廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024屆數(shù)學高二下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要4．已知變量x，y滿足約束條件則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．6．若二項式的展開式中二項式系數(shù)的和是64，則展開式中的常數(shù)項為A． B． C．160 D．2407．函數(shù)的最小值為0，則m的取值范圍是()A．(1，2) B．(－1，2)C．[1，2) D．[－1，2)8．已知函數(shù)滿足，與函數(shù)圖象的交點為，則=（）A．0 B． C． D．9．某市某校在秋季運動會中，安排了籃球投籃比賽.現(xiàn)有20名同學參加籃球投籃比賽，已知每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且各同學投籃之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則其中一名同學得2分的概率為（）A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.3210．曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù),),它的普通方程是(

)A． B．C． D．11．是單調(diào)函數(shù),對任意都有，則的值為（）A． B． C． D．12．在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的系數(shù)為A．336項 B．337項 C．338項 D．1009項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是上奇函數(shù)，且當時，則__________．14．某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的總數(shù)為_______．15．二項展開式，兩邊對求導，得，令，可得，類比上述方法，則______．16．為等比數(shù)列，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點.（1）求證：底面；（2）求直線與平面所成的角的值；（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數(shù)表示）18．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù).（1）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當，且恒成立時，求的最大值.19．（12分）設,圓:與軸正半軸的交點為,與曲線的交點為,直線與軸的交點為.(1)用表示和;(2)求證:;(3)設,,求證:.20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值；(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(3)求證ln(n＋1)>(n∈N*)．21．（12分）在中，已知的平分線交于點，.（1）求與的面積之比；（2）若，，求和.22．（10分）已知數(shù)列，其前項和為；（1）計算；（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】，如圖，由圖可知，兩個圖象有2個交點，所以原函數(shù)的零點個數(shù)為2個，故選C．2、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則.在有兩個不相等實根求解.【題目詳解】因為所以.因為函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個不相等實根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.3、B【解題分析】

時，直線與直線不平行，所以直線與直線平行的充要條件是，即且，所以“”是直線與直線平行的必要不充分條件．故選B．4、B【解題分析】畫出二元一次不等式所示的可行域，目標函數(shù)為截距型，，可知截距越大值越大，根據(jù)圖象得出最優(yōu)解為，則的最大值為2，選B.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍．5、B【解題分析】

恒成立等價于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，對函數(shù)求導，利用導函數(shù)求其最大值，進而得到答案?！绢}目詳解】恒成立等價于恒成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為，，令，則，所以當時，所以在單調(diào)遞減且，所以在上單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，，所以故選B【題目點撥】本題考查利用導函數(shù)解答恒成立問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于一般題。6、D【解題分析】

由二項式定義得到二項展開式的二項式系數(shù)和為，由此得到，然后求通項，化簡得到常數(shù)項，即可得到答案.【題目詳解】由已知得到，所以，所以展開式的通項為，令，得到，所以展開式的常數(shù)項為，故選D.【題目點撥】本題主要考查了二項展開式的二項式系數(shù)以及特征項的求法，其中熟記二項展開式的系數(shù)問題和二項展開式的通項是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、B【解題分析】

化簡函數(shù)為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及在時取得最小值0，求出的范圍.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上是減函數(shù)．當x＝2時，y＝0.根據(jù)題意x∈(m，n]時，.所以m的取值范圍是－1＜m＜2，故選B.【題目點撥】該題所考查的是利用函數(shù)在某個區(qū)間上的最值，來確定區(qū)間對應的位置，涉及到的知識點有反比例型函數(shù)的單調(diào)性，確定最值在哪個點處取，從而求得對應的參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.8、B【解題分析】

由題意知函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象都關(guān)于直線對稱，可知它們的交點也關(guān)于直線對稱，于此可得出的值?！绢}目詳解】設，由于，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，所以，函數(shù)與函數(shù)的交點也關(guān)于直線對稱，所以，，令，則，所以，，因此，，故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的交點坐標之和，考查函數(shù)圖象的應用，抓住函數(shù)圖象對稱性是解題的關(guān)鍵，同時也要注意抽象函數(shù)關(guān)系與性質(zhì)之間的關(guān)系，如下所示：（1），則函數(shù)的周期為；（2）或，則函數(shù)的對稱軸為直線；（3），則函數(shù)的對稱中心為.9、B【解題分析】

事件“第一次投進球”和“第二次投進球”是相互獨立的，利用對立事件和相互獨立事件可求“其中一名同學得2分”的概率.【題目詳解】設“第一次投進球”為事件，“第二次投進球”為事件，則得2分的概率為.故選B.【題目點撥】本題考查對立事件、相互獨立事件，注意互斥事件、對立事件和獨立事件三者之間的區(qū)別，互斥事件指不同時發(fā)生的事件，對立事件指不同時發(fā)生的事件且必有一個發(fā)生的兩個事件，而獨立事件指一個事件的發(fā)生與否與另一個事件沒有關(guān)系.10、B【解題分析】

