2024屆北京外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則下列結(jié)論中不恒成立的是（）A． B． C． D．2．某家具廠的原材料費(fèi)支出與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則為x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．203．已知定義在R上的偶函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），記，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16，左焦點(diǎn)分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．5．已知某隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．6．若是第四象限角，，則（）A． B． C． D．7．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且P（X4）=0.88，則P（0X4）=（）A．0.88 B．0.76 C．0.24 D．0.128．下面命題正確的有（）①a，b是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；②任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；③若，且，則.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb10．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．11．某射手射擊一次擊中靶心的概率是,如果他在同樣的條件下連續(xù)射擊10次,設(shè)射手擊中靶心的次數(shù)為,若,,則()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.312．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則

=A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《左傳.僖公十四年》有記載:“皮之不存,毛將焉附?"”這句話的意思是說(shuō)皮都沒(méi)有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基礎(chǔ),就不能存在.皮之不存,毛將焉附?則“有毛”是“有皮”的__________條件(將正確的序號(hào)填入空格處).①充分條件②必要條件③充要條件④既不充分也不必要條件14．已知曲線的方程為，集合，若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，則稱(chēng)曲線為曲線.下列方程所表示的曲線中,是曲線的有__________（寫(xiě)出所有曲線的序號(hào)）①；②；③；④15．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，，則；④若，則，其中正確命題的序號(hào)是______.16．在中，，，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平形四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M，N分別為BC,PA的中點(diǎn)，且AB=AC=1，AD=2（1）證明：MN∥平面PCD；（2）設(shè)直線AC與平面PBC所成角為α，當(dāng)α在(0,π6)內(nèi)變化時(shí)，求二面角P-BC-A的平面角β18．（12分）已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；19．（12分）已知過(guò)點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C：x2（1）若直線l的斜率為k，求k的取值范圍；（2）若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（1，0），求直線l的方程．20．（12分）已知點(diǎn)在橢圓C:上，A，B是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線CD的斜率為2，以E(1，0)為圓心的圓與直線CD相切，且切點(diǎn)為線段CD的中點(diǎn)，求該圓的方程.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量,.(1)當(dāng)時(shí),求的值；(2)若，且.求的值.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)分別在，上運(yùn)動(dòng)，若的最小值為2，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析兩數(shù)可以是滿(mǎn)足，任意數(shù)，利用特殊值法即可得到正確選項(xiàng)．詳解：若，不妨設(shè)a代入各個(gè)選項(xiàng)，錯(cuò)誤的是A、B，

當(dāng)時(shí)，C錯(cuò)．

故選D．點(diǎn)睛：利用特殊值法驗(yàn)證一些式子錯(cuò)誤是有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】分析：先求樣本中心，代入方程求解即可。詳解：，，代入方程，解得，故選B點(diǎn)睛：回歸直線方程必過(guò)樣本中心。3、A【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性，求出，得到，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及余弦函數(shù)單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，即，即，所以，解得：，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)單調(diào)比較大小，由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可，屬于?？碱}型.4、A【解題分析】由于焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線漸近線的幾何性質(zhì),考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故焦點(diǎn)到漸近線的距離為.5、A【解題分析】

直接利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性求解．【題目詳解】，且，．．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

確定角所處的象限，并求出的值，利用誘導(dǎo)公式求出的值．【題目詳解】是第四象限角，則，，且，所以，是第四象限角，則，因此，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí)，要確定對(duì)象角的象限，于此確定所求角的三角函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合相關(guān)公式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．7、B【解題分析】

正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解概率即可．【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，得對(duì)稱(chēng)軸是，，，，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題在充分理解正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，充分利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性解題，是一道基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

對(duì)于找出反例即可判斷，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷．【題目詳解】若，則是0，為實(shí)數(shù)，即錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)，而任意實(shí)數(shù)都可以比較大小，虛數(shù)是不可以比較大小的，即錯(cuò)誤；

若，，則，但，即錯(cuò)誤；故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.10、A【解題分析】試題分析：由題意得，令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故選A．考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判定．11、B【解題分析】

隨機(jī)變量X～B（10，p），所以DX=10p(1?p)=2.4，可得p=0.4或p=0.6，又因?yàn)镻(X=3)<P(X=7),即，可得p>，所以p=0.6.【題目詳解】依題意,X為擊中目標(biāo)的次數(shù),所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布X～B(10,p)，所以D（X）=10p(1?p)=2.4，所以p=0.4或p=0.6，又因?yàn)镻(X=3)<P(X=7),即，所以1?p<p,即p>，所以p=0.6.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的概率計(jì)算、期望與方差，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可，屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布圖像可知，故它們中點(diǎn)即為對(duì)稱(chēng)軸.詳解：由題可得：，故對(duì)稱(chēng)軸為故選B.點(diǎn)睛：考查正態(tài)分布的基本量和圖像性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解題分析】分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．詳解：由題意知“無(wú)皮”?“無(wú)毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分條件．故答案為：①．點(diǎn)睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．14、①③【解題分析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，在曲線上存在著點(diǎn)使得，據(jù)此逐項(xiàng)判斷曲線是否為曲線.【題目詳解】①的圖象既關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且圖象是封閉圖形，所以對(duì)于任意的點(diǎn)，存在著點(diǎn)使得，所以①滿(mǎn)足；②的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為，所以漸近線將平面分為四個(gè)夾角為的區(qū)域，當(dāng)在雙曲線同一支上，此時(shí)，當(dāng)不在雙曲線同一支上，此時(shí)，所以，不滿(mǎn)足，故②不滿(mǎn)足；③的圖象是焦點(diǎn)在軸上的拋物線，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，連接，再過(guò)點(diǎn)作的垂線，則垂線一定與拋物線交于點(diǎn)，所以，所以，所以③滿(mǎn)足；④取，若，則有，顯然不成立，所以此時(shí)不成立，所以④不滿(mǎn)足.故答案為：①③.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的新定義問(wèn)題，難度較難.(1)對(duì)于新定義的問(wèn)題，首先要找到問(wèn)題的本質(zhì)：也就是本題所考查的主要知識(shí)點(diǎn)，然后再解決問(wèn)題；(2)對(duì)于常見(jiàn)的，一定要能將其與向量的數(shù)量積為零即垂直關(guān)系聯(lián)系在一起.15、①②【解題分析】

