2024屆山東省濟(jì)南市市中區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．命題p:?x∈Ν，x3<x2；命題q:?a∈0,1A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真3．三位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則女同學(xué)甲站在女同學(xué)乙的前面的概率是（）A． B． C． D．4．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-45．且，可進(jìn)行如下“分解”：若的“分解”中有一個(gè)數(shù)是2019，則（）A．44 B．45 C．46 D．476．某巨型摩天輪．其旋轉(zhuǎn)半徑50米，最高點(diǎn)距地面110米，運(yùn)行一周大約21分鐘．某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第35分鐘時(shí)他距地面大約為（）米．A．75 B．85 C．100 D．1107．若曲線y＝x3﹣2x2+2在點(diǎn)A處的切線方程為y＝4x﹣6，且點(diǎn)A在直線mx+ny﹣2＝0（其中m＞0，n＞0）上，則（）A．m+7n﹣1＝0 B．m+n﹣1＝0C．m+13n﹣3＝0 D．m+n﹣1＝0或m+13n﹣3＝08．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為()A． B． C． D．或9．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[，2) C．[1,2) D．[1，)10．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．11．已知，若，則的值為（）A． B． C． D．12．已知直線、經(jīng)過(guò)圓的圓心，則的最小值是A．9 B．8 C．4 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍．14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)______.15．從總體中抽取一個(gè)樣本是5，6，7，8，9，則總體方差的估計(jì)值是____________.16．用反證法證明“若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）與函數(shù)在處的切線互相平行．（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：函數(shù)的圖象總在函數(shù)圖象的上方．18．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．20．（12分）已知函數(shù)，.(1)解不等式；(2)若對(duì)任意，都有，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求的值．22．（10分）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，.（1）若，①求的值；②猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】由題意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）?（﹣i），∴z＝2﹣i．則在復(fù)平面內(nèi)，z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，﹣1）．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】試題分析：∵x3<x2，∴x2∵loga(2-1)=loga1=0考點(diǎn)：命題的真假．3、A【解題分析】

三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．【題目詳解】三男兩女的全排列中女同學(xué)甲要么站在女同學(xué)乙的前面要么站在女同學(xué)的后面．即概率都為【題目點(diǎn)撥】本題考查排位概率，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值?！绢}目詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時(shí)，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時(shí)，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。5、B【解題分析】

探尋規(guī)律，利用等差數(shù)列求和進(jìn)行判斷【題目詳解】由題意得底數(shù)是的數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，則底數(shù)是數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，則共有個(gè)奇數(shù)，是從開(kāi)始的第個(gè)奇數(shù)，，第個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè)，即，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字的變化，找出其中的規(guī)律，運(yùn)用等差數(shù)列求出奇數(shù)的個(gè)數(shù)，然后進(jìn)行匹配，最終還是考查了數(shù)列的相關(guān)知識(shí)。6、B【解題分析】分析：設(shè)出P與地面高度與時(shí)間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由題意求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，B，及周期T，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，通過(guò)初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．詳解：設(shè)P與地面高度與時(shí)間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因?yàn)閒（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故選B．點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．7、B【解題分析】

設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，然后根據(jù)切線方程盡量關(guān)于的方程組，再結(jié)合條件，即可求得的關(guān)系，得到答案．【題目詳解】設(shè)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，又由切線方程為，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用切線方程列出相應(yīng)的方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】分析：先利用雙曲線的漸近線相互垂直得出該雙曲線為等軸雙曲線，再利用焦點(diǎn)位置確定雙曲線的類型，最后利用幾何元素間的等量關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：因?yàn)樵撾p曲線的兩條漸近線互相垂直，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即，又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，即該雙曲線的方程為.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，要注意以下等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用：等軸雙曲線的離心率為，其兩條漸近線相互垂直.9、D【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值性，令極值點(diǎn)屬于已知區(qū)間即可.【題目詳解】所以時(shí)遞減，時(shí)，遞增，是極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，其中考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.11、B【解題分析】

分析：由定積分的幾何意義求得定積分，在二項(xiàng)展開(kāi)式中令可求解．詳解：由積分的幾何意義知，在中，，令，則，∴．故選B．點(diǎn)睛：本題考查定積分的幾何意義，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．在二項(xiàng)展開(kāi)式中求與系數(shù)和有關(guān)的問(wèn)題通常用賦值法．根據(jù)所求和式的結(jié)構(gòu)對(duì)變量賦予不同的值可得對(duì)應(yīng)的恒等式．如本題賦值，如果只求系數(shù)和，則賦值等等．12、A【解題分析】

由圓的一般方程得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，由直線過(guò)圓心，將圓心坐標(biāo)代入得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為1【題目詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心為，半徑．直線經(jīng)過(guò)圓心C，，即，因此，，、，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由此可得當(dāng)，即且時(shí)，的最小值為1．故選A．【題目點(diǎn)撥】若圓的一般方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：時(shí)，不等式為，恒成立，當(dāng)時(shí)，有解得，綜上有．考點(diǎn)：不等式恒成立問(wèn)題，二次不等式的解集．14、【解題分析】

若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，令，即，討論或，由求得，結(jié)合圖象進(jìn)而得到答案.【題目詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，所以在時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，可令，再令，即有，當(dāng)時(shí)，，只有，只有兩解；當(dāng)時(shí)，有兩解，可得或，由和各有兩解，共4解，有，解得，可得的范圍是：，故答案是：.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有畫(huà)函數(shù)的圖象，研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，屬于較難題目.15、【解題分析】

先求出樣本平均數(shù)，由此能求出樣本方差，由此能求出總體方差的估計(jì)值．【題目詳解】解：從總體中抽取一個(gè)樣本是5，6，7，8，9，樣本平均數(shù)為，樣本方差為，總體方差的估計(jì)值是1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查總體方差的估計(jì)值的求法，考查平均數(shù)、總體方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立。【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，所以應(yīng)假設(shè)，填?！绢}目點(diǎn)撥】反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）最小值為，最大值為；（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）求得，，由已知有，解得，代入得到函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最大值與最小值；（2）令，則只須證恒成立即可，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出證明．詳解：（1），，由已知有，解得．當(dāng)時(shí)，．令，解得．∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，，．∴最小值為，最大值為．（2）令，則只須證恒成立即可．∵．顯然，單調(diào)遞增（也可再次求導(dǎo)證明之），且．∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴恒成立，所以得證．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問(wèn)題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．18、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個(gè)平面所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與直線垂直的證明，考查利用空間向量法計(jì)算二面角，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中等題．19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解題分析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結(jié)PE，因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面（II）因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.20、（1）；（2）[-3,1].【解題分析】試題分析:（1）由，得，去掉絕對(duì)值寫(xiě)出不等式的解集;(2)對(duì)任意，都有，使得成立,則的值域?yàn)橹涤虻淖蛹?分別求出函數(shù)值域,建立不等式解出a的范圍即可.試題解析:（1）由，得，解得或.故不等式的解集為.（2）因?yàn)閷?duì)任意，都有，使得成立，所以.又因?yàn)椋?所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）可通過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算出的值，然后解出的值。（2）可通過(guò)計(jì)算和的值來(lái)計(jì)算的值?！绢}目詳解】（1）由得，又，所以，得，所以。（2）由的面積為及得，即，又，從而由余弦定理得，所以，所以。【題目點(diǎn)撥】本題考察的是對(duì)解三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，需要對(duì)相關(guān)的公式有著足夠的了解。22、(1)①；；②(2)見(jiàn)證明【解題分析】

（1）①根據(jù)遞推公式，代入求值即