第二章要點(diǎn)提示

1.三個(gè)基本無窮小：(1)lim-=Oo

“TOO〃

(2)lim—=0

(3)lim(x-x0)=0

卬

2.無窮小比較定理：

若|/(x)|〈|g(刈，且g⑴是無窮小，則/(?也是無窮小。

3.極限的定義

如果lim[/(x)-A]=0,則稱當(dāng)xTT時(shí)/(%)的極限是A,也稱當(dāng)xfc時(shí)/(x)收

X—>r

斂于A,記為lim/(x)=A。

x->r

4.極限四則運(yùn)算法則設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=B,則有

XT*)XT*。

(1)lim[/(x)±g(x)]=A±8

⑵lim/(x>g(x)=4B

XT而

⑶變強(qiáng)H(崢

5.兩個(gè)重要極限

..sinx,

(1)lim----=1.

X

limf1+—

(2)

XT8X

6.利率、貼現(xiàn)

利息

利率藕義100%

貼現(xiàn)：指為了要在〃年后收取資金A,實(shí)際年利率為r,需要現(xiàn)在投資的數(shù)量為

A

(l+r)n

7.函數(shù)的連續(xù)性

如果lim/(x)=/(x0),則稱/Xx)在/點(diǎn)連續(xù)。

X?o

初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

如果/（X）在X。點(diǎn)不連續(xù)，則稱/（X）在X。點(diǎn)間斷，X。點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)。如果函數(shù)在間

斷點(diǎn)飛的左、右極限都存在但不相等，則X。為第一類間斷點(diǎn)，否則為第二類間斷點(diǎn)。

8.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

如果/（幻在5,加上連續(xù)，則/（x）在［。,切上有最大值最小值，而且/（幻可以取

到其最大值與最小值之間的一切值。

第二章習(xí)題

習(xí)題2.1

1.證明以下數(shù)列是無窮小

證明：因?yàn)?/p>

"n+1n

而上1是無窮小，由無窮小比較定理，得當(dāng)=一?是無窮小。

n?+1

證明：因?yàn)?/p>

同=|白＜5

而是無窮小，由無窮小比較定理，得居=-；」=是無窮小。

yjn〃+2

（3）xn=\+1—4n

證明：因?yàn)?/p>

㈤=g一4亦—在

而是無窮小，由無窮小比較定理，得x“=JQ—分是無窮小。

yjn

證明：因?yàn)?/p>

11△

而k是無窮小，由無窮小比較定理，得乙=k。4〃是無窮小。

\Jny/n

/、1.〃

(5)x=—sin—

nn3

證明：因?yàn)?/p>

氏|=-sing<1

n3n

而L是無窮小，由無窮小比較定理，得1.〃口丁士.

=—sin—是無窮小。

nn3

⑹上上出

"2〃+1

證明：因?yàn)?/p>

2幾十1n

而L是無窮小，由無窮小比較定理，得尤“=上上121是無窮小。

n2〃+1

2.證明以下數(shù)列極限

(1)lim=-

"f-2〃+32

證明：因?yàn)?/p>

n-\155

---------=---------<---

2〃+322(2〃+3)4〃

而,是無窮小，由無窮小比較定理，得士L—J■是無窮小,

nIn+32

所以

82〃+32

(2)lim——=1

“廿〃+1

證明：因?yàn)?/p>

n2+1n2+1n2

而《1是無窮小，由無窮小比較定理，得4rr—-1是無窮小，

n~n~+1

所以

“T8"2+|

/八2n+lc

(3)hm-----=2

"78n+2

證明：因?yàn)?/p>

2/7+1?3°1

2=<3--

〃+2------〃+2n

而L是無窮小,由無窮小比較定理’得意一2是無窮小,

n

所以

2n+l

lim=2

〃+2

證明：因?yàn)?/p>

3〃-231111

4G+144(4>/n+1)16品

13〃-23

而:是無窮小，由無窮小比較定理，得\；—小是無窮小,

“4?！?14

所以

lim乎&

習(xí)題2.2

1.證明以下函數(shù)是無窮小

x1-1

(1)/(JC)=-----------1-2,JC->-1

x+1

證明：因?yàn)?/p>

-1+2(x+1)

