[練案58]第九講圓錐曲線的綜合問(wèn)題第一課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2019·河南豫東聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓的方程為(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1[解析]依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(－1,0)，所以c＝1.又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故選A.2．(2019·山東聊城二模，6)已知直線l與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為(2,1)，則直線l的方程為(D)A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5C．y－x＋3 D．y＝2x－3[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1①，,y\o\al(2,2)＝4x2②，))①－②得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，由題可知x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直線l的方程為y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故選D.3．(2020·石家莊質(zhì)檢)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1作傾斜角為60°的直線與y軸和雙曲線的右支分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A平分線段F1B，則該雙曲線的離心率是(B)A．eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)＋1[解析]由題意可知A是F1B的中點(diǎn)，O是F1F2的中點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，連接BF2，則OA是△F1BF2的中位線，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝2eq\r(3)c，∴2a＝4c－2eq\r(3)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2＋eq\r(3)，故選B.4．(2019·廣東深圳調(diào)研)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，且點(diǎn)F1關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為M.若MF2⊥F1F2，則橢圓C的離心率為(C)A．eq\f(\r(3)－1,2) B．eq\f(\r(3)－1,3)C.eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(2),2)[解析]設(shè)M(c，y0)，則MF1的中點(diǎn)為N(0，eq\f(y0,2))，即N在y軸上，N又在直線AB上，即點(diǎn)N與B重合，AB⊥BF1?kABkBF1＝－1?eq\f(b,a)·(－eq\f(b,c))＝－1.故?b2＝ac?a2－c2＝ac?e2＋e－1＝0，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)，選C.5．(2020·榆林調(diào)研)已知拋物線y2＝2px(p>0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線交于點(diǎn)M(1，m)，點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則雙曲線的離心率等于(A)A．3 B．4C．eq\r(3) D．2[解析]點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為eq\f(p,2)＋1＝3?p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x，∴m2＝8.雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，兩邊平方得y2＝(±eq\f(b,a))2x2，把M(1，m)代入上式得8＝(eq\f(b,a))2，∴雙曲線的離心率e＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝3.6．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB的面積為eq\r(6)，則|AB|＝(A)A．6 B．8C．12 D．16[解析]由題意知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，易知當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，△AOB的面積為2，不滿足題意，所以可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，與y2＝4x聯(lián)立，消去x得ky2－4y－4k＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝eq\r(\f(16,k2)＋16)，所以△AOB的面積為eq\f(1,2)×1×eq\r(\f(16,k2)＋16)＝eq\r(6)，解得k＝±eq\r(2)，所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝6，故選A.7．(2019·北京市海淀區(qū)模擬)橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率之積為1，則雙曲線C2的兩條漸近線的傾斜角分別為(C)A．eq\f(π,6)，－eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)，－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)，eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)[解析]橢圓中：a＝2，b＝1，所以，c＝eq\r(3)，離心率為：eq\f(\r(3),2)，設(shè)雙曲線的離心率為：e，則e×eq\f(\r(3),2)＝1，得：e＝eq\f(2\r(3),3)，雙曲線中：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3)，即：c2＝eq\f(4,3)a2，又c2＝a2＋b2，所以，eq\f(4,3)a2＝a2＋b2，得：a＝eq\r(3)b，雙曲線的漸近線為：y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x，所以，兩條漸近線的傾率為：k＝±eq\f(\r(3),3)傾斜角分別為eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)，故選C.8．(2020·河南省濮陽(yáng)市模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5，則直線l的斜率為(B)A．±eq\f(\r(6),2) B．±eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(2),2) D．±1[解析]由題意，拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程為y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，又由題意x1＋x2＋2＝10，即x1＋x2＝8，∴eq\f(k2＋2,k2)＝4，解得k＝±eq\f(\r(6),3)，故選B.二、多選題9．(2020·廣西河池期末改編)已知直線l在y軸上的截距為2，且與雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線平行，則直線l的方程可以是(AB)A．y＝eq\r(3)x＋2 B．y＝－eq\r(3)x＋2C．y＝－eq\f(\r(3),3)x＋2 D．y＝eq\f(\r(3),3)x＋2[解析]雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，∴直線l的方程為y＝±eq\r(3)x＋2.故選AB.10．若原點(diǎn)O到直線l的距離不大于1，則直線l與下列曲線一定有公共點(diǎn)的是(AC)A．y＝x2－2 B．(x－1)2＋y2＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D．x2－y2＝1[解析]數(shù)形結(jié)合知選AC.三、填空題11．(2019·大同質(zhì)檢)已知拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.[解析]∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線x＝－4過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，∴c＝4.又雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，可得b＝eq\r(3)a，又c＝eq\r(a2＋b2)＝4，∴a＝2，b＝2eq\r(3)，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.12．(2019·遼寧營(yíng)口期末)直線y＝k(x－1)與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝eq\f(16,3)，則k＝±eq\r(3).[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€AB經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3)，所以x1＋x2＝eq\f(10,3).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝eq\f(10,3)，所以k＝±eq\r(3).13．(2019·河北衡水三模)“九天攬?jiān)隆笔侵腥A民族的偉大夢(mèng)想，我國(guó)探月工程的進(jìn)展與實(shí)力舉世矚目．