全國(guó)各地100份中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編

第42章學(xué)科結(jié)合與高中銜接問題

一、選擇題

1.（臺(tái)灣全區(qū)，30）如圖（一十三），AABC中，以8為圓心，而長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交衣、

于E兩點(diǎn)，并連接而、DE.若NA=30。，'AB=AC,則NBOE的度數(shù)為何？

A.45B.52.5C.67.5D.75

【答案】C

2.（貴州安順，9,3分）正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,E、F、G、，分別為邊AB、BC、CD、DA

上的點(diǎn)，且AE=5F=CG=QH.設(shè)小正方形EFGH的面積為y,AE=x.則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致

是（）

【答案】C

3.（河北，II,3分）如圖4,在矩形中截取兩個(gè)相同的圓作為圓柱的上、下底面，剩余的

矩形作為圓柱的側(cè)面，剛好能組合成圓柱.設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為y和x,則y與x的函數(shù)

圖象大致是（）

圖4

【答案】A

3.（重慶市潼南，10,4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是菱形,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）.NAOC=60°,垂直于x軸的

直線/從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度向右平移，設(shè)直線/與菱形OABC的兩邊分

別交于點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），若AOMN

的面積為S,直線/的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0WfW4），則

能大致反映S與/的函數(shù)關(guān)系的圖象是

【答案】C

A.作中線AO,再取AO的中點(diǎn)O

B.分別作中線南、~BE,再取此兩中線的交點(diǎn)。

C.分別作人萬、死的中垂線，再取此兩中垂線的交點(diǎn)。

D.分別作NA、N8的角平分線，再取此兩角平分線的交點(diǎn)。

【答案】B

二、填空題

3.

三、解答題

1.（重慶黎江，26,12分）在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（L0）；B（0,-2）,將線段

AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至AC.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵若拋物線＞=一;爐+依+2經(jīng)過點(diǎn)C.

①求拋物線的解析式；

②在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外）使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角

形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】：解：（1）過點(diǎn)C作CQ工x軸，垂足為。，

在4ACD和4BAO中，由已知有ZCAD+ZBAO=90°,而ZABO+ZBAO=

90°ZCAD=/ABO,又ZCAD=N%OB=90。,且由己知有CA=AB,：.△ACD^ABAO,

（2）①拋物線y=—x~+cix+2經(jīng)過點(diǎn)C（3,-1）,—1=—x3~+3a+2，解得a=—

222

二拋物線的解析式為+1%+2

解法一：②i）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)片，使4耳=AC=A6,則4ABR是以

AB為直角邊的等腰直角三角形，

如果點(diǎn)P]在拋物線上，則4滿足條件，過點(diǎn)4作P1E上X軸，；AP|=AC,ZEAP}

—Z'DAC,Z.P}EA—Z.CDA=90°,△EP,A△￡）C4..\AE—AD=2,EP]—CD

=1,

二可求得打的坐標(biāo)為（-1,1）,經(jīng)檢驗(yàn)片點(diǎn)在拋物線上，因此存在點(diǎn)片滿足條件；

ii）當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，

過點(diǎn)8作直線在直線L上分別取=8鳥=A6,得到以AB為直角邊的

ABP

等腰直角4和等腰直角△3'作8FLy軸，同理可證4BP2F^/\ABO

.?.鳥尸=80=2,BF=OA=1,可得點(diǎn)八的坐標(biāo)為（-2,-1）,經(jīng)檢驗(yàn)八點(diǎn)在拋物

線上，因此存在點(diǎn)鳥滿足條件.同理可得點(diǎn)△的坐標(biāo)為（2,—3）,經(jīng)檢驗(yàn)八點(diǎn)不在拋物線

上.

綜上：拋物線上存在點(diǎn)片（一1,1）,P2（-2,-1）兩點(diǎn)，使得△ABP/必ABP2

是以AB為直角邊的等腰直角三角形.

解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以給滿分）

i）當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，易求出直線AC的解析式為j=+1

f11

y=——x+—

22

由《解之可得耳（一1,1）（己知點(diǎn)C除外）作耳E，》軸于瓦則

110

V二—X2H—尤+2

122

AE=2,RE=1,由勾股定理有又?.?48=右,；.=A8,是以AB為直角邊

的等腰三角形；

i.i）當(dāng)8點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作直線LM4c交拋物線于點(diǎn)舄和點(diǎn)舄，易求出直線L的解

析式為y=——x—2,解得％=-2或々=4

y=—XH—x+2

22

：.P2（-2,-1）,尸3（%—4）作鳥F_Ly軸于凡同.理可求得=逐=A8

，△P2AB是以AB為直角邊的等腰三角形作6H±y軸于H,可求得

BR=逐—=2后于AB,.???△ABF?不是等腰直角三角形，二點(diǎn)P3不滿足條件?