|/(刈=

x+1

x~+2x+1

=卜+1|

x+1

而Xf—1時(shí)X+1是無窮小，所以

x2-1

f(x)=+2,x—>—1是無窮小。

x+1

2

(2)f(x)=,-1,xfl+

Jx+3

證明：因?yàn)閤f1+,不妨設(shè)x>0,又

2―Jx+3

〃)|=

送J」J\+3

_______1_-_x_______W1

^/x+3(2+^/jc+3)|-6(2+百)

而X-「時(shí)，是無窮小，由無窮小比較定理，有

2

/（X）/_1,X->]+是無窮小。

Jx+3

(3)/(x)=cos2x-l,x—>0

證明：因?yàn)?/p>

|/(x)|=|cos2x-1|=|2sin2%|<2x2

而X70時(shí)X?是無窮小，由無窮小比較定理，有

/(x)=cos2x-l,xf0是無窮小。

2.證明以下函數(shù)是無窮小

2x—2

⑴/(%)—Xf8

X

證明：因?yàn)?/p>

2x-2<2

2

XX

L是無窮小，由無窮小比較定理，有

而X—00時(shí),

X

f(x)=2')2,x->oo是無窮小。

x

(2)/(x)=sin--sinx,xf8

x

證明：因?yàn)?/p>

1

|/(x)|=sin--sinx<—

xX

而x—>8時(shí)，!是無窮小，由無窮小比較定理，有

X

f(x)=sin--sinx,xfoo是無窮小。

x

f(x)=~^=cosx,x—>4-oo

(3)

y/X

證明:因?yàn)?/p>

1

|/(幻|COS%<-j=

y/x

1

而是無窮小,由無窮小比較定理，有

/(X)=-^COSX,

Xf+8是無窮小。

3.證明下列極限:

(1)lim(4x+l)=9

XT2

證明：因?yàn)?/p>

|(4x+l)-9|=|4(x-2)|

而X—>2時(shí)x-2是無窮小，由無窮小比較定理，有當(dāng)X—>2時(shí)，(4x+1)-9是無窮小,

所以

lim(4x+l)=9

XT2

-2

r14x

(2)hm-------2

2x+l

2

證明：因?yàn)?/p>

1-4X2-2(2X+1)4X2+4X+1

2x+12x+l

|2x+l|=2x—

是無窮小，由無窮小比較定理，有當(dāng)x->-工時(shí),l-4x2

而x->-—x-

222x+l

是無窮小，所以,

i-4x2

lim---------=2

XT__12A：+1

2

l+2x3

(3)lim------=1

mg2r

證明：因?yàn)?/p>

1+2*3—

號J2x3

而X—>8時(shí)4是無窮小，由無窮小比較定理,1+2/

有當(dāng)X—>8時(shí),1是無窮小,

X2x3

所以

1+2V

lim：-=l

2x

小..sinx八

(4)lim―=0

58yJX

證明：因?yàn)?/p>

Isvirnlxv..1：

而為—+R時(shí)」=是無窮小，由無窮小比較定理，有

yJX

當(dāng)Xf+8時(shí)，一sin是x無窮小，即

「sinx八

hm—7^=0

58y/x

3x,x>0

4.設(shè)/(x)=八，證明lim/(x)=0o

5sinx,x<03

證明：因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim3x=0

x->0+x-^0+

limf(x)=lim5sinx=0

x^O-x^O-

所以

limf(x)=lim/(x)

A->0-X%

即

limf(x)=0

x->0

2x-l,x>2__

5.設(shè)/⑴=《,證明lim/(x)不存在。

X+3,X<212

證明：因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim2x-1=3

x12+I2+

limf(x)=limx24-3=7

x->2"x->2~

所以lim/(x)wlim/(x)

XT2+A->2-

即

lim/(%)不存在

XT2

6.證明：

(1)lim(3x+1)=oo

X—>00

證明：只要證明lim—5—=0。

18(3x+1)

