概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講解匯報(bào)人：AA2024-01-20AAREPORTING目錄概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法方差分析與回歸分析初步常見概率分布及其應(yīng)用舉例PART01概率論基本概念REPORTINGAA不可能事件不包含任何樣本點(diǎn)的事件，即空集?。必然事件包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件，即S本身?；臼录话粋€(gè)樣本點(diǎn)的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件概率定義在給定條件下，某一事件發(fā)生的可能性大小，一般用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。非負(fù)性對(duì)于任何事件A，有P(A)≥0。規(guī)范性對(duì)于必然事件S，有P(S)=1?？杉有詫?duì)于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定義及性質(zhì)條件概率與獨(dú)立性條件概率在另一事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。獨(dú)立性如果事件A和B的發(fā)生互不影響，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則稱事件A和B是相互獨(dú)立的。全概率公式如果事件B1,B2,…,Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都有正概率，則對(duì)于任何一個(gè)事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。貝葉斯公式在全概率公式的條件下，可以進(jìn)一步求得條件概率P(Bi|A)，即已知事件A發(fā)生的條件下，推斷各個(gè)原因Bi發(fā)生的可能性大小。具體公式為P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。全概率公式與貝葉斯公式PART02隨機(jī)變量及其分布REPORTINGAA隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。定義隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則充滿某個(gè)區(qū)間。分類隨機(jī)變量定義及分類離散型隨機(jī)變量分布律離散型隨機(jī)變量的分布律可用分布列來描述，即列出隨機(jī)變量所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率。分布列常見的離散型隨機(jī)變量分布有伯努利分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。常見離散分布VS連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可用概率密度函數(shù)來描述，它是一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，其函數(shù)值表示隨機(jī)變量落在某一點(diǎn)的概率密度。常見連續(xù)分布常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布有均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布若已知隨機(jī)變量X的分布，則可通過一定的變換得到關(guān)于X的函數(shù)Y的分布。多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布對(duì)于多維隨機(jī)變量，其函數(shù)的分布可通過聯(lián)合分布密度函數(shù)和邊緣分布密度函數(shù)求得。隨機(jī)變量函數(shù)分布PART03多維隨機(jī)變量及其分布REPORTINGAA描述兩個(gè)隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率，通常用一個(gè)二維表格或三維圖形表示。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)描述了它們同時(shí)取某一值的可能性大小，其積分值表示概率。聯(lián)合分布律聯(lián)合密度函數(shù)二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)邊緣分布律由聯(lián)合分布律推導(dǎo)出的單一隨機(jī)變量的分布律，表示一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率。要點(diǎn)一要點(diǎn)二邊緣密度函數(shù)由聯(lián)合密度函數(shù)推導(dǎo)出的單一隨機(jī)變量的密度函數(shù)，描述該隨機(jī)變量取某一值的可能性大小。邊緣分布律/密度函數(shù)條件分布律在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布律。條件密度函數(shù)在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。條件分布律/密度函數(shù)如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度函數(shù)）等于各自邊緣分布律（或邊緣密度函數(shù)）的乘積，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。定義相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之間沒有相互影響，一個(gè)隨機(jī)變量的取值不會(huì)影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值。性質(zhì)相互獨(dú)立隨機(jī)變量PART04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念和方法REPORTINGAA總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，通常用一個(gè)分布函數(shù)來描述。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體，用于推斷總體的性質(zhì)。統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等?？傮w、樣本和統(tǒng)計(jì)量矩估計(jì)用樣本矩代替總體矩，通過求解方程組得到參數(shù)的估計(jì)值。最大似然估計(jì)在已知總體分布的情況下，選擇使得樣本出現(xiàn)概率最大的參數(shù)作為估計(jì)值。點(diǎn)估計(jì)方法（矩估計(jì)和最大似然估計(jì)）區(qū)間估計(jì)方法（置信區(qū)間）置信區(qū)間對(duì)于總體參數(shù)的一個(gè)區(qū)間估計(jì)，該區(qū)間以一定的置信水平包含了總體參數(shù)的真值。