近期，“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器實(shí)現(xiàn)歷史上的首次月背著陸，月球上“嫦娥四號(hào)”的著陸點(diǎn)，被命名為天河基地，如圖是“嫦娥四號(hào)”運(yùn)行軌道示意圖，圓形軌道距月球表面100千米，橢圓形軌道的一個(gè)焦點(diǎn)是月球球心，一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)位于兩軌道相切的變軌處，另一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)距月球表面15千米，則橢圓形軌道的焦距為__85__千米．[解析]設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a千米，半焦距為c千米，月球半徑為r千米．由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝100＋r，,a－c＝15＋r，))解得2c＝85.即橢圓形軌道的焦距為85千米．四、解答題14．(2017·北京高考)已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1,1)．過(guò)點(diǎn)(0，eq\f(1,2))作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．[解析](1)由拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1,1)，得p＝eq\f(1,2).所以拋物線C的方程為y2＝x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(1,4)，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,4).(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋eq\f(1,2)(k≠0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x))得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.則x1＋x2＝eq\f(1－k,k2)，x1x2＝eq\f(1,4k2).因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1)．直線ON的方程為y＝eq\f(y2,x2)x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，eq\f(y2x1,x2))．因?yàn)閥1＋eq\f(y2x1,x2)－2x1＝eq\f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)＝eq\f(kx1＋\f(1,2)x2＋kx2＋\f(1,2)x1－2x1x2,x2)＝eq\f(2k－2x1x2＋\f(1,2)x2＋x1,x2)＝eq\f(2k－2×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0，所以y1＋eq\f(y2x1,x2)＝2x1.故A為線段BM的中點(diǎn)．15．(2019·廣東惠州三調(diào))已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的右焦點(diǎn)到直線x－y＋2eq\r(2)＝0的距離是3.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與該橢圓交于另一點(diǎn)B，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程．[解析](1)由題意，知b＝1.因?yàn)橛医裹c(diǎn)(c,0)(c>0)到直線x－y＋2eq\r(2)＝0的距離d＝eq\f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，所以c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(3)，因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|＝2.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，因?yàn)閤A＝0，所以xB＝－eq\f(6k,1＋3k2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)eq\f(6|k|,1＋3k2)，|AB|2＝eq\f(36k21＋k2,1＋3k22)，令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，則|AB|2＝4[－2(eq\f(1,t))2＋eq\f(1,t)＋1]＝－8(eq\f(1,t)－eq\f(1,4))2＋eq\f(9,2)，所以，當(dāng)eq\f(1,t)＝eq\f(1,4)，即k2＝1，亦即k＝±1時(shí)，|AB|2取得最大值eq\f(9,2)，即|AB|的最大值為eq\f(3\r(2),2).綜上，|AB|的最大值為eq\f(3\r(2),2)，此時(shí)直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1.B組能力提升1．(2018·課標(biāo)Ⅰ卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(B)A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4[解析]由雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1可知其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則易知焦點(diǎn)F到漸近線的距離為b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝eq\r(3)，則在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故選B.2．(2019·貴州貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1，l2，F(xiàn)為其一個(gè)焦點(diǎn)，若F關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)在l2上，則雙曲線的漸近線方程為(D)A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±eq\r(3)x[解析]設(shè)F關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)為H，即l1垂直平分FH，∴∠1＝∠2，又∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝eq\f(π,3)，∴kl1＝eq\r(3)，∴所求漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.故選D.3．(2020·河南天一大聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與圓C′：x2＋(y－eq\r(3))2＝3交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝eq\r(6)，則△MNF的面積為(B)A．eq\f(\r(2),8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(3\r(2),8) D．eq\f(3\r(2),4)[解析]作出圖形如下圖所示，由題意知|AM|＝2eq\r(3).因?yàn)辄c(diǎn)N為圓C′圓周上一點(diǎn)，所以∠ANM＝90°，則在Rt△ANM中，由|AM|＝2eq\r(3)，|MN|＝eq\r(6)，得|AN|＝eq\r(|AM|2－|MN|2)＝eq\r(6)，∠AMN＝45°，所以N(eq\r(3)，eq\r(3))代入y2＝2px中，解得p＝eq\f(\r(3),2)，故△MNF的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)×eq\r(3)＝eq\f(3,8).4．(2020·安徽1號(hào)卷A10聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)D為圓E：(x＋eq\r(3))2＋y2＝16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F(eq\r(3)，0)，線段DF的垂直平分線與DE相交于點(diǎn)C.(1)求證：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓，并求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)(1)中橢圓的上頂點(diǎn)為P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(2，－1)的直線l與該橢圓交于A，B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，記直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，求k1＋k2的值．[解析](1)由題意得，|CF|＝|CD|，∴|CE|＋|CF|＝|CE|＋|CD|＝|ED|＝4>|EF|＝2eq\r(3)，∴點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，焦距為2eq\r(3)，長(zhǎng)軸為4的橢圓．b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(4－3)＝1，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝2，此時(shí)直線l與橢圓相切，不符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2k－1,\f(x2,4)＋y2＝1))，得(1＋4k2)x2－8k(2k＋1)x＋16k2＋16k＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8k2k＋1,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(16k2＋16k,1＋4k2)，∴k1＋k2＝eq\f(y1－1,x1)＋eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(x2kx1－2k－2＋x1kx2－2k－2,x1x2)＝eq\f(2kx1x