因?yàn)镮』一|<」-，而lim—=0,所以，lim---=0,

3x+l3x5°3xf°(3x+l)

即

lim(3x+1)=oo

Xf8

.x~+9

(2)rlim-.=oo

Tx2-9

/—9

證明：只要證明lim^—=0。

13+9

由x—3,無妨設(shè)|x—3Kl，于是

x2-9尤+3

Edi—國…

2-9

所以，X即

lim—2—=0,

T%+9

lim(巴

二00

xf3x"-9

習(xí)題2.3

1.指出下列運(yùn)算是否正確:

limx

(1)lim----=——-----=oo

xfl-xlim(l-x)

XT1

(2)limxsin—=limxlimsin—=0

x->0xx->0x->0%

(3)lim(—+—+???+—)=lim—H----1-lim—=0

?->0°nnnnn

答：(D—⑶都是錯(cuò)誤的。因?yàn)椋?/p>

(1)分式極限只有當(dāng)分母極限不為零時(shí)可以應(yīng)用極限運(yùn)算法則。而該分式分母極限為零。

⑵兩個(gè)函數(shù)乘積的極限當(dāng)兩個(gè)函數(shù)極限都存在時(shí)等于它們極限的乘積。而極限limsin_1?不

10X

存在。

(3)有限個(gè)函數(shù)和的極限等于它們各自極限的和。

2,求下列極限:

(1)

lim(x2-3)

lim=^n

解:X.T：小§=y==0

X+1lim(x2+1)4

A->5/3

(2)lim(2--+-4)

XT8XX"

解：lim(2--+1)=lim2-lim—+lim4=2-0+0=2

XT8XXXT8XT8尤XT8￡

.1

(3)limx2sin—

?i°x

解：因?yàn)閘imx2=Osin-<1,所以

x->0X

limx2sin—=0

X

⑷limj

12x-2

-—4（9型）

解:lim

x->2x—2o

=lim("—2)(x+2)

=4

*f2x-2

x2—3x+2

(5)lim

XT1x—1

[.x"—3x+2（°型）

解:lim--------------

I%-1o

lim(x-lXx-2)=_1

3X-\

（6）

13

解：lim(-----------------r)(8—8型)

E1-尤1-X3

1+尢+—3

lim

XfI1-x3

x2+x—2

=lim

1-x3

=limSTU,

(1-X)(1+X+X)

x-sinx

（7）lim------------

x—x+sinx

x-sinx

解：lim------------

xT81+sinx

sinx

1-0

=lim------lim

Kf00sinxXT8-

1+-------TTo

x

n

x'-1

(8)lim---------(m為正整數(shù))

Xf1X-\

xm-\片型）

解:lim

,r->lX-l

Hm(l)『+—+7+D

xfX-1

=1加(靖'—-...彳+1)

Xf1

=m

Hm…J

(9)

20h

3

..(x+h^-x/0開心

解:hm---------------(一型)

2。h0

3x2h+3xh2+h3

=lim--------------------

hfOh

=lim(3x2+3x/?+//2)

hi。

=3x2

(10)lim6(Jx+2—Jx+1)

X—>+00

解：lim?(Jx+2—Jx+1)(0?8型)

Xf+8

(II)

.yj2x+1-3(觸)

解:?Vx-2-V2

.(2元+1)—9Jx—2+

=lim------------------/-----

z4(%-2)-2V2x+1+3

vr^2+>/22V2

=o21rim—[-----------=------

?IV2x+l+33

1+2+…+

(12)lim—

〃一>8相V~--

n(n+l)

An1+2+???+力..21

解：lim-----1------------=lim——?dú)狻?一

“T8〃T8a22

3.根據(jù)所給x的各種變化情況，討論函數(shù)的極限：

(1)fix')=----j-,xfO,,xf(T,x-0

1+2；

11

解：xfO-,2*->+oo,f[x)-----p->0,

1+2;

-1

x-0一，2，-0,/(%)=——p-1,

1+2；

因?yàn)?/p>

limf(x)*lim/(x)