綜上：拋物線上存在點(diǎn)4（-1,1）,P2（-2,-1）兩點(diǎn)，使得△ABP2是以角

A8為直邊的等腰直角三角形.

517

2.（廣東省，22,9分）如圖，拋物線y=——/+—彳+1與丫軸交于點(diǎn)4,過點(diǎn)A的直線

與拋物線交于另一點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BC，x軸，垂足為點(diǎn)C（3,0）.

（1）求直線4B的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)尸在線段OC上，從原點(diǎn)。出發(fā)以每鈔一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)尸作，，

拋物線于點(diǎn)M設(shè)點(diǎn)尸移動(dòng)的時(shí)間為f秒，的長(zhǎng)為s個(gè)單位，求s與f的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出，的取值范圍；

（3）設(shè)（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O,點(diǎn)G重合的情況），連接CM,BN,當(dāng)，為何

值時(shí)，四邊形BCMN為平等四邊形？問對(duì)于所求的/的值，平行四邊形BCMN是否為菱形?

說明理由.

517

【解】（1）把x=0代入y=——X2+一x+l,得y=l

5175

把X=3代入y=-4%2+11+1,得y=/,

:.A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別(0,1)、(3,-)

2

設(shè)直線AB的解析式為y=Ax+b,代入A、B的坐標(biāo)，得

b=lb=l

解得|1

3k+b^-k=—

2I2

所以，y=-x-^l

2

I517

(2)把x=t分別代入到y(tǒng)=/尤+1和丁=一^12+1元+1

I517

分別得到點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為-1+1和1~---f+1

244

MN=——Z2+--f+1-(-f+1)~——t2H—■/

44244

?.?點(diǎn)P在線段OC上移動(dòng),

；.0WtW3.

(3)在四邊形BCMN中，VBC/7MN

當(dāng)BC=MN時(shí)，四邊形BCMN即為平行四邊形

由一工/+竺.=得f=lj,=2

44212

即當(dāng)f=l或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形

35

當(dāng)￡=1時(shí)，PC=2,PM=-,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=—,

22

此時(shí)BC=CM=MN=BN,平行四邊形BC.MN為菱形；

當(dāng)，=2時(shí)，PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=J^,

此時(shí)BCWCM,平行四邊形BCMN不是菱形；

所以，當(dāng)，=1時(shí)，平行四邊形BCMN為菱形.

3.(湖南懷化，24,10分)在矩形AOBC中，OB=6,OA=4,分別以O(shè)B,OA所在直線

為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)，

k

過F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=-(k>0)的圖像與AC邊交于點(diǎn)E.

x

(1)求證：AExAO=BFxBO；

(2)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4),求經(jīng)過0、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(3)是否存在這樣的點(diǎn)F,使得將4CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在,

求出此時(shí)的OF長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖10

【答案】

k

(1)證明：由題意知，點(diǎn)E、F均在反比例函數(shù)y=—(左＞0)圖像上，且在第一象限，所以

x

AExAO=k,BFxBO=k,從而AExAO=BFxBO.

(2)將點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4)代入反比例函數(shù)丁=々女＞0)得k=8,

X

Q

所以反比例函數(shù)的解析式為y=?.

x

44

*/OB=6,?,?當(dāng)x=6時(shí)，y=—,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,—).

33

設(shè)過點(diǎn)0、E、F三點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+/；x+c(aH0),將點(diǎn)O(0,0),E(2、

4

4),F(6,-)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式得:

3

4

a=——

c=09

,26

<4。+28+c=4解得＜

9

4

36。+6b+c=一c=0

3

經(jīng)過O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=--x2+—x.

99

(1)如圖11,將4CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊于點(diǎn)C，.過點(diǎn)E作EHLOB于

點(diǎn)H.

圖11

設(shè)CE=n,CF=m,則AE=6-n,BF=4-m

由(1)得AExAOBFxBO.*.(6-n)x4=(4-m)x6，解得n=1.5m.

