注冊(cè)公用設(shè)備工程師暖通空調(diào)基礎(chǔ)考試上午（數(shù)學(xué)）歷年真題試卷匯編4(總分：72.00，做題時(shí)間：90分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(總題數(shù)：36，分?jǐn)?shù)：72.00)1.(2010年)設(shè)A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則以下選項(xiàng)中成立的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.B的第1行的-2倍加到第2行得A

√

B.B的第1列的-2倍加到第2列得A

C.B的第2行的-2倍加到第1行得A

D.B的第2列的-2倍加到第1列得A解析：解析：由于矩陣B是將矩陣A的第1行的2倍加到第2行而得到，即矩陣B是由矩陣A經(jīng)過一次初等行變換而得到，要由矩陣B得到矩陣A，只要對(duì)矩陣B作上述變換的逆變換則可，即將B的第1行的-2倍加到第2行可得A。2.(2005年)設(shè)其中ai≠0，bi≠0(i=1，2，…，n)，則矩陣A的秩等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.n

B.0

C.1

√

D.2解析：解析：由于矩陣A的所有行都與第一行成比例，將第一行的(i=2，3，…，n)倍加到第i(i=2，3，…，n)行，可將第i(i=2，3，…，n)行化為零，故秩等于1。3.(2008年)已知矩陣則A的秩r(A)等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0

B.1

C.2

√

D.3解析：解析：由于矩陣A的第二行和第三行成比例，故｜A｜=0，又A中左上角的二階子式不為零，由矩陣秩的定義，r(A)=2。4.(2007年)設(shè)則秩r(AB—A)等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.1

B.2

√

C.3

D.與a的取值有關(guān)解析：解析：AB—A=A(B—E)，B-E=是可逆矩陣，又矩陣的第一行和第三行成比例且左上角二階子式不為零，所以r(A)=2，故r(AB—A)=2。應(yīng)選(B)。5.(2006年)設(shè)A，B是n階矩陣，且B≠0，滿足AB=0，則以下選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.r(A)+r(B)≤n

B.｜A｜=0或｜B｜=0

C.0≤r(A)＜n

D.A=0

√解析：解析：由AB=0，有r(A)+r(B)≤n；再由｜AB｜=｜A｜｜B｜=0得｜A｜=0或｜B｜=0；因B≠0，r(B)＞0，故0≤r(A)＜n：(A)、(B)、(C)選項(xiàng)都是正確的，故應(yīng)選(D)。也可舉例說明(D)選項(xiàng)錯(cuò)誤，例如取6.(2008年)設(shè)α，β，γ，δ是n維向量，已知α，β線性無關(guān)，γ可以由α，β線性表示，δ不能由α，β線性表示，則以下選項(xiàng)正確的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.α，β，γ，δ線性無關(guān)

B.α，β，γ線性無關(guān)

C.α，β，δ線性相關(guān)

D.α，β，δ線性無關(guān)

√解析：解析：γ可以由α，β線性表示，α，β，γ和α，β，γ，δ都是線性相關(guān)，由于α，β線性無關(guān)，若α，β，δ線性相關(guān)，則δ一定能由α，β線性表示，矛盾，故α，β，δ線性無關(guān)。7.(2009年)設(shè)A為m×n的非零矩陣，B為n×l的非零矩陣，滿足AB=0，以下選項(xiàng)中不一定成立的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.A的行向量組線性相關(guān)

√

B.A的列向量組線性相關(guān)

C.B的行向量組線性相關(guān)

D.r(A)+r(B)≤n解析：解析：由AB=0，有r(A)+r(B)≤n；再由AB=0，知方程組Ax=0有非零解，故r(A)＜n，即A的列向量組線性相關(guān)：同理由(AB)T=BTAT=0，知矩陣B的行向量組線性相關(guān)；故A的行向量組線性相關(guān)不一定成立。8.(2005年)設(shè)A為矩陣，都是齊次線性方程組Ax=0的解，則矩陣A為()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：解析：由于是三元齊次線性方程組Ax=0的解，且線性無關(guān)，由齊次線性方程組解的存在定理知R(A)=1，顯然選項(xiàng)(A)中矩陣秩為3，選項(xiàng)(B)和(C)中矩陣秩都為2。9.(2006年)設(shè)B是3階非零矩陣，已知B的每一列都是方程組的解，則t等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0