A->0Xf0

所以limf(x)不存在。

x->0

2

aex-l—1

(2)f(x)=-----,x-1

ex~'+1

解：x-「，e*Tf+8,

x->r,ex-'->0

/(x)=

ex-'+1

若a——\,有

lim/(n)=limf(x)

XT1-K—r

所以

lim/(x)=-l

Xflo

若1,有

lim/(x)工lim/(x)

x->r

所以

lim/(x)不存在

X->1

4.證明當(dāng)xf1時(shí)，函數(shù)

/(x)=10,00(x-l)2+sin—5—

2(x-l)

是無窮小.

證明：當(dāng)xfl時(shí)，5-1)2和瘍T都是無窮小，且sin―--<1,所以,

2(x-l)

次二Tsin―1—是無窮小，再由無窮小的運(yùn)算性質(zhì)，有當(dāng)xf1時(shí)，函數(shù)

2(%-1)

/(x)=101()<)(x-l)2+私一lsin-------

2(九一1)

也是無窮小。

5.確定q,6的值，使下列極限等式成立：

J+QX+2

(1)lim----------=b

XflX-l

JI2+1

(2)lim(-------奴+〃)=0

X+l

x~+/7Y+9,Y~-4-nx-I-9,

解：(1)由lim——-=h9(存在)，且分式土竺上的分母為無窮小,所以其分

x-lX-1

子必是無窮小，即

lim(x2+以+2)=1+。+2=0

所以a=—3o

.「X2—3x+2(x-l)(x—2)

b=lim----------=lim------------=-1

x-lr—1—r—1

,.x~+1+1—(x+l)(av—/?)

(2)由hm(-------ax+b)=hm[--------——-------]

X+IX+1

(1—Q)X~+(/?—Q)X+1+8

=hm[------------------------J=0

XT°°X+l

且分式“+(〃二”的分子分母都是多項(xiàng)式,分母是一次式，所以分子的

x+1

二次和一次項(xiàng)系數(shù)都為零，即有1-?=0,b-a=0,從而得

1

6.證明Hmcos不存在。

x->0+y[x

112

證明：取七=(?)","=('),則xn->0,一>0,〃f8,但

2n兀

1JI

limcos—=limcos2〃1=1,limcos—=limcos(2〃1H"一)二0

ooJX〃-J"'is2

習(xí)題2.4

1.求下列極限:

小sin5x

⑴lim-----

io3x

sin5x「sin5x55

解:lim=lim--------

x->03x5工33

(2)limxcotx

xf0

初..X

用半：hiTixcotx=limx-C-O-S-X=l..imcosx----

soiosinx―。sinx

x

=limcosA：lim——=1

io*f°sinx

c、sin(x2-l)

(3)lrim---------

7x-\

解sin(x2-l)sin(x2-l)

用牛：hm--------=hm---------(x+l)=2

Ix-1alx-1

④l-cos2x

(4)hm-------

ioxsinx

解..l-cos2x2sin2x

用牛：lim--------=hm-------=2

ioxsinxI。xsinx

3x-sinx

(5)lim-------

3x+sinx

3sinx

陋3x-sinx[.r1

解：vlim---------=lim-----d—=一

io3x+sinxi。3+sinx4

x

Y

(6)lim2nsin—,(x/O為常數(shù))

W->002〃

x

解:當(dāng)〃―8時(shí)，---->0,

T

.x

sin—

lim2Msin—=limx----=x

n-?oo2"〃―>coX

T

sin(sinx)

⑺Inn---------

x

八「sin(sinx)「sin(sinx)sinx...

解：hm---------=lim---------------=11=1

5xx->osinxx

(8)lim%sin—彳

is2x

isin—y[

&.2.1..12x1

解：limxsin——-=lim------=—

I002x212

2x2

2.求下列極限：

2

(1)lim(l-x),

XT()

2

解：lim(l-x);(f0型)

x->0

i(-2)

=lim<(1-x)~r>=I?