將曲線的參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)，即可得到它的普通方程.【題目詳解】由,得,故,又,,故,因此所求的普通方程為，故選B.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于簡單題.消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.11、A【解題分析】

令，根據(jù)對任意都有，對其求導，結(jié)合是單調(diào)函數(shù)，即可求得的解析式，從而可得答案.【題目詳解】令，則，.∴∵是單調(diào)函數(shù)∴∴，即.∴故選A.【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中解答的關(guān)鍵是求出抽象函數(shù)解析式，要注意對已知條件及未知條件的湊配思想的應用．12、A【解題分析】

根據(jù)題意，求出的展開式的通項，即可得項的系數(shù)，進而分析可知若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、2、、，即可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項為；其系數(shù)為若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、、共有336項，故選A．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，關(guān)鍵是掌握二項式定理的形式，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求，再根據(jù)奇函數(shù)得.詳解：因為，因為函數(shù)是上奇函數(shù)，所以點睛：已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的值或解析式.14、30種【解題分析】

對發(fā)言的3人進行討論，一類是3個中有來自甲企業(yè)，一類是3人中沒有來自甲企業(yè).【題目詳解】（1）當發(fā)言的3人有來自甲企業(yè)，則共有：；（2）當發(fā)言的3人沒有來自甲企業(yè)，則共有：；所以可能情況的總數(shù)為種.【題目點撥】本題考查分類與分步計數(shù)原理，解題的關(guān)鍵在于對3個發(fā)言人來自企業(yè)的討論，即有來自甲和沒有來自甲.15、【解題分析】

依據(jù)類比推理觀察式子的特點，可得，然后進行求導并對取特殊值，可得結(jié)果.【題目詳解】，兩邊對求導，左邊右邊令，．故答案為：【題目點撥】本題考查類比推理以及二項式定理與導數(shù)的結(jié)合，難點在于找到式子，屬中檔題.16、【解題分析】

將這兩式中的量全部用表示出來，正好有兩個方程，兩個未知數(shù)，解方程組即可求出。【題目詳解】相當于，相當于，上面兩式相除得代入就得，【題目點撥】基本量法是解決數(shù)列計算題最重要的方法，即將條件全部用首項和公比表示，列方程，解方程即可求得。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）由已知中四棱錐P?ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC與BD相交于點O，根據(jù)平行四邊形兩條對角線互相平分及等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理，我們易得到結(jié)論；

（2）以O為坐標原點，建立坐標系，分別求出各頂點坐標，進而求出直線

PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夾角的向量法公式，即可求出答案.【題目詳解】（1）證明：因為ABCD為菱形，

所以O為AC，BD的中點

因為PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因為ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

建立如圖所示空間直角坐標系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以則，

設平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直線與平面所成的角的值為；（3）設平面的法向量,因為

有，所以，令

得，，

由圖知，平面與平面所成二面角為鈍角，.【題目點撥】本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中選擇合適的點及坐標軸方向，建立空間坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為一個向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵.18、(1)(2)【解題分析】分析：（1）當時，，利用導函數(shù)研究切線方程可得函數(shù)在點處的切線方程為.（2）原問題等價于恒成立，二次求導，由導函數(shù)研究的性質(zhì)可知，滿足，，，，則.據(jù)此討論可得的最大值為.詳解：（1）當時，，∴，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即為.（2）恒成立，則恒成立，又，令，所以，所以在為單調(diào)遞增函數(shù).又因為，，所以使得，即，，，，所以.又因為，所以，所以，，令，，，所以，即，又，所以，因為，，所以的最大值為.點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．19、（1）,(2)根據(jù)題意，由于,進而得到證明．(3)先證:當時,.然后借助于不等式關(guān)系放縮法求和比較大?。窘忸}分析】試題分析：（1）根據(jù)點在圓上，在直線上，即可求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得證；（2）首先證明不等式，進而可證得，累加求和即可得證．試題解析：（1）由點在曲線上可得，又點在圓上，則，，從而直線的方程為，由點在直線上得：，將代入，化簡得：，∵，，∴，，又∵，，∴；（2）先證：當時，，事實上，不等式，后一個不等式顯然成立，而前一個不等式，故當時，不等式成立，∴，∴(等號僅在時成立)，求和得：，∴．考點：1．數(shù)列的通項公式；2．數(shù)列與不等式綜合題．【方法點睛】解決數(shù)列與不等式相結(jié)合的綜合題常用的解題策略有：1．關(guān)注數(shù)列的通項公式，構(gòu)造相應的函數(shù)，考查該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（單調(diào)性，值域，有界性）加以放縮；2．重視題目設問的層層遞進，最后一小問常常要用到之前的中間結(jié)論；3．數(shù)學歸納法．20、（1）最小值為f(1)＝1.（2）a<.（3）見解析【解題分析】試題分析：（1）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：有x＞0的解．通過對a分a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（3）可用數(shù)學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，即時命題成立；設當n=k時，命題成立，即成立，再去證明n=k+1時，成立即可（需用好歸納假