2024屆江西省吉安一中、九江一中等八所重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，過點作曲線的兩條切線，，切點分別為，，設(shè)，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在個數(shù)，，…，使得不等式成立，則的最大值為()A．4 B．5 C．6 D．72．與圓及圓都外切的圓的圓心在（）．A．一個圓上 B．一個橢圓上 C．雙曲線的一支上 D．拋物線上3．已知復(fù)數(shù)滿足：，且的實部為2，則A．3 B． C． D．4．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為，左頂點為，分別是橢圓的左、右焦點，且的面積為，點為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.34136．離散型隨機變量X的分布列為，，2，3，則（）A．14a B．6a C． D．67．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于()A． B．2i C． D．08．（2017新課標全國I理科）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．89．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．10．某地區(qū)高考改革，實行“”模式，即“”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，“”指在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，“”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，則一名學(xué)生的不同選科組合有多少種？（）A．種 B．種 C．種 D．種11．設(shè)集合，，，則A． B．C． D．12．體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,某學(xué)生到該體育場練跑步,則他進出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中,為的中點,,的面積為6,且交于點,將沿翻折,翻折過程中，與所成角的余弦值取值范圍是__．14．對于無理數(shù),用表示與最接近的整數(shù),如,.設(shè)，對于區(qū)間的無理數(shù),定義,我們知道,若,和,則有以下兩個恒等式成立：①；②,那么對于正整數(shù)和兩個無理數(shù),,以下兩個等式依然成立的序號是______；①；②.15．曲線在點處的切線方程為__________.16．某種活性細胞的存活率（%）與存放溫度（℃）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)如下表所示存放溫度（℃）104-2-8存活率（%）20445680經(jīng)計算得回歸直線方程的斜率為-3.2，若存放溫度為6℃，則這種細胞存活的預(yù)報值為_____%．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（）.(Ⅰ)當(dāng)時，求不等式的解集；(Ⅱ)求證:，并求等號成立的條件.18．（12分）在四棱錐中，，是的中點，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）2119年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了211名學(xué)生每周閱讀時間(單位：小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這211名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表)；（2）由直方圖可以認為，目前該校學(xué)生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．（i）一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若令，則，且．利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．(ii)從該高校的學(xué)生中隨機抽取21名，記表示這21名學(xué)生中每周閱讀時間超過11小時的人數(shù)，求(結(jié)果精確到1．1111)以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：．若，則．20．（12分）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.21．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，．（1）求直線與直線所成的角的大??；（2）求四棱錐的側(cè)面積；22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點在直線l：上．（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C的相交于點A、B，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】設(shè)，因，故，由題意過點可得；同理可得，因此是方程的兩個根，則，故．由于在上單調(diào)遞增，且，所以，因此問題轉(zhuǎn)化為對一切正整數(shù)恒成立．又，故，則，由于是正整數(shù)，所以，即的最大值為，應(yīng)選答案B．2、C【解題分析】

設(shè)動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與圓及圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【題目詳解】設(shè)動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為1．依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支．故選C．【題目點撥】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，以及雙曲線的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記圓與圓的位置關(guān)系和雙曲線的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】分析：根據(jù)題意設(shè)根據(jù)題意得到，從而根據(jù)復(fù)數(shù)的模的概念得到結(jié)果.詳解：設(shè)根據(jù)題意得到則=.故答案為B.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運算，復(fù)數(shù)的模長的計算.4、D【解題分析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結(jié)果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設(shè)，則，，即，，故選D.點睛：本題考查題意的簡單性質(zhì)，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸、等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.5、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關(guān)系，單獨要求的概率的值．詳解：∵機變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個區(qū)間的概率，屬基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

由離散型隨機變量X的分布列得a+2a+3a＝1，從而，由此能求出E（X）．【題目詳解】解：∵離散型隨機變量X的分布列為，，∴，解得，∴．故選：C．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)除法和加法運算求解即可【題目詳解】故選B【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的運算，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題8、C【解題分析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點睛:求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.9、A【解題分析】

先利用定積分計算陰影部分面積，再用陰影部分面積除以總面積得到答案.【題目詳解】曲線分別是，的一部分則陰影部分面積為：總面積為：【題目點撥】本題考查了定積分，幾何概型，意在考查學(xué)生的計算能力.10、B【解題分析】

