微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1微分中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3-函數(shù)的單調(diào)性與極值3.4最大值和最小值問(wèn)題3.5曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn)及函數(shù)圖像的描繪3.6*曲線(xiàn)的曲率本章小結(jié)

3.1微分中值定理

一、羅爾(Rolle)中值定理定理3-1(羅爾中值定理)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b),則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0

羅爾中值定理的幾何意義:在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x),除端點(diǎn)外,若曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)都存在不垂直于x軸的切線(xiàn),且曲線(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,即f(a)=f(b),則在該條件下,開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得曲線(xiàn)在點(diǎn)(ξ,f(ξ))的切線(xiàn)平行于x軸,如圖3-1所示.

導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)(穩(wěn)定點(diǎn)).

注:羅爾中值定理的三個(gè)條件缺一不可,若有一個(gè)不成立,定理的結(jié)論就有可能不成立,且這些條件是充分非必要的.也就是說(shuō),即使三個(gè)條件不能同時(shí)滿(mǎn)足,結(jié)論也可能成立.

圖3-1

例3-1驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)f(x)=x3+4x2-7x-10在區(qū)間[-1,2]上的正確性,并求結(jié)論中的ξ.

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

在羅爾中值定理中,條件f(a)=f(b)相當(dāng)特殊,這使它的應(yīng)用受到限制.若把這個(gè)條件去掉,就得到微分學(xué)中一個(gè)十分重要的定理——拉格朗日中值定理.

定理3-2(拉格朗日中值定理)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得

式(3-1)稱(chēng)為拉格朗日中值公式.

由圖3-2可看出,是割線(xiàn)AB的斜率,f'(ξ)是曲線(xiàn)在C點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率.因此,拉格朗日中值定理的幾何意義是:如果連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上,除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線(xiàn),那么在這條曲線(xiàn)上至少有一點(diǎn)C,使曲線(xiàn)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)平行于連接曲線(xiàn)兩端點(diǎn)的割線(xiàn)AB。

不難看出羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形,而拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣.圖3-2

設(shè)x,x+Δx∈(a,b),則Δy=f(x+Δx)-f(x).取x、x+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間,公式(3-1)在該區(qū)間上就變?yōu)?/p>

或

即

式(3-2)給出了自變量取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)時(shí),函數(shù)增量Δy的精確表達(dá)式,這個(gè)公式又稱(chēng)為有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要的地位,有時(shí)也稱(chēng)這個(gè)定理為微分中值定理.

推論3-1設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),在I內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)恒為0,則f(x)在區(qū)間I上恒為常數(shù).

證明在區(qū)間I內(nèi)任取兩點(diǎn)x1、x2,不妨設(shè)x1<x2,則f(x)在區(qū)間[x1,x2]上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件.由式(3-1)可得

由已知條件可知f'(ξ)=0,因此有f(x2)=f(x1).又由x1、x2的任意性可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間I上恒為常數(shù).

推論3-2如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒相等,即有f'(x)≡g'(x),那么在區(qū)間I上有f(x)=g(x)+C,其中C為常數(shù).

證明在區(qū)間I內(nèi)任取一點(diǎn)x,由已知條件可知[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)=0.由推論3-1可知f(x)-g(x)在區(qū)間I上恒為常數(shù),即f(x)-g(x)=C或f(x)=g(x)+C.結(jié)論得證.

三、柯西(Cauchy)中值定理

定理3-3-(柯西中值定理)若函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)對(duì)任意的x∈(a,b),有g(shù)'(x)≠0,則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得

顯然,若取g(x)=x,則g(b)-g(a)=b-a,g'(x)=1,此時(shí)柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是柯西中值定理在g(x)=x時(shí)的特殊情形,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.