B.2

C.-1

D.1

√解析：解析：由條件知，所給齊次方程組有非零解，而齊次方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零，故解得t=1。10.(2010年)設(shè)齊次方程組，當(dāng)方程組有非零解時(shí)，k值為()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.-2或3

√

B.2或3

C.2或-3

D.-2或-3解析：解析：由條件知，所給齊次方程組有非零解，故系數(shù)行列式等于零，=k2-k-6=0，求解該一元二次方程，得k=3和-2。11.(2007年)設(shè)β1、β2是線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1、α2是導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1、k2是任意常數(shù)，則Ax=b的通解是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

C.

√

D.解析：解析：首先Ax=b的通解是其導(dǎo)出組Ax=0的通解加上Ax=b的一個(gè)特解，由α1、α2是導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，知Ax=0的基礎(chǔ)解系含兩個(gè)解向量，又可證明α1和(α1一α2)是Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故k1α+k2(α1-α2)構(gòu)成Ax=0的通解；再由β1、β2是線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，利用非齊次方程組解的性質(zhì)知仍是Ax=b的特解，從而+k1α1+k2(α1-α2)是Ax=b的通解。12.(2010年)已知三維列向量α、β滿足αTβ=3，設(shè)三階矩陣A=βαT，則()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.β是A的屬于特征值0的特征向量

B.α是A的屬于特征值0的特征向量

C.β是A的屬于特征值3的特征向量

√

D.α是A的屬于特征值3的特征向量解析：解析：因Aβ=βαTβ=3β，由特征值、特征向量的定義，β是A的屬于特征值3的特征向量。13.(2006年)設(shè)A是三階矩陣，α1=(1，0，1)T，α2=(1，1，0)T是A的屬于特征值1的特征向量，α3=(0，1，2)T是A的屬于特征值-1的特征向量，則()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.α1-α2是A的屬于特征值1的特征向量

√

B.α1-α2是A的屬于特征值1的特征向量

C.α-α2是A的屬于特征值2的特征向量

D.α1+α2+α3是A的屬于特征值1的特征向量解析：解析：該題有兩種解法。方法一：利用特征值、特征向量的性質(zhì)，屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是屬于該特征值的特征向量，故α1-α2仍是A的屬于特征值1的特征向量，應(yīng)選(A)。方法二：A(α1-α2)=Aα1-Aα2=α1-α2，由特征值、特征向量的定義，α1-α2仍是A的屬于特征值1的特征向量，應(yīng)選(A)。14.(2008年)設(shè)λ1、λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，ξ、η是A的分別屬于λ1、λ2的特征向量，則以下選項(xiàng)正確的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.對(duì)任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量

B.存在常數(shù)k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量

C.對(duì)任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量

√

D.僅當(dāng)k1=k2=0時(shí)，k1ξ+k2η是A的特征向量解析：解析：由于λ1、λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，故ξ、η線性無關(guān)。若k1ξ+k2η是A的特征向量，則應(yīng)存在數(shù)λ，使A(k1ξ+k2η)=λ(k1ξ+k2η)，即k1λ1ξ+k2λ2η=λk1ξ+λk2η，k1(λ1-λ)ξ+k2(λ2-λ)η=0，由ξ、η線性無關(guān)，有λ1=λ2=λ，矛盾。15.(2009年)設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，P是三階可逆矩陣，B=P-1AP，已知α是A的屬于特征值λ的特征向量，則B的屬于特征值λ的特征向量是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.Pα

B.P-1α

√

C.PTα

D.(P-1)Tα解析：解析：由α是A的屬于特征值λ的特征向量，有Aα=λα：再由B=P-1AP，BP-1α=P-1APP-1α=P-1Aα=λP-1α，由特征值、特征向量的定義，知向量P-1α是矩陣B的屬于特征值λ的特征向量。16.(2009年)設(shè)與A合同的矩陣是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：，由合同矩陣定義知應(yīng)選A。17.(2006年)當(dāng)()成立時(shí)，事件爿與B為對(duì)立事件。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.AB=

B.A+B=Ω

C.

