魏宗舒版《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》第三版_后習(xí)題匯報人：AA2024-01-19AAREPORTING目錄概率論基本概念一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)字特征與特征函數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本概念參數(shù)估計方法假設(shè)檢驗方法PART01概率論基本概念REPORTINGAA樣本空間與事件所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，常用大寫字母A、B等表示。只包含一個樣本點的事件。包含多個樣本點的事件。樣本空間事件基本事件復(fù)合事件在給定條件下，某一事件發(fā)生的可能性大小，常用P(A)表示事件A的概率。概率定義非負(fù)性、規(guī)范性（所有可能事件的概率之和為1）、可加性（互斥事件的概率之和等于它們并的概率）。概率性質(zhì)概率定義及性質(zhì)在某一事件B發(fā)生的條件下，另一事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率如果事件A的發(fā)生與否對事件B的發(fā)生概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨立。事件的獨立性條件概率與獨立性全概率公式如果事件B1、B2、...、Bn是樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則對任一事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以進(jìn)一步求得某一原因（Bi）導(dǎo)致結(jié)果（A）發(fā)生的概率，即P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。全概率公式與貝葉斯公式PART02一維隨機(jī)變量及其分布REPORTINGAA隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。根據(jù)隨機(jī)變量的取值特點，可以將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩類。隨機(jī)變量定義及分類隨機(jī)變量分類隨機(jī)變量定義離散型隨機(jī)變量定義01如果隨機(jī)變量只取有限個或可列個值時，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。分布律定義02對于離散型隨機(jī)變量X，如果已知它取各個可能值的概率，那么就可以用一個公式來表示X取各個值的概率，這個公式叫做X的分布律或概率分布。常見離散型隨機(jī)變量分布03二項分布、泊松分布、幾何分布等。離散型隨機(jī)變量及其分布律

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量定義如果隨機(jī)變量的取值充滿某個區(qū)間(a,b)，則稱該隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。概率密度函數(shù)定義對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，如果存在一個非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對任意實數(shù)a<b，有P{a<X≤b}=∫abf(x)dx，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)或概率密度。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。隨機(jī)變量函數(shù)定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，g(x)是一個實函數(shù)，那么Y=g(X)也是一個隨機(jī)變量，稱Y為X的函數(shù)。隨機(jī)變量函數(shù)的分布求法當(dāng)已知X的分布時，可以通過一定的方法求出Y的分布。具體方法包括公式法、變換法、卷積公式等。其中卷積公式是求解兩個獨立隨機(jī)變量之和的分布的重要工具。隨機(jī)變量函數(shù)分布PART03多維隨機(jī)變量及其分布REPORTINGAA設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)$x,y$，二元函數(shù)$F(x,y)=P{(Xleqx)cap(Yleqy)}$稱為二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)$F(x,y)$可微，則稱$f(x,y)=frac{partial^2F(x,y)}{partialxpartialy}$為$(X,Y)$的聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量$(X,Y)$關(guān)于$X$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_X(x)=F(x,infty)$，關(guān)于$Y$的邊緣分布函數(shù)定義為$F_Y(y)=F(infty,y)$。條件分布函數(shù)設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，對于固定的$x$，若$P{X=x}>0$，則稱條件概率$P{Yleqy|X=x}=frac{P{X=x,Yleqy}}{P{X=x}}$為在$X=x$條件下，$Y$的條件分布函數(shù)。同樣可以定義在$Y=y$條件下，$X$的條件分布函數(shù)。邊緣分布與條件分布相互獨立隨機(jī)變量相互獨立的定義設(shè)$(X,Y)$是二維隨機(jī)變量，如果對于所有的$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，則稱隨機(jī)變量$X$和$Y$是相互獨立的。相互獨立的性質(zhì)如果$X$和$Y$是相互獨立的，那么對于任何實數(shù)$a,b$，事件${Xleqa}$和事件${Yleqb}$也是相互獨立的。多維隨機(jī)變量函數(shù)分布設(shè)$(X_1,X_2,ldots,X_n)$是$n$維隨機(jī)變量，如果存在一個$n$元實函數(shù)$g(x_1,x_2,ldots,x_n)$，使得$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$是一個一維隨機(jī)變量，則稱$Z$是$(X_1,X_2,ldots,X_n)$的函數(shù)。多維隨機(jī)變量的函數(shù)如果$(X_1,X_2,ldots,X_n)$的聯(lián)合概率密度為$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$，且存在函數(shù)關(guān)系$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$，則可以通過多維積分的計算，求得$Z$的分布函數(shù)或者概率密度。多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布PART04數(shù)字特征與特征函數(shù)REPORTINGAAVS描述隨機(jī)變量取值的“平均水平”，是概率加權(quán)下的平均值。對于離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望是所有可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和；對于連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望則是通過積分計算得到。方差衡量隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。方差越大，說明隨機(jī)變量取值的離散程度越高；方差越小，則取值越趨近于數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望與方差衡量兩個隨機(jī)變量變化趨勢的相似程度。