3.2洛必達(dá)法則

(2)在求極限過(guò)程中,如有可約因子,或有非零極限值的乘積因子,則可先約去或算出,簡(jiǎn)化演算步驟

3.3-函數(shù)的單調(diào)性與極值

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

定理3-5(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),如果(1)在(a,b)內(nèi)f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增;(2)在(a,b)內(nèi)f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減.定理3-5是以閉區(qū)間為例敘述的.若將閉區(qū)間換成其他區(qū)間,結(jié)論仍然成立.

例3-15討論函數(shù)f(x)=ln(1+x2)的單調(diào)性.

解

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),在定義域內(nèi)f(x)可導(dǎo),且

當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0.所以f(x)=ln(1+x2)在(-∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

圖3-3

我們注意到,有些函數(shù)在它的定義域內(nèi)不是單調(diào)的,但我們用駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)(不可導(dǎo)點(diǎn))來(lái)劃分函數(shù)的定義域后,就能保證它的導(dǎo)數(shù)在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)符號(hào)不變,從而得出函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性.一般地,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下:

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;

(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),確定駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);

(3)以駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)為分界點(diǎn),將定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間,列表討論f'(x)在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)判定法確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

二、函數(shù)的極值及其求法

1.函數(shù)極值的定義

由圖3-4可以看出,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x2和x5的函數(shù)值f(x2)和f(x5)比它們鄰近各點(diǎn)的函數(shù)值都大,而在點(diǎn)x1、x4、x6的函數(shù)值f(x1)、f(x4)、f(x6)比它們鄰近各點(diǎn)的函數(shù)值都小.對(duì)于這種性質(zhì)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值,我們給出如下定義:

定義3-1設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于x0的任一點(diǎn)x,均有

那么就稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(極小值),點(diǎn)x0稱(chēng)為函數(shù)的極大值點(diǎn)(極小值點(diǎn)).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值,極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).

圖3-4中,f(x1)、f(x4)、f(x6)是函數(shù)f(x)的極小值,x1、x4、x6是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn);f(x2)、f(x5)是函數(shù)f(x)的極大值,x2、x5是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).3-4

關(guān)于函數(shù)的極值,需要注意以下幾點(diǎn):

(1)極值是函數(shù)值,而極值點(diǎn)是函數(shù)取得極值時(shí)自變量的值,兩者不能混淆.

(2)函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念.如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,就x0附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō),f(x0)是比f(wàn)(x)在其余各點(diǎn)處的函數(shù)值都大;而就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō),f(x0)是一定比其他點(diǎn)的函數(shù)值都大.關(guān)于極小值也有類(lèi)似的規(guī)律.

(3)極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.

(4)極值未必唯一,即函數(shù)的極大值和極小值可以有多個(gè).

2.函數(shù)極值的判定和求法

由圖3-4可以看到,在函數(shù)取得極值處曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的,或是垂直于x軸的.但曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn)或垂直于x軸的切線(xiàn)的地方,函數(shù)不一定取得極值.如圖3-4中x=x3-處,曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn),但f(x3)不是極值.

可見(jiàn),使函數(shù)取得極值的點(diǎn)只可能是函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).由圖3-4還可看到,對(duì)連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō),函數(shù)在單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間的分界點(diǎn)處取得極值,即函數(shù)在由單調(diào)遞增轉(zhuǎn)變?yōu)閱握{(diào)遞減的點(diǎn)處取得極大值,而在由單調(diào)遞減轉(zhuǎn)變?yōu)閱握{(diào)遞增的點(diǎn)處取得極小值.

定理3-6(極值判定的第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),且在x0的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),若

(1)當(dāng)x<x0時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>x0時(shí),f'(x)<0,那么函數(shù)f(x)在x0

處取得極大值f(x0);

(2)當(dāng)x<x0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x>x0時(shí),f'(x)>0,那么函數(shù)f(x)在x0

處取得極小值f(x0);

(3)當(dāng)x<x0和x>x0時(shí),f'(x)的符號(hào)保持不變,那么函數(shù)f(x)在x0

處沒(méi)有極值.