A->0

2

⑵lim(l+2x)x

XT()

2

解：lim(l+2x尸(產(chǎn)型)

XTO

=lim|(l+2x)2x>=/

x->0

⑶lim

XT8

解：limf—(「型)

XJ

(2Y+2

(4)lim1+-

X)

(n、*+2

解：lim1+-(1，型)

…Ix)

=limfl+-

x->00X)x)

\2-l

(5)lim

x-?oo

x2-l

解：lim

XT8x2

/

(6)lim1

Kf8

解：liml1—3r=e-9

A-400y/~x)

\—eIsin(x-l)

3.證明當(dāng)xfl時(shí)，函數(shù)——LHI是無窮小。

1+ex~'

1-L

解：當(dāng)x—>廣，----->+oo,ex~l-+oo,

x-1

?

1一ex~l+sin(x-l)

叫(―r)

XTI

1+e*Tk-il

..,et_1-1sin(九一1)、,,

=hm(—：----+-----)=-1+1=n0

"一,x-1

ex-'+1

1

當(dāng)x—>「，----->-oo,ex~'—>0,

x-1

1

..A-ex-'sin(x-l).

hm(----+----)

*川\二r\X~\\

1+ex-'

,1-ex-'sin(x-l)..,..

lim(----+-------)=1-1=0

e,A1-x

1+ex-'

所以

x

Asin(x-l)、z1-e~'sin(x-l)x

11171(---------)=hm(-----r+--------)

XT1+|x-l|j,CU-l|

11'1+ex-'

即

1

sin。-1)、

lim(+---9=0

11|X-1|

1+ex~x

\-ex~xsin(x-l)

即當(dāng)xf1時(shí)，函數(shù)1+消十次-”是無窮小。

4,根據(jù)所給［的各種變化情況，討論下列函數(shù)的極限:

人、11

(1)/(X)=-COS-,X—>00

XX

(2)/(x)=\x,xfO',x'(T,x-0

(l+x)xx>0

解：(1)當(dāng)x-8,Lf0,cos-<1,所以有

XX

lim/(x)=lim—cos—=0

X—>8X—>coXX

(2)當(dāng)x—>0'lim/(x)=lim(1+x)A=e

X->0+.￥->0+

w八一..//、vsinx,

當(dāng)xf0,limf(x)=lim----=1,

XT(rX->0-X

因?yàn)閘im/(x)wlimf(x)，所以lim/(x)不存在。

XTO+KT(Tx->0

(1+2,x>0

5.設(shè)/(x)=\.,當(dāng)?b滿足什么條件時(shí)lim/(x)=2。

sm&r_

-----+3,X<0CXTO

、x

解：當(dāng)x-0\lim/(X)=lim(l+ax)x=ea,

X—o+—o+

當(dāng)xf0，lim/(x)=lim(sin"'+3)=b+3

JV—>0~x->0x

limf(x)=2olimf(x)=lim/(x)=2

x->0+x->0-

所以，當(dāng)e“=〃+3=2,lim/(x)=2,即

.r^O

當(dāng)a=In2,〃=一1時(shí)，lim/(x)=2

x->0

6.用夾逼定理證明下列極限

(1)limn\——+---+???+丁~^---|=1

〃->8I〃+萬n+2乃n+n/rJ

3〃+5〃L

(2)lim(-~—)w=5

“Too2

證明：(1)因?yàn)?/p>

n(\11)n

n~----6九?-----+——+???+-......\<n----

n~+n7V\n+TV〃-+2)n+n7t)〃~十乃

「nn.

hmn------=lim???—----=1

n+njc"T0°n+TV

所以由夾逼定理有

limn-\----+—：----+???+-----=1

〃f301〃+4n+2TTYT+n7t)

⑵因?yàn)?/p>

5/5"J,/3"+5"、1,5"+5"J<

-；-=(—)?<(-----)"<(-------)"=5

「222

2"

5u

lim—j-=5

〃一>00_

2〃

所以由夾逼定理有

3"+5”?

