩個袋子,甲袋中有2個白球,1個紅球,乙袋中有2個紅球,1個白球.這6個球手感上不可區(qū)別.今從甲袋中任取一球放入乙袋,攪勻后再從乙袋中任取一球,此球是紅球的概率為 ()A.712 B.512 C.12 【解析】選A.設A1=“從甲袋放入乙袋的是白球”,A2=“從甲袋放入乙袋的是紅球”,B=“從乙袋中任取一球是紅球”;P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=12×23+34×17.盒中有5個小球,其中3個白球,2個黑球,從中任取i(i=1,2)個球,在取出的球中,黑球放回,白球涂黑后放回,此時盒中黑球的個數(shù)記為Xi(i=1,2),則 ()A.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)>E(X2)B.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)>E(X2)C.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)<E(X2)D.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)<E(X2)【解析】選C.P(X1=2)=C21C51=25,P(X2=2)=C22因為PX1=3=C3所以E(X1)=135因為P(X2=2)=110,PX2=3=C31C21C52=所以E(X2)=165>E(X1)8.甲、乙兩人進行飛鏢比賽,規(guī)定命中6環(huán)以下(含6環(huán))得2分,命中7環(huán)得4分,命中8環(huán)得5分,命中9環(huán)得6分,命中10環(huán)得10分(兩人均會命中),比賽三場,每場兩人各投鏢一次,累計得分最高者獲勝.已知甲命中6環(huán)以下(含6環(huán))的概率為13,命中7環(huán)的概率為14,命中8環(huán)的概率為16,命中9環(huán)的概率為16,命中10環(huán)的概率為112,乙命中各環(huán)對應的概率與甲相同,且甲、乙比賽互不干擾.若第一場比賽甲得2分,乙得4分,第二場比賽甲、乙均得5分,則三場比賽結(jié)束時A.83144 B.1116 C.12 【解析】選B.比賽結(jié)束,若乙獲勝,則第三場比賽乙至多比甲低一分.當乙得2分時,甲得2分,P1=13×13=當乙得4分時,甲可得2分,4分,5分,P2=14×13+當乙得5分時,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=16×13+當乙得6分時,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=16×13+當乙得10分時,甲可得2分,4分,5分,6分,10分,P4=112×1=1乙獲勝的概率為P=P1+P2+P3+P4=1116二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)9.近年來中國進入一個鮮花消費的增長期,某農(nóng)戶貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚,種植并銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷售量分別服從正態(tài)分布N(μ,302)和N(280,402),則下列選項正確的是 ()附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ-30,280)的概率是0.6827,則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320)的概率約為0.34135【解析】選ABD.對于選項A:μ+30=280,μ=250,正確;對于選項BC:利用σ越小越集中,30小于40,B正確,C不正確;對于選項D:P(280<X<320)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827×12=0.34135,正確10.甲乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的四面體,每個面都是正三角形,甲四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,乙四個面上分別標有數(shù)字5,6,7,8,同時拋擲這兩個四面體一次,記事件A為“兩個四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”,事件B為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”,事件C為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”,則下列結(jié)論正確的是 ()A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)C.P(ABC)=1D.P(A)·P(B)·P(C)=1【解析】選ABD.由已知P(A)=24×24+24×24=12,P(B)=P(C由已知有P(AB)=P(A)P(B)=14P(AC)=14,P(BC)=1所以P(A)=P(B)=P(C),則A正確;P(BC)=P(AC)=P(AB),則B正確;事件A,B,C不相互獨立,故P(ABC)≠18,即C錯誤P(A)·P(B)·P(C)=18,則D正確11.若隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是 (A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=316 D.D(4X【解析】選ABC.因為隨機變量X服從兩點分布,且P(X=0)=14,所以P(X=1)=3E(X)=0×14+1×34=34,所以P(X=1)=E(X),故A正確;E(4X+1)=4E(X)+1=4×34+1=4,故B正確;D(X)=0-342×14+1-342×34=316,故C正確;D(4X+1)=42D(X)=16×312.甲箱中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙箱中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中,分別以A1,A2,A3表示由甲箱中取出的是紅球,白球和黑球的事件;再從乙箱中隨機取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件,則下列結(jié)論正確的是 ()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事件B與事件A1相互獨立D.A1,A2,A3兩兩互斥【解析】選BD.因為每次取一球,所以A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,故D正確;因為P(A1)=510,P(A2)=210,P(A3)=所以P(B|A1)=P(BA1)P(A1同理P(B|A2)=P(BA2)P(B|A3)=P(BA3)所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.甲、乙兩人被隨機分配到A,B,C三個不同的崗位(一個人只能去一個工作崗位).記分配到A崗位的人數(shù)為隨機變量X,則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=.

【解析】由題意可得X的可能取值有0,1,2,P(X=0)=2×23×3=49,P(X=1)=C21×23則數(shù)學期望E(X)=0×49+1×49+2×19答案:214.一個盒子里有2個紅球,1個綠球和2個黃球,從盒子中隨機取球,每次拿一個,不放回,拿出紅球即停,設取球停止時拿出黃球的個數(shù)為隨機變量ξ,則E(ξ)=.