(1)確定函數(shù)的定義域;

(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x),并找出定義域內(nèi)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);

(3)考察每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰域內(nèi)f'(x)的符號(hào),以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn);

(4)求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值,得到函數(shù)f(x)的全部極值.

定理3-7(極值判定的第二充分條件)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處二階可導(dǎo),且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,則

(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí),函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值f(x0);

(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí),函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極小值f(x0).

利用極值判定的第二充分條件只能判斷駐點(diǎn),且函數(shù)在該駐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)不為0時(shí)才能判定.而對(duì)于不可導(dǎo)點(diǎn)或二階函數(shù)為0的駐點(diǎn),極值判定的第二充分條件都將失效.

3.4最大值和最小值問(wèn)題

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,常常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題:在一定的條件下,怎樣才能使“用料最省”“用時(shí)最少”“產(chǎn)量最多”“收益最大”?這類(lèi)問(wèn)題就是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中學(xué)過(guò)的求函數(shù)(通常稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問(wèn)題.

假定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在.如果最大值(最小值)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的某點(diǎn)x0處取得,那么f(x0)一定是f(x)的極大值(極小值),x0一定是f(x)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).f(x)的最大值和最小值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,因此求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下:

(1)求導(dǎo)f'(x),找出函數(shù)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),不妨設(shè)為x1,x2,…,xn.

(2)計(jì)算x1,x2,…,xn

的函數(shù)值f(xi)(i=1,2,…,n)及端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b).

(3)比較(2)中各值的大小,其中最大值和最小值分別就是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.圖3-5圖3-6

例3-21如圖3-7所示,鐵路線(xiàn)上AB段的距離為100km,工廠(chǎng)C距A處20km,AC垂直于AB.為了運(yùn)輸需要,要在AB線(xiàn)上選定一點(diǎn)D向工廠(chǎng)修筑一條公路.已知鐵路每公里運(yùn)費(fèi)與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3∶5,為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠(chǎng)C的運(yùn)費(fèi)最省,問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處?圖3-7

在實(shí)際問(wèn)題中,根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可以斷定可導(dǎo)函數(shù)f(x)的最大值或最小值存在,且在定義區(qū)間內(nèi)部取得.這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部有唯一駐點(diǎn)x0,那么可以斷定f(x0)就是函數(shù)所求的最大值或最小值.

例3-22如圖3-8所示,把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁,問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇,才能使梁的抗彎截面模量最大?圖3-8

例3-23-【旅行社的利潤(rùn)】旅行社為某旅游團(tuán)包飛機(jī)去旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為15000元,旅游團(tuán)中每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團(tuán)的人數(shù)在30人或30人以下,飛機(jī)票每張收費(fèi)900元;若旅游團(tuán)的人數(shù)多于30人,則給予優(yōu)惠,每多1人,每張機(jī)票減少10元.但旅游團(tuán)的人數(shù)最多有75人,那么旅游團(tuán)的人數(shù)為多少時(shí),旅行社可獲得的利潤(rùn)最大?

解設(shè)旅游團(tuán)有x人,每張飛機(jī)票為y元,依題意可得:當(dāng)1≤x≤30時(shí),y=900;當(dāng)30<x≤75時(shí),y=900-10(x-30)=-10x+1200.即每張機(jī)票的價(jià)格與旅游團(tuán)的人數(shù)之間的關(guān)系為

令Q'(x)=0,解得x0=60.因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題中的最大利潤(rùn)存在,且有唯一駐點(diǎn),即Q(60)=21000>12000,所以當(dāng)旅游團(tuán)人數(shù)為60人時(shí),旅行社可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為21000元.