構(gòu)造方法基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算置信區(qū)間的上下限，常用的方法包括樞軸量法、Bootstrap法等。參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)總體分布中的參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，如t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等。非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)不依賴于總體分布的具體形式，通過比較樣本數(shù)據(jù)的分布或秩來進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，如卡方檢驗(yàn)、Mann-WhitneyU檢驗(yàn)等。假設(shè)檢驗(yàn)方法（參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)）PART05方差分析與回歸分析初步REPORTINGAA方差分析是一種通過比較不同組別間均值差異來檢驗(yàn)總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計(jì)方法。它基于組內(nèi)變異和組間變異的比較，通過F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。方差分析原理在醫(yī)學(xué)研究中，方差分析可用于比較不同治療方法對(duì)患者病情的影響。例如，將患者隨機(jī)分為兩組，分別接受不同的治療方法，然后比較兩組患者的病情改善程度，以評(píng)估哪種治療方法更有效。應(yīng)用舉例方差分析原理及應(yīng)用舉例回歸分析原理及應(yīng)用舉例回歸分析是一種研究自變量與因變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。它通過擬合回歸方程來描述自變量對(duì)因變量的影響，并可用于預(yù)測(cè)和解釋數(shù)據(jù)?；貧w分析原理在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，回歸分析可用于研究不同因素對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響。例如，可以收集多個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，包括GDP、投資、就業(yè)等，然后利用回歸分析探討這些因素之間的關(guān)系，并預(yù)測(cè)未來經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)趨勢(shì)。應(yīng)用舉例VS多元線性回歸模型是一種用于研究多個(gè)自變量與一個(gè)因變量之間線性關(guān)系的統(tǒng)計(jì)模型。它擴(kuò)展了一元線性回歸模型，允許同時(shí)考慮多個(gè)自變量的影響。模型表達(dá)式多元線性回歸模型的表達(dá)式為Y=β0+β1X1+β2X2+?+βpXp+εY=beta_0+beta_1X_1+beta_2X_2+cdots+beta_pX_p+varepsilonY=β0?+β1?X1?+β2?X2?+?+βp?Xp?+ε，其中YYY是因變量，X1,X2,…,XpX_1,X_2,ldots,X_pX1?,X2?,…,Xp?是自變量，β0,β1,…,βpbeta_0,beta_1,ldots,beta_pβ0?,β1?,…,βp?是回歸系數(shù)，εvarepsilonε是隨機(jī)誤差項(xiàng)。多元線性回歸模型多元線性回歸模型簡(jiǎn)介參數(shù)估計(jì)多元線性回歸模型的參數(shù)可以通過最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。最小二乘法是一種通過最小化殘差平方和來估計(jì)模型參數(shù)的方法。假設(shè)檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)在多元線性回歸模型中，可以進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)以評(píng)估模型的顯著性，并利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和解釋數(shù)據(jù)。多元線性回歸模型簡(jiǎn)介PART06常見概率分布及其應(yīng)用舉例REPORTINGAA二項(xiàng)分布描述n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)的概率分布。其中每次試驗(yàn)的成功概率為p，失敗概率為1-p。泊松分布描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。泊松分布的參數(shù)是單位時(shí)間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率λ。幾何分布描述進(jìn)行一系列相互獨(dú)立的試驗(yàn)，首次取得成功所需試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。010203常見離散型概率分布010203正態(tài)分布描述影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每一個(gè)因素所起的作用不太大，且各種因素的影響可以疊加的情況下的概率分布。正態(tài)分布具有鐘型曲線的特點(diǎn)，其參數(shù)為均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。指數(shù)分布描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，通常用于描述等待時(shí)間、壽命等。指數(shù)分布的參數(shù)是平均發(fā)生率λ，其概率密度函數(shù)呈指數(shù)下降。均勻分布描述連續(xù)型隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)等可能出現(xiàn)的概率分布。均勻分布的參數(shù)為區(qū)間的起點(diǎn)a和終點(diǎn)b。常見連續(xù)型概率分布揭示了當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率趨于一個(gè)穩(wěn)定值，即該隨機(jī)事件發(fā)生的概率。大數(shù)定律是概率論中的基本定理之一，為頻率近似概率提供了理論依據(jù)。指出當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么。中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要地位，為許多統(tǒng)計(jì)推斷方法提供了基礎(chǔ)。大數(shù)定律中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理簡(jiǎn)介質(zhì)量控制在質(zhì)量控制中，常用二項(xiàng)分布來描述產(chǎn)品的不合格品率。通過設(shè)定合適的檢驗(yàn)水平和抽樣方案，可以對(duì)產(chǎn)品的不合