①利用線面平行性質(zhì)以及線面垂直的定義判斷真假；②利用面面平行的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)判斷真假；③④可借助正方體判斷真假.【題目詳解】①因?yàn)?，過(guò)作平面，使得，則有；又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故①正確；②因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以，故②正確；③例如：正方體上底面的對(duì)角線分別平行下底面，但是兩條對(duì)角線互相不平行，故③不正確；④選正方體同一頂點(diǎn)處的三個(gè)平面記為，則有，但與相交，故④不正確.故填：①②.【題目點(diǎn)撥】判斷用符號(hào)語(yǔ)言描述的空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的正誤：（1）直接用性質(zhì)定理、判定定理、定義去判斷；（2）借助常見(jiàn)的空間幾何體輔助判斷（正方體等）.16、【解題分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到，，再由二倍角公式得到結(jié)果.【題目詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，以及二倍角公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)(0，【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，需在平面PCD內(nèi)找一條與MN平行的直線.結(jié)合題設(shè)可取取PD中點(diǎn)Q，連接NQ,CQ，易得四邊形CQNM為平行四邊形，從而得MN//CQ，問(wèn)題得證.（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即過(guò)棱BC上一點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)作棱BC的垂線.因?yàn)锳B=AC=1，點(diǎn)M分別為BC的中點(diǎn)，則AM⊥BC.連接PM，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AM是PM在面ABC內(nèi)的射影，所以PM⊥BC，所以∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角.再作出直線AC與平面PBC所成的角，即作出AC在平面PBC內(nèi)的射影.由PM⊥BC，AM⊥BC且AM∩PM=M得BC⊥平面PAM，從而平面PBC⊥平面PAM.過(guò)點(diǎn)A在平面PAM內(nèi)作AH⊥PM于H，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)知AH⊥平面PBC．連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角．在Rt△AHM及Rt△AHC中，找出∠PMA與α的關(guān)系，即可根據(jù)α的范圍求出∠PMA的范圍.思路二、以所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量亦可求解.試題解析：（Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)Q，連接NQ,CQ，因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為BC,PA的中點(diǎn)，所以NQ//AD//CM,四邊形CQNM為平行四邊形，則MN//CQ又MN?平面PCD，CQ?所以MN//平面PCD.（Ⅱ）解法1：連接PM，因?yàn)锳B=AC=1，點(diǎn)M分別為BC的中點(diǎn)，則AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，則PM⊥BC所以∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，則平面PBC⊥平面PAM過(guò)點(diǎn)A在平面PAM內(nèi)作AH⊥PM于H，則AH⊥平面PBC．連接CH，于是∠ACH就是直線AC與平面PBC所成的角，即∠ACH=α．在Rt△AHM中，AH=2在Rt△AHC中，CH=sinα，∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范圍為(0，解法2：連接PM，因?yàn)锳B=AC=1，點(diǎn)M分別為BC的中點(diǎn)，則AM⊥BC又PA⊥平面ABCD，則PM⊥BC所以∠PMA即為二面角P-BC-A的平面角，設(shè)為θ以所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0于是，PM=(12，1設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x，則由n·BC得-x+y=0可取n=(1，1，于是sinα=|∵0<α<π∴0<sinθ<1又0<φ<π2，即二面角P-BC-A取值范圍為(0，考點(diǎn)：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角.18、(1).(2).【解題分析】分析：（1）由題意，求得，得到方程，即可求解實(shí)數(shù)的值；（2）由題意，對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立，問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在上為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可額求解．詳解：（1）由，得.由題意，，所以.（2）.因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解題分析】試題分析：（1）由題意設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程后由判別式大于求得的取值范圍；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由EP·EQ=0求得值，則直線l方程可求.試題解析：（1）依題意，直線l的方程為y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=0,則P(0,1),Q(0,-1),此時(shí)以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E(1,0)，滿(mǎn)足題意.直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因?yàn)橐灾睆降膱A過(guò)點(diǎn)E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直線l的方程為y=-76x+2.綜上，所求直線l的方程為x=0考點(diǎn)：1.直線與橢圓的綜合問(wèn)題；2.韋達(dá)定理.【