3.5曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn)及函數(shù)圖像的描繪

一、曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)1.曲線(xiàn)凹凸性的定義及其判定

圖3-11中,有一類(lèi)曲線(xiàn)向上彎曲,它在任何點(diǎn)處的切線(xiàn)總位于曲線(xiàn)的下方;而另一類(lèi)曲線(xiàn)向下彎曲,它在任何點(diǎn)處的切線(xiàn)總位于曲線(xiàn)的上方.由此我們給出關(guān)于曲線(xiàn)凹凸性的定義:圖3-11

定義3-2設(shè)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若曲線(xiàn)y=f(x)上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)都在曲線(xiàn)的下方(見(jiàn)圖3-12(a)),那么稱(chēng)曲線(xiàn)y=f(x)在[a,b]上是凹的,區(qū)間[a,b]叫做曲線(xiàn)y=f(x)的凹區(qū)間;如果曲線(xiàn)y=f(x)上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)都在曲線(xiàn)上方(見(jiàn)圖3-12(b)),那么稱(chēng)曲線(xiàn)y=f(x)在[a,b]上是凸的,區(qū)間[a,b]叫做曲線(xiàn)y=f(x)的凸區(qū)間.圖3-12

由圖3-12可看出,對(duì)于凹的曲線(xiàn)弧,其上任意點(diǎn)切線(xiàn)的斜率隨著x的增大而增大,即f'(x)是單調(diào)遞增的,因而在(a,b)內(nèi),f″(x)>0;對(duì)于凸的曲線(xiàn)弧,其上各點(diǎn)切線(xiàn)的斜率隨著x的增加而減小,即f'(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞減的,因而在(a,b)內(nèi),f″(x)<0.由此可見(jiàn),曲線(xiàn)y=f(x)的凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的符號(hào)有關(guān).

定理3-8(曲線(xiàn)凹凸性的判定定理)設(shè)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù).

(1)若在(a,b)內(nèi)f″(x)>0,則曲線(xiàn)y=f(x)在[a,b]上是凹的.

(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0,則曲線(xiàn)y=f(x)在[a,b]上是凸的.

將定理3-8中的閉區(qū)間改為其他區(qū)間,結(jié)論仍然成立

例3-24判定曲線(xiàn)y=x3-的凹凸性.

解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞),分別求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),得

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),y″<0,曲線(xiàn)y=x3-在(-∞,0]內(nèi)是凸的;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),y″>0,曲線(xiàn)y=x3-在[0,+∞)內(nèi)是凹的;當(dāng)x=0時(shí),y″=0,故點(diǎn)(0,0)是曲線(xiàn)y=x3-由凸變凹的分界點(diǎn),如圖3-13所示.圖3-13

2.曲線(xiàn)的拐點(diǎn)及其判定

定義3-3-連續(xù)曲線(xiàn)y=y=f(x)上凹與凸的分界點(diǎn)(x0,f(x0))稱(chēng)為曲線(xiàn)y=y=f(x)的拐點(diǎn).如例1中,點(diǎn)(0,0)是曲線(xiàn)y=x3-的拐點(diǎn).

如何尋找曲線(xiàn)y=y=f(x)的拐點(diǎn)呢?

我們可以按下列步驟來(lái)判定區(qū)間[a,b]上的連續(xù)曲線(xiàn)y=y=f(x)的拐點(diǎn):

(1)分別求一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x).

(2)令f″(x)=0,解出該方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實(shí)根,并求出在區(qū)間(a,b)內(nèi)f″(x)不存在的點(diǎn).

(3)對(duì)于(2)中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0

,考察在x0左右兩側(cè)f″(x)的符號(hào),若f″(x)在x0

兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)(x0

,f(x0

))是拐點(diǎn),否則點(diǎn)(x0

,f(x0

))不是拐點(diǎn).

二、函數(shù)圖像的描繪

1.曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)和垂直漸近線(xiàn)

如果一條曲線(xiàn)在無(wú)限延伸的過(guò)程中,能與某條直線(xiàn)無(wú)限接近,則稱(chēng)這條直線(xiàn)為該曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).

定義3-4如果當(dāng)x→∞(有時(shí)僅當(dāng)x→+∞或x→-∞)時(shí),f(x)趨近于b,即

則稱(chēng)直線(xiàn)y=b為曲線(xiàn)y=f(x)的水平漸近線(xiàn).