由折疊可知，CF=CT=m,CE=CE=1.5m,ZECT=ZC=90°

在RtaEHC中，ZEC,H+ZC,EH=90°,

又：/EC'H+/EC'F+FC'B=180°,ZECT=90°

NC'EH=FC'B

,/ZEHC,=C,BF=90°

.EHEC

.?.△EC'HsaC'FB,

"'~CB~~CF

.EHEC1.5/77

=1.5,

'~CB~~CFm

Q

;由四邊形AEHO為矩形可得EH=AO=4；.CB=—.

3

22222

在Rt^BCF中，由勾股定理得，CT=BF+C'B,即m=（4-m）+

解得：m=—

9

5.2610

BF=4---=—

99

3016

在RtZ^BOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2,BPOF2=62+

81

9

,存在這樣的點(diǎn)F,OF=——，，使得將4CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上.

9

4.(江蘇淮安，28,12分)如圖，在RAABC中，NC=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)P在AB

上，AP=2.點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿公、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B

勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)4后立即以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)停止，點(diǎn)E

也隨之停止.在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，以為邊作.正方形EFG”，使它與△ABC在線段A8

的同側(cè)，設(shè)E、尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1秒(r>0),正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S

(1)當(dāng)t=\時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是；當(dāng)f=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)

是;

(2)當(dāng)0<fW2時(shí)，求S與，的函數(shù)關(guān)系式；

(3)直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

c

【答案】⑴2；6；

（2）當(dāng)0〈忘評(píng)時(shí)（如圖），求S與f的函數(shù)關(guān)系式是：S=S矩形EFG"=（2）=4產(chǎn)；

當(dāng)9＜區(qū)9時(shí)（如圖），求S與/的函數(shù)關(guān)系式是：S=S地形EFG"-S“HMN=4產(chǎn)-不X}X

1152J

3

⑵,（2"）產(chǎn)

4

6i3!

當(dāng)gVfW2時(shí)（如圖），求S與/的函數(shù)關(guān)系式是：S=SAARF-SAAQE=5X—（2+。？-5X

3

-（2“）2=3人

4

H

66144

⑶由(2)知：若OVW?,則當(dāng)仁二時(shí)S最大，其最大值5二」；

1111121

若則當(dāng)r=g時(shí)S最大，其最大值$=史；

11555

若一＜fW2,則當(dāng)7=2時(shí)S最大，其最大值S=6.

5

綜上所述，當(dāng)f=2時(shí)S最大，最大面積是6.

5.(山東臨沂，26,13分)如圖，已知拋物線經(jīng)過A(-2,0),B(一3,3)及原點(diǎn)0,頂

點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以A、0、D、E為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMd.、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相

似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(1)..?拋物線過原點(diǎn)0,

.?.可設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+bx,

將A(-2,0),B(-3,3)代入，得

4a—2b=0,

’9a—3b=3.

a=L

解得4

b=2.

...此拋物線的解析式為y=x?+2x...............（3分）

（2）如圖，①當(dāng)A0為邊時(shí)，

：以A、0、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

...DE〃A0,且DE=A0=2,..............................（4分）

點(diǎn)E在對(duì)稱軸x=-l上，

二點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1或-3,..............................（5分）

即符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)，分別記為：D,,D2,

而當(dāng)x=l時(shí)，y=3；當(dāng)x=-3時(shí)，y=3,

ADi（1,3）,D2（-3,3）..............................（7分）

②當(dāng)A0為對(duì)角線時(shí)，則DE與A0互相平分，

又點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，

且線段A0的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1,

由對(duì)稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，即頂點(diǎn)C（一1,,1）,

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D共有三個(gè)，分別為Di（1,3）,灰（-3,3）,

（8分.）

③存在.............................（.9..分..）...................

3

6.（上海，24,12分）已知平面直角坐標(biāo)系，（如圖），一次函數(shù)y="x+3的圖像

3

與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)y=的圖像上，且二次函數(shù)尸的長(zhǎng)；

（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在

一次函數(shù)y=巳尤+3的圖像上，且四邊形A8C。是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】(1)一次函數(shù)y=：x+3,當(dāng)戶OH寸，產(chǎn)3.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3).

333

正比例函數(shù)y=當(dāng)y時(shí)，的坐標(biāo)為(1,-)

如下圖，AM=J&+I;誓.

3

(2)將點(diǎn)A(0,3)、M(1,])代入yuf+fer+c中，得

。=3,

<3

1+Z?+c=—.

12

；5

b——,

解得2

c=3.

即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x?-gx+3.