根據(jù)題意，分步進行分析該學(xué)生在“語文、數(shù)學(xué)、外語三門”、“化學(xué)、生物、政治、地理四門”、“物理、歷史兩門”中的選法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分3步進行分析：①語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目，有1種選法；②在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，有種選法；③在物理、歷史兩門科目中必選一門，有種選法；則這名學(xué)生的不同選科組合有種.故選：B．【題目點撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】分析：由題意首先進行并集運算，然后進行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解：由并集的定義可得：，結(jié)合交集的定義可知：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查并集運算、交集運算等知識，意在考查學(xué)生的計算求解能力.12、D【解題分析】第一步，他進門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得他進出門的方案有7×7＝49(種)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：根據(jù)題意，過作的垂線，垂足為過作的垂線，垂足為由題可求得，設(shè)的夾角為，，由此可求與所成角的余弦值取值范圍詳解：如圖所示，根據(jù)題意，過作的垂線，垂足為過作的垂線，垂足為由題,的面積為6，，設(shè)的夾角為，故與所成角的余弦值取值范圍是.即答案為.點睛：本題考查平面圖形的翻折問題，考查異面直線的夾角文，屬難題.14、①，②..【解題分析】

根據(jù)新定義,結(jié)合組合數(shù)公式,進行分類討論即可.【題目詳解】當(dāng)時,由定義可知：,,當(dāng)時,由定義可知：,,故①成立；當(dāng)時,由定義可知：,,當(dāng)時,由定義可知：,故②成立.故答案為：①，②.【題目點撥】本題考查了新定義題,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力,考查了組合數(shù)的計算公式,考查了分類討論思想.15、【解題分析】

利用切線的斜率是函數(shù)在切點處導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，再利用直線方程的點斜式求出切線方程．【題目詳解】∵y＝lnx，∴，∴函數(shù)y＝lnx在x＝1處的切線斜率為1，又∵切點坐標為（1，0），∴切線方程為y＝x﹣1．故答案為：y＝x﹣1．【題目點撥】本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．16、34【解題分析】分析：根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出，代入公式求得的值，從而得到回歸直線方程，將代入回歸方程即可得到結(jié)果.詳解：設(shè)回歸直線方程，由表中數(shù)據(jù)可得，代入歸直線方程可得，所以回歸方程為當(dāng)時，可得，故答案為.點睛：求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)把代入不等式中，利用零點進行分類討論，求解出不等式的解集；(Ⅱ)證法一：對函數(shù)解析式進行變形為，，顯然當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，利用基本不等式，可以證明出，并能求出等號成立的條件；證法二：利用零點法把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的最小值，以及此時的的值.【題目詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時，原不等式等價于，當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，無實數(shù)解原不等式的解集為(Ⅱ)證明:法一:，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即時取等號，，等號成立的條件是法二:在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，等號成立的條件是【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法以及證明絕對值不等式，利用零點法，分類討論是解題的關(guān)鍵.18、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如圖以A為原點，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標系．可得，．設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有，，解得．則，，．設(shè)面PDC的一個法向量為，由，取x0=1，得．為面PAC的一個法向量，且，設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，則有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19、(1)9，1.78(2)（i）（ii）見解析【解題分析】

（1）直接由平均數(shù)公式及方差公式求解；（2）（i）由題知，，則，求出，結(jié)合已知公式求解．（ⅱ）由（i）知，可得，由求解，再由正態(tài)分布的期望公式求的數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1），；（2）（i）由題知，，∴，．∴；（ⅱ）由（i）知，可得，.∴的數(shù)學(xué)期望.【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查離散型隨機變量得期望，是中檔題．20、(1)證明見解析；(2).【解題分析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，據(jù)此可得.利用線面垂直的判斷定理可得平面.(2)(方法一)延長，相交于，連接，由題意可知二面角就是平面與平面所成二面角.取的中點為，則就是二面角的平面角.結(jié)合幾何關(guān)系計算可得.(方法二)建立空間直角坐標系，計算可得平面的法向量.取平面的法向量為.利用空間向量計算可得.詳解：(1)在中，.所以，所以為直角三角形，.又因為平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如圖延長，相交于，連接，則平面平面.二面角就是平面與平面所成二面角.因為，所以是的中位線.，這樣是等邊三角形.取的中點為，連接，因為平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如圖所示的空間直角坐標系，可得..設(shè)是平面的法向量，則令得.取平面的法向量為.設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則，從而.點睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，二面角的定義，線面垂直的判斷定理等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)可知所求角為；利用線面垂直性