如果當(dāng)x→x0(有時(shí)僅當(dāng)x→x+0或x→x-0)時(shí),f(x)趨近于∞,即

則稱(chēng)直線(xiàn)x=x0為曲線(xiàn)y=f(x)的垂直(鉛垂)漸近線(xiàn).

2.函數(shù)圖像的描繪

用描點(diǎn)法作圖帶有一定的局限性,圖像上的一些特殊點(diǎn)(如拐點(diǎn))和彎曲方向往往得不到反映.為使函數(shù)圖像的特性能更準(zhǔn)確地表示出來(lái),現(xiàn)在我們利用函數(shù)變化的主要性態(tài)作函數(shù)的圖像,其一般步驟如下:

(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域、間斷點(diǎn)及函數(shù)所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等).

(2)求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x),并令f'(x)=0和f″(x)=0,求出其在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),然后利用這些根和點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為若干個(gè)子區(qū)間.

(3)列表討論f'(x)和f″(x)在(2)中所得各子區(qū)間內(nèi)的符號(hào),由此確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn).

(4)如有漸近線(xiàn),求出漸近線(xiàn),并確定其他變化趨勢(shì).

(5)求輔助點(diǎn),如曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.

(6)在直角坐標(biāo)系中,根據(jù)上面的討論描點(diǎn)作圖.圖3-14

3.6*曲線(xiàn)的曲率

一、曲率的概念

圖3-15圖3-16

圖3-17

二、曲率的計(jì)算公式

設(shè)函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)存在,下面我們來(lái)推導(dǎo)曲率的計(jì)算公式.

(1)先求dα.因?yàn)棣潦乔€(xiàn)切線(xiàn)的傾斜角,所以y'=tanα,故α=arctany',兩邊微分,得

(2)其次求ds.如圖3-18所示,在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)M0,并以此為起點(diǎn)度量弧長(zhǎng).若點(diǎn)M(x,y)在M0(x0,y0)的右側(cè)(x>x0),則規(guī)定弧長(zhǎng)為正;若點(diǎn)M(x,y)在M0(x0,y0)的左側(cè)(x<x0),則規(guī)定弧長(zhǎng)為負(fù).依照此規(guī)定,弧長(zhǎng)s是點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的增函數(shù),記為s=s(x).圖3-18

當(dāng)點(diǎn)M沿曲線(xiàn)移動(dòng)到N時(shí),相應(yīng)地,橫坐標(biāo)由x變到x+Δx,此時(shí)有

圖3-19

根據(jù)上述規(guī)定,曲率圓與曲線(xiàn)在點(diǎn)M處有相同的切線(xiàn)和曲率,且在點(diǎn)M鄰近處凹凸性相同.因此,工程上常常用曲率圓在點(diǎn)M鄰近處的一段圓弧來(lái)近似代替該點(diǎn)鄰近處的小曲線(xiàn)弧.

由上述分析可知,曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率K(K≠0)與曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率半徑ρ有如下關(guān)系:

這就是說(shuō):曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù).

例3-29設(shè)工件內(nèi)表面的截線(xiàn)為拋物線(xiàn)y=0.4x2,現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問(wèn)用直徑多大的砂輪比較合適?

解為了在磨削時(shí)不使砂輪與工件接觸處附近的那部分工件磨去太多,砂輪的半徑應(yīng)不大于拋物線(xiàn)上各點(diǎn)處曲率半徑中的最小值.由題意易求得y=0.4x2的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為y'=0.8x和y″=0.8,所以?huà)佄锞€(xiàn)上任一點(diǎn)的曲率半徑為

當(dāng)x=0(即在頂點(diǎn)處)時(shí),曲率半徑最小,為ρ=1.25.所以,選用砂輪的半徑不得超過(guò)1.25單位長(zhǎng),即直徑不得超過(guò)2.5單位長(zhǎng)

本章小結(jié)

一、微分中值定理1)羅爾中值定理若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:(1)在閉區(qū)間[a,b]