(3)

53

設(shè)B(0,in)(機(jī)＜3),C(〃，n2——〃+3),D(〃，一〃+3).則

24

J35

\AB\=3—m,\DC\=yD-yc--n-rT,\AD\=—n.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，所以|AM=|OC|=|AO|.

2132

3—〃1=—n-n,

所以4

5

3-m=-n.

4

_1

m=3,——,

解得t(舍去)2

=0；

=2.

7.(四川樂山26,13分)已知頂點(diǎn)為A(l,5)的拋物線y=o?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(5,l).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(15.1),設(shè)C,D分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值

(3)在(2)中，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，作直線CD.設(shè)點(diǎn)P(x,y)(x>0)是直線y=x

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖(15.2)所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.

①當(dāng)△PBR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；

②在①的條件下，記APBR與△COD的公共部分的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并

求S的最大值。

【答案】

解：⑴.設(shè)以A(l,5)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為y=a(x—iy+5

???y=a(x—1丫+5的圖像經(jīng)過了點(diǎn)8(5,5)

Al=a-(5-l)2+5解得q=—'

4

，y=ip+5

Hn12119

即：y=----XH—XH------

424

如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)A',與y軸交與點(diǎn)D,作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)B；與x軸交與點(diǎn).

C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小。

VA(1,5),B(5,1)

A(-l,5)B(5,-l)

C四邊形ABCW=AB+BC+CD+DA

AB+AB

2222

=7(1-5)+(5-1)+A/(-1-5)+(5+1)

=4V2+6V2

=1072

⑶.①如圖

/.直線AB的解析式為y=-x+4

直線y=—x+4與直線y=x的交點(diǎn)M（2,2）

：P（x,y）,點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)

PBR與直線CD有公共點(diǎn)，M（2,2）

x>2

,即2WxW4

-x<2

,2

8.（湖北黃岡，24,14分）如圖所示，過點(diǎn)F（0,1）的直線y=kx+b與拋物線丁=!/

4

交于M（與以MN為直徑的圓相切.如果有，請(qǐng)法度出這條直線m的解析式；如果

沒有，請(qǐng)說明理由.

【答案】解：⑴b=l

(y-kx+l

x=x.x=x,

⑵顯然《1和〈2是方程組！1的兩組解，解方程組消元得

卜=7

得和32=一4

⑶△MFN是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由題知Mi的橫坐標(biāo)為N交y軸于Fi,則F|MrFN=-EF=/FFN=90°,易證Rt

△MlFF|<^RtAN|FF|,得/M|FFi=/FNFi，故/M|FNi=NMFF|+/F|FNi=/FNFi+N

BFNi=90°,所以是直角三角形.

⑷存在，該直線為y=-1.理由如下：

如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為篦2,計(jì)算知NN尸一加2+i,NF=

44

j機(jī)2+(；加2-I)?=；加2+1,得NN]=NF

同理MM|=MF.

那么MN=MM|+NN|,作梯形MM1N1N的中位線PQ,由中位線性質(zhì)知PQ=1(MM|

2

+NNI)=；MN,即圓心到直線y=-l的距離等于圓的半徑，所以y=-l總與該圓相切.

1,7

9.（湖南衡陽，27,10分）已知拋物線y=耳/-ax+.

（1）試說明：無論俄為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）如圖，當(dāng)該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C,直線y.=x—1與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，

并與它的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D.

①拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

②平移直線C。，交直線A8于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)N,通過怎樣的平移能使得C、D、M、N為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形.

【解】（】）△=（一加『-4x；x12加一（

=nr—4/??+7=〃/—4m+4+3=(/〃—2)~+3,；不管m為何實(shí)

2

數(shù)，總有（m―2）220,—2）2+3>0,.?.無論修為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

（2）7拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3,.?.加=3,

I51,

拋物線的解析式為y=]x2—3x+：=；（x—3）一—2,頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（3,—2）,

y=x-l,

x]=\x2=7

解方程組<12c5＞解得，或<所以A的坐標(biāo)為（1,0）、B的坐標(biāo)為（7,6）,

y=—x-3x+—J=0%=6

22

：X=3時(shí)產(chǎn)彳-1=3—1=2,，D的坐標(biāo)為（3,2）,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與X軸的交點(diǎn)為E,則E的坐標(biāo)為

（3,0）,所以AE=8E=3,DE=CE=2,

①假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P使得四邊形ACP力是正方形，則AP、CD互相垂直平分且相等，于是尸與點(diǎn)

8重合，但AP=6,CD=4,AP^CD,故拋物線上不存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPO是正方形.