lim(---------尸=5

“Too2

7.利用單調(diào)有界極限存在原理證明

(1)數(shù)列近，亞二區(qū)亞藤塞,……的極限存在,并求出極限值。

證明：因?yàn)閿?shù)列為標(biāo)方,出+而正,……單調(diào)上升，且有上界2。所以數(shù)列

72,4工瓦歷矯正,……的極限存在，設(shè)其極限值為A,因?yàn)?/p>

x“='2+x,i,所以有A=得A=2

習(xí)題2.5

1.討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出間斷點(diǎn)的類型:

(1)/(%)=/2-1

x2-3x+2

解：x=1,x=2是間斷點(diǎn)。

又因?yàn)?/p>

吧f(x)=崛黃?二咄探土一2

X2—1

lim/(x)=lim—----------

2

"X-3X+2

所以，x=l是第一類型間斷點(diǎn)(可去)，x=2是第二類型間斷點(diǎn)。

⑵/(幻=詠

X

7T

解：x=0,x=kn±—是間斷點(diǎn)。

2

又因?yàn)?/p>

limf(x)=limtan%=1

A->0A->0X

所以，x=0是第一類型間斷點(diǎn)(可去)。

lim/(x)=±oo,

小嗎

7T

所以，x=4兀土一是第二類型間斷點(diǎn)(無窮型)

2

(3)/")=匕竽

解：x=0是間斷點(diǎn)。因?yàn)?/p>

..々、r1-cosx￡

lim/(x)=lim---2-——

A->0JXf0X2

所以X=0是第一類型間斷點(diǎn)(可去)。

sinx

x<0

⑷fM=<X'

x2—1,x>0

解：因?yàn)?/p>

當(dāng)lim/(x)=lim(x2-1)=-1,

x->0+x->0+

當(dāng)x-0-，limf(x)-lims^nx=1

A->0-A->0-X

limf(x)wlim/(x)

*5x->0-

所以，x=0是第一類型間斷點(diǎn)(跳躍)。

2.確定常數(shù)〃，使下列函數(shù)為連續(xù)函數(shù)：

小〃fa+xx<2

⑴/(x)=/“

[(x-2)x>2

解：只需考慮函數(shù)在分段點(diǎn)x=2處的連續(xù)即可。

因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim(x-2)2=0

limJ\x)=lim(a+x)=a+2

x->2-XT2-

若函數(shù)在分段點(diǎn)X=2處的連續(xù)，則有

limf(x)=lim/(x)

x->2x->2~

從而有a+2=0,即。=-2

1

arctan---x<3

⑵fM=\x-3

a+\lx-3x>3

解：只需考慮函數(shù)在分段點(diǎn)x=3處的連續(xù)即可。

因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim(a+Jx-3)=a

xf3，A—>3+

171

limf(x)=limarctan----=---

Z3-XT3-X—32

若函數(shù)在分段點(diǎn)x=3處的連續(xù)，則有

limf\x)=lim/(%)

x-?3x->3

從而有a=——o

2

/八、1+7x4-2x>2

(3)/(x)={

or+2x<2

解：lim/(x)=lim(l+J%+2)=3

x->2+XT2+

limf(x)-lim(ax+2)=2Q+2

XT2-Xf2-

因?yàn)楹瘮?shù)在x=2處連續(xù)，所以

lim/(x)=lim/(x)=/(2)=3

XT2+A->2-

即

3=2n+2,a=—

2

3.求下列函數(shù)的極限

sinx

⑴lim

x->lx

「sinx.1

解:lim------=sinI

XT】x

「ln(l+cosx)

⑵lim----------------

3ex+1

ln(l+cosx)In2

解:lim

x->0ex+12

sinx

(3)limIn

x->0x

smx

解:limln------=Ini=0

iox

⑷lim(l+x2f

X->I

解:lim(l+x2)x=2'=2

XT1

2

x-l2.

(5)lim(———)'+

一8x-+1

』+|

1加(總產(chǎn)=iim[(l—32(f+2)

解:)F「』+i=Q

Xf00X+1X+1

(6)lim(cosx)x2

(COSA-1)—y

解：lim(cosx)'-=