D.AB=且A+B=Ω

√解析：解析：由對(duì)立事件定義，知AB=且A+B=Ω時(shí)，A與B為對(duì)立事件。18.(2005年)重復(fù)進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)，事件A表示“第一次失敗且第二次成功”，則事件非A表示()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.兩次均失敗

B.第一次成功且第二次失敗

C.第一次成功或第二次失敗

√

D.兩次均失敗解析：解析：用Bi(i=1，2)表示第i次成功，則，利用德摩根定律，19.(2006年)袋中有5個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)是白球，2個(gè)是紅球，一次隨機(jī)地取出3個(gè)球，其中恰有2個(gè)是白球的概率是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：解析：從袋中隨機(jī)地取出3個(gè)球的不同取法共有C53種，恰有2個(gè)是白球的取法有C32C21種，由古典概型概率計(jì)算公式，恰有2個(gè)是白球的概率為20.(2010年)將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，則杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的概率是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

C.

√

D.解析：解析：將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，各種不同的放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的不同放法有C32.4.3=36種，則杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的概率是21.(2007年)若P(A)=0．8，

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0．4

√

B.0．6

C.0．5

D.0．3解析：解析：因?yàn)?P(A—B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)(ABA)所以P(AB)=P(A)一=0．8—0．2=0．622.(2009年)若P(A)=0．5，P(B)=0．4，=0．3，則P(A∪B)等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0．6

B.0．7

√

C.0.8

D.0.9解析：解析：23.(2008年)若P(A)＞0，P(B)＞0，P(A｜B)=P(A)，則下列各式不成立的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.P(B｜A)=P(B)

B.

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.A，B互斥

√解析：解析：由P(A)＞0，P(B)＞0，P(A｜B)=P(A)，知A與B相互獨(dú)立，因而A與獨(dú)立，故(A)、(B)、(C)都成立。24.(2010年)設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且則等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

C.

D.

√解析：解析：由條件概率定義，又由A與B相互獨(dú)立，知A與相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)=，25.(2008年)10張獎(jiǎng)券中含有2張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購買一張，則前4個(gè)購買者中恰有1人中獎(jiǎng)的概率是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0．84

√

B.0．1

C.C1040．2．0．83

D.0．83．0．2解析：解析：中獎(jiǎng)的概率P=0．2，該問題是4重貝努利試驗(yàn)，前4個(gè)購買者中恰有1人中獎(jiǎng)的概率為C410．2．0．83=4．0．2.0．83=0．84。26.(2007年)離散型隨機(jī)變量X的分布為P(X=k)=cλk(k=0，1，2，…)，則不成立的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.C＞0

B.0＜λ＜1

C.C=1-λ

D.

√解析：解析：得c=1-λ，又(A)和(B)顯然應(yīng)成立，所以選項(xiàng)(D)不成立。27.(2005年)設(shè)ψ(x)為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，則下列結(jié)論中一定正確的是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0≤ψ(x)≤1

B.ψ(x)在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.

√

D.解析：解析：由密度函數(shù)的性質(zhì)知應(yīng)選C。28.(2009年)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，σ2)，則對(duì)任何實(shí)數(shù)λ都有()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.P(X≤λ)=P(X≥λ)

B.P(X≥λ)=P(X≤-λ)

√

C.λX～N(0，λσ2)

D.X-λ～N(λ，σ2-λ2)解析：解析：當(dāng)X～N(μ，σ2)，有aX+b～N(aμ+b,(aσ)2)，故由X～N(0，σ2)，有λX～N(0，λ2σ2)，X-λ～N(-λ，σ2)，所以選項(xiàng)(C)和選項(xiàng)(D)不正確；再因標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，顯然選項(xiàng)(A)不成立。29.(2010年)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則P(0≤X≤3)等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

√

C.

D.解析：解析：P(0≤x≤3)=∫03f(x)dx=30.(2006年)X的分布函數(shù)F(x)，而則E(X)等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.0．7

B.0．75

√

C.0．6

D.0．8解析：解析：因?yàn)榉植己瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)是密度函數(shù)，對(duì)F(x)求導(dǎo)，X的密度函數(shù)31.(2009年)設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為的數(shù)學(xué)期望是()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：32.(2010年)設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為則E(X2+Y2)等于()。

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.2

√

B.1

C.

D.解析：解析：由于隨機(jī)變量(X，Y)服從二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故有即隨機(jī)變量X和Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，EX=EY=0，DX=DY=1，又E(X2+Y2)=EX2+EY2，EX2=DX一(EX)