②（I）設(shè)直線CO向右平移〃個(gè)單位（〃>0）可使得C、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則直

線CQ的解析式為x=3+〃，直線CO與直線尸L1交于點(diǎn)M（3+〃，2+幾），又：D的坐標(biāo)為（3,2）,

C坐標(biāo)為（3,—2）,二。通過向下平移4個(gè)單位得到C.

???C、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，.?.四邊形CQMN是平行四邊形或四邊形CQNM是平行四

邊形.

（i）當(dāng)四邊形CCMN是平行四邊形，向下平移4個(gè)單位得M

，N坐標(biāo)為（3+“，n-2）,

又N在拋物線y=-3x+-1±,n-2=^（3+n）2-3（3+H）+—,

解得〃?=0（不合題意，舍去），n2=2,

（ii）當(dāng)四邊形CQNM是平行四邊形，向上平移4個(gè)單位得N,

坐標(biāo)為（3+n,n+6）,

又N在拋物線y=3%2-3x+g上，〃+6=g（3+〃1-3（3+〃）+萬，

解得4=1一，萬（不合題意，舍去），々=1+JI7,

（II）設(shè)直線CD向左平移〃個(gè)單位（〃>0）可使得C、。、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則直線

C。的解析式為x=3—〃，直線CC與直線y=x-l交于點(diǎn)M（3-"，2-〃），又：D的坐標(biāo)為（3,2）,C坐

標(biāo)為（3,—2）,通過向下平移4個(gè)單位得到C.

???C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，...四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CONM是平行四

邊形.

（i）當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，向下平移4個(gè)單位得M

...N坐標(biāo)為（3-〃,-2-n）,

又N在拋物線y=3x+|上，—n=；（3—〃）2-3（3—n）+g,

解得々=0（不合題意，舍去），4=-2（不合題意，舍去），

（ii）當(dāng)四邊形CEWM是平行四邊形，.?.〃向上平移4個(gè)單位得N,

坐標(biāo)為（3-〃，6-n）,

又N在拋物線y=；/—3x+|上，,\6-n=l（3-n）2-3（3-n）+1,

解得“=T+J萬，^=-1-717（不合題意，舍去），

綜上所述，直線CD向右平移2或（1+V17）個(gè)單位或向左平移（-1+J萬）個(gè)單位，可使得C、。、M、N

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

10.（湖北襄陽，26,13分）

如圖10,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB在x軸上，AB=10,以AB為直徑的。OJ與y軸正半軸交于點(diǎn)C,

連接BC,AC.CD是。。，的切線，AO_LC￡>于點(diǎn)￡>,,拋物線丫=以?+法+c過A,B,C三

2

點(diǎn).

（1）求證：NC4O=/C4&

（2）①求拋物線的解析式；

②判定拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線C。上，并說明理由；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫求解過

程）；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖10

【答案】

(1)證明：連接。匕

?.?C。是。的切線，：.O'CLCD...............................................................1分

'：AD±CD,：.O'C//AD,：.ZO'CA=ZCAD...........................................2分

'：O'C=O'A,：.ZO'CA^ZCAB

：.ZCAD=ZCAB..............................................................................................3分

(2)是。。，的直徑，.?./ACB=90°

VOC1AB,：.ZCAB^ZOCB,/.ACAO^ABCO,二型="

OAOC

即Or。=OA-OB..............................................................................................4分

,：tanZCAO=tanZCAD=-,：.OA=2OC

2

又,.?A8=10,AOC2=2(?Cx(10-2OC)VOCX)

；.OC=4,OA=8,OB=2.

.?.A(-8,0),B(2,0),C(0,4)......................................................5分

,拋物線y="￡+fcv+c過A,B,C三點(diǎn).，c=4

a」

4。+2。+4=04

由題意得,解之得

646f—8b+4=0,3

b=-----

2

13

y=——x2——x+4.......................................................................................7分

42

(3)設(shè)直線OC交x軸于點(diǎn)尸，易證△AOCg/^AOC,???AO=AO=8.

O'c

'：O'C//AD,:./XFO'Cs叢FAD,：.-=—

AFAD

/.8(BF+5)=5(BF+10),ABF=—,：.F(—,0)..............................8分

33,

pw=43

設(shè)直線OC的解析式為》=履+加，則，16，即＜4

—k+m=O.