【解析】根據(jù)題意可知,ξ可取0,1,2,Pξ=0=25+15×1(此時取球情況是:第一次取紅球;第一次取綠球,第二次取紅球)Pξ=1=25×12+15×12×23+25(此時取球情況是:第一次取黃球,第二次取紅球;第一次取綠球,第二次取黃球,第三次取紅球;第一次取黃球,第二次取綠球,第三次取紅球)P(ξ=2)=1-P(ξ=1)-P(ξ=0)=16故E(ξ)=0×12+1×13+2×16答案:215.(2022·華南師大附中高二檢測)在A,B,C三地暴發(fā)了流感,這三個地區(qū)分別有350,3100,340的人患了流感.假設這三個地區(qū)人口數(shù)的比為6∶5∶4,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任選一人,【解析】設D表示這個人患流感,A1,A2,A3表示這個人分別來自A,B,C三地,由已知P(D|A1)=350,P(D|A2)=3100,P(D|A3)=340,P(A1)=615=25,P(A2P(A3)=415,P(D)=P(D|A1)P(A1+P(D|A2)P(A2)+P(D|A3)P(A3)=350×25+3100×13+340×答案:0.05416.某大學志愿者協(xié)會有6名男同學,4名女同學,在這10名同學中,3名同學來自數(shù)學學院,其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院,現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學,到希望小學進行支教.選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為,設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù),則X的數(shù)學期望為.

【解析】設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A,則P(A)=C31C隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.PX=0=C40PX=1=C41PX=2=C42PX=3=C43所以X的分布列為X0123P1131所以X的數(shù)學期望E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1答案:4960四、解答題(本大題共4個小題,共40分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)某種水果按照果徑大小可分為四類:標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個,利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如表:等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)10304020(1)若將頻率視為概率,從這100個水果中有放回地隨機抽取4個,求恰好有2個水果是禮品果的概率;(結(jié)果用分數(shù)表示)(2)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個,再從抽取的10個水果中隨機抽取3個,X表示抽取的是精品果的數(shù)量,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).【解析】(1)設從100個水果中隨機抽取一個,抽到禮品果的事件為A,則P(A)=20100=1現(xiàn)有放回地隨機抽取4個,設抽到禮品果的個數(shù)為X,則X~B4,所以恰好抽到2個禮品果的概率為P(X=2)=C424(2)用分層抽樣的方法從100個水果中抽取10個,則其中精品果4個,非精品果6個,現(xiàn)從中抽取3個,則精品果的數(shù)量X服從超幾何分布,所有可能的取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C63CP(X=1)=C62CP(X=2)=C61CP(X=3)=C43C所以X的分布列如表:X0123P1131所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1【補償訓練】(2022·深圳高二檢測)已知甲箱的產(chǎn)品中有2件正品和3件次品,乙箱的產(chǎn)品中有3件正品和2件次品.(1)若從甲箱中取出2件產(chǎn)品,求在2件產(chǎn)品中有一件是正品的條件下,另一件是次品的概率;(2)若從兩箱中隨機選擇一箱,然后從中取出1件產(chǎn)品,求取到一件正品的概率.【解析】(1)設A=兩件產(chǎn)品中至少有一件是正品,B=兩件產(chǎn)品中有一件是次品,P(B|A)=n(AB)n((2)設C=取到甲箱,D=取到一件正品,P(D)=P(C)P(D|C)+P(C)P(D|C)=12×25+12×318.(10分)(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查,隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001)【解析】(1)平均年齡x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)設A={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)},所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.(3)設B={任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)},C={任選一人患這種疾病},則由條件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.【補償訓練】(2020·江蘇高考)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn,恰有2個黑球的概率為pn,恰有1個黑球的概率為qn.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示).【解題指南】本題主要考查概率的求法及數(shù)學期望的求法.重點考查學生利用所學知識解決實際問題的能力.【解析】(1)p1=13×1=13,q1=23p2=13p1+23×13q1q2=23p1+23×23(2)當n≥2時,pn=13pn-1+23×13qn-1=13pn-1+2qn=23pn-1+23×23+13×13qn-1+23×(1-pn-1所以2pn+qn=13(2pn-1+qn-1)+2則2pn+qn-1=13(2pn-1+qn-1又2p1+q1-1=13所以2pn+qn=1+13所以Xn的分布列如表:Xn012P1-pn-qnqnpn則E(Xn)=qn+2pn=1+1319.(10分)為了普及安全教育,某市組織了一次學生安全知識競賽,規(guī)定每隊3人,每人回答一個問題,答對得1分,答錯得0分.在競賽中,甲、乙兩個中學代表隊相遇,假設甲隊每人回答問題正確的概率均為23,乙隊每人回答問題正確的概率分別為12,23,3(1)分別求甲隊總得分為3分與1分的概率;(2)求甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率.【解析】(1)記“甲隊總得分為3分”為事件A,記“甲隊總得分為1分”為事件B,甲隊得3分,即三人都回答正確,其概率為P(A)=23×23×23甲隊得1分,即三人中只有1人回答正確,其余兩人都答錯,其概率為PB=23×1-23×1-23+1-23×23所以甲隊總得分為3分與1分的概率分別為827,2(2)記“甲隊總得分為2分”為事件C,記“乙隊總得分為1分”為事件D,事件C即甲隊三人中有2人答對,其余1人答錯,則P(C)=23×23×1-23+23×1-23×2事件D即乙隊3人中只有1人答對,其余2人答錯,則PD=12×1-23×1-34+1-12×23×1-3由題意得事件C與事件D相互獨立,所以甲隊總得分為2分且乙隊總得分為1分的概率P(