如果兩個隨機(jī)變量同時向相反方向變化（即一個增大，另一個減?。?，則協(xié)方差為負(fù)值；如果兩個隨機(jī)變量同時向相同方向變化（即同時增大或同時減?。瑒t協(xié)方差為正值。是協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，用于消除量綱影響，更準(zhǔn)確地反映兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，其中-1表示完全負(fù)相關(guān)，1表示完全正相關(guān)，0表示不相關(guān)。協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的特征數(shù)。一階原點矩即為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即為方差。高階矩可以進(jìn)一步揭示隨機(jī)變量分布的偏態(tài)和峰態(tài)等特性。協(xié)方差矩陣用于描述多維隨機(jī)變量之間相關(guān)關(guān)系的矩陣。矩陣中的每個元素表示對應(yīng)兩個隨機(jī)變量之間的協(xié)方差。協(xié)方差矩陣在多元統(tǒng)計分析中具有重要作用，如主成分分析、因子分析等。特征函數(shù)是概率論中用于描述隨機(jī)變量分布性質(zhì)的一類函數(shù)。主要包括特征函數(shù)、概率生成函數(shù)和矩生成函數(shù)等。特征函數(shù)具有唯一性，即不同的隨機(jī)變量分布對應(yīng)不同的特征函數(shù)。通過特征函數(shù)可以方便地求解隨機(jī)變量的各階矩以及進(jìn)行分布的變換等。矩、協(xié)方差矩陣和特征函數(shù)PART05大數(shù)定律與中心極限定理REPORTINGAA大數(shù)定律是描述隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的定理，即當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，隨機(jī)事件的頻率趨于一個穩(wěn)定值。含義常見的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律和柯爾莫哥洛夫大數(shù)定律等。種類大數(shù)定律在保險、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于評估風(fēng)險、計算保費(fèi)和確定樣本量等。應(yīng)用大數(shù)定律中心極限定理是概率論中的重要定理，它指出當(dāng)隨機(jī)變量的數(shù)量足夠多時，這些隨機(jī)變量的和的分布將近似于正態(tài)分布。含義中心極限定理包括獨立同分布的中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理和林德貝格-列維中心極限定理等。種類中心極限定理在統(tǒng)計學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如用于參數(shù)估計、假設(shè)檢驗和置信區(qū)間的構(gòu)建等。同時，在自然科學(xué)、社會科學(xué)和工程領(lǐng)域也有許多應(yīng)用實例。應(yīng)用中心極限定理PART06數(shù)理統(tǒng)計基本概念REPORTINGAA研究對象的全體個體組成的集合，具有共同的性質(zhì)和特征。總體樣本樣本容量從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本中包含的個體數(shù)目，用n表示。030201總體與樣本樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量統(tǒng)計量的概率分布，描述了統(tǒng)計量在多次抽樣中的分布情況。抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。常用抽樣分布統(tǒng)計量與抽樣分布無偏性有效性一致性估計量的選取估計量評價標(biāo)準(zhǔn)和方法01020304估計量的期望值等于被估計參數(shù)的真實值。對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，方差更小的估計量更有效。隨著樣本容量的增大，估計量的值逐漸接近被估計參數(shù)的真實值。根據(jù)具體問題選擇合適的估計量，如無偏估計、極大似然估計、最小二乘估計等。PART07參數(shù)估計方法REPORTINGAA最大似然估計法根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計總體參數(shù)，適用于總體分布形式已知且樣本量較大的情況。矩估計法用樣本矩作為總體矩的估計量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。貝葉斯估計法基于貝葉斯定理，將參數(shù)的先驗分布與樣本信息結(jié)合，得到參數(shù)的后驗分布，再對后驗分布進(jìn)行統(tǒng)計推斷。點估計方法區(qū)間估計方法通過重復(fù)抽樣生成大量自助樣本，然后計算每個自助樣本的統(tǒng)計量，最后根據(jù)這些統(tǒng)計量的分布來估計總體參數(shù)的置信區(qū)間。自助法（Bootstrap）利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個區(qū)間，使得該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率等于預(yù)先給定的置信水平。置信區(qū)間法在給定置信水平下，構(gòu)造一個區(qū)間使得總體參數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)的概率最大。容忍區(qū)間法PART08假設(shè)檢驗方法REPORTINGAA假設(shè)的設(shè)立根據(jù)實際問題，提出原假設(shè)$H_0$和備擇假設(shè)$H_1$，原假設(shè)通常是認(rèn)為總體參數(shù)等于某個特定值，備擇假設(shè)則是總體參數(shù)不等于該特定值。根據(jù)假設(shè)檢驗的具體問題，選擇合適的檢驗統(tǒng)計量，如z檢驗、t檢驗、F檢驗等。根據(jù)顯著性水平$alpha$和檢驗統(tǒng)計量的分布，確定拒絕域的形式和范圍。從總體中隨機(jī)抽取樣本，計算樣本統(tǒng)計量的值。將樣本統(tǒng)計量的值與拒絕域進(jìn)行比較，若樣本統(tǒng)計量落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量的選擇樣本數(shù)據(jù)的收集和處理假設(shè)檢驗的決策拒絕域的確定假設(shè)檢驗基本原理和步驟單個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗當(dāng)總體服從正態(tài)分布$N(mu,sigma^2)$時，可以構(gòu)造z檢驗或t檢驗來檢驗總體均值$mu$是否等于某個特定值。具體地，當(dāng)$sigma^2$已知時，使用z檢驗；當(dāng)$sigma^2$未知時，使用t檢驗。要點一要點二單個正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗當(dāng)總體服從正態(tài)分布$N(mu,sigma^2)$時，可以構(gòu)造$chi^2$檢驗來檢驗總體方差$sigma^2$是否等于某個特定值。具體地，通過計算樣本方差$s^2$與總體方差$sigma^2$的比值，構(gòu)造出服從$chi^2$分布的統(tǒng)計量，進(jìn)而進(jìn)行假設(shè)檢驗。單個正態(tài)總體均值和方差假設(shè)檢驗兩個正態(tài)總體均值的比較假設(shè)檢驗當(dāng)兩個總體分別服從正態(tài)分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$時，可以構(gòu)造z檢驗或t檢驗來比較兩個總體均值$mu_1$和$mu_2$是否有顯著差異。具體地，當(dāng)$sigma_1^2$和$sigma_2^2$已知時，使用z檢驗；當(dāng)$sig