I3［機(jī)=4

:.y=--x+4.............................................................................................9分

4

1Q1OS

由y=——%2——x+4=——0+3)2+一得

4244

頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為￡(-3,—).......................................................................10分

4

將4-3,空)代入直線DC的解析式y(tǒng)=_3x+4中，

44

右邊=——x(—3)+4=—=左邊.

44

二拋物線的頂點(diǎn)E在直線CC上..............................11分

(3)存在.<(-10,-6),優(yōu)(10,-36).................................................................13分

如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-3,0),(0,1),點(diǎn)

1,

y=-/?

D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重合)，過點(diǎn)D做直線2交折現(xiàn)OAB與點(diǎn)E。

(1)記AODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，且tanNDEO=5。若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形Q4與G,

試探究四邊形044G與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，如不變，求出該重疊部分的面積；若改

變，請(qǐng)說明理由。

3

解(1)由題意得B(-3,1).若直線經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)時(shí)，則b=彳；

2

若直線經(jīng)過點(diǎn)B(-3,l)時(shí)，則b=2；

若直線經(jīng)過點(diǎn)C(O,1)時(shí)，則b=l；

三

①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在0A上時(shí)，即l<bW2,如圖(1),此時(shí)E(-2b,0),S=

-OE-CO^-x2hx1^b

22

.S=S矩一(S0cD+SDBE+S3電(2b一2)xl+9(5一2b)(|T+；x3-外2?

3

b(l<b<-)

s=]2

5,,.3,5、

—b—b2(--b--)

(2)如圖3,設(shè)OIAI與CB相交與點(diǎn)M,OA與CIBI相交與點(diǎn)N,則矩形OIAIBiCi與矩形OABC的重

疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。由題意知，DM〃NE,DN〃ME,四邊形DNEM為平行四邊形,

根據(jù)軸對(duì)稱知，ZMED=ZNED,又/MDE=NNED,；.MD=ME,二四邊形DNEM為菱形。

過點(diǎn)D作DH_LOA,垂足為H,依題意知，tan/DEH=2,DH=1,

,，

HE=2,設(shè)菱形DNEM的邊長(zhǎng)為a,則在RtZXDHN中，由勾股定理知："=(2—")+1?4

S矩(WEM=NE.DH=：

2

矩形OiA,BiG與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為W

13.（湖北鄂州，24,14分）如圖所示，過點(diǎn)F（0,1）的直線y=kx+b與拋物線y=交于M（與以

m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說明理由.

【答案】解：（Db=l

y=kx+1

x=x.x=x,12的兩組解，解方程組消元得If—丘—1=0,依據(jù)“根與系

⑵顯然《和＜-是方程組

y=_尤24

-4

第24題解答用圖

⑶△MFNi是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由題知M,的橫坐標(biāo)為iN,交y軸于Fi，則F|M,?FINI=-|FIF=ZFFINI=90°,易證RtAM,FFi^RtAN,FFi,

得NMFF尸NFNF”故/M|FN產(chǎn)/MFFi+NFtFN尸/FNFi+NF|FNi=90°,所以△M1FN1是直角三角形.

⑷存在，該直線為y=-l.理由如下：

直線y=-1即為直線MINL

同理MM|=MF.

那么MN=MMI+NNI，作梯形MM1N1N的中位線PQ,由中位線性質(zhì)知PQ=，(MM,+NN,)=-MN,即圓心

22

到直線y=-l的距離等于圓的半徑，所以y=-l總與該圓相切.

14.(廣東湛江28,14分)如圖，拋物線yuf+Ax+c的頂點(diǎn)為。(一1,T),與y軸相交點(diǎn)C(0,-3),與x軸交

于兩點(diǎn)(.點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊).

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接AC,CD,AD,試證明AACZ5為直角三角形；

(3)若點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)F,使以A,B,E,F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?

若存在，求出滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

—4=(—l)2—J+c\b=2

【答案】(1)<=<所以拋物線的解析式為y=f+2x—3；

c=-3

Ic1=-3

(2)因?yàn)閥=f+2x-3,可得A(3,0),

所以有

AC2=(0-3)2+(-3)2=18,

3=(-1+3)2+(-4)2=20,

￡>C2=(0+l)2+(-3+4)2=2.

所以AZ)2=OC2+AC2,所以AACD為直角三角形;

(3)可知4?=4,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F,設(shè)廠(%,為2+2/-3),所以