山東省威海市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得：或，，所以.故選：D2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，，，.故選：B.3.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.所以.故選：A.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.若正實數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因為為正數(shù)，故可得；則，在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，故，又，故.故選：D.6.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且的兩個相鄰的零點是，，則“，”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意知，，對任意，而函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由，，可得，，充分性成立，反之，，顯然可推出，，必要性成立，故“，”是“，”的充要條件，故選：C7.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與圓相切于點，且與雙曲線的右支交于點，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】連接，則，如圖所示：由，得，而點Q在雙曲線的右支上，則，因為，所以，即，則雙曲線的離心率為：，故選：D8.在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，二面角為，則該四棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點為，連接，設(shè)其交點為，連接；因為，故點在底面的投影必在直線上，過作底面的垂線，垂足為；連接；顯然，故二面角的平面角為，因為，故三角形為直角三角形；在三角形中，，則，故為中點；過作的平行線，顯然其垂直于平面，則該棱錐外接球球心必在該垂線上，設(shè)其為，又，，，故點在面的下方；過作垂直于的延長線，垂足為，連接，如下圖所示：設(shè)該四棱錐外接球半徑為，；在三角形中，，故，解得.故四棱錐外接球表面積為.故選：B.二、選擇題9.某學(xué)校從高一年級名學(xué)生中抽取部分學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.B.估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分落在C.估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第三四分位數(shù)為D.估計高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為【答案】AC【解析】由頻率分布直方圖可知，故A正確；由A項結(jié)論可知平均數(shù)為，故B錯誤；設(shè)第三四分位數(shù)為，易知前三個區(qū)間占比，前四個區(qū)間占比為，即第三四分位數(shù)位于，有，故C正確；由圖得區(qū)間占比，故可估計約有，故D錯誤.故選：AC.10.在正方體中，，分別為線段，上的動點，則（）A.存在，兩點，使得B.C.與所成的最大角為D.與平面所成的最大角的正弦值為【答案】ABD【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，由在線段上，得，則，，由在線段上，得，則，，對于A，當時，，即，而，則，A正確；對于B，，，，則，B正確；對于C，，，當時，，此時與所成的角為，C錯誤；對于D，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)與平面所成的角為，則，當且僅當時取等號，D正確.故選：ABD11.質(zhì)點和在以原點為圓心，半徑為上逆時針作勻速圓周運動，同時出發(fā).的角速度大小為，起點為與軸正半軸的交點；的角速度大小為，起點為射線與的交點.則當與重合時，的坐標可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】依題意，點的起始位置，點的起始位置，則，設(shè)當與重合時，用時間為，于是，即，則，所以，對于A，若，則或，解得，或，因為，故A錯誤；對于B，當時，，即，故B正確；對于C，若，則或，解得，或，因為，故C錯誤；對于D，當時，，即，故D正確；故選：BD.12.定義在上的函數(shù)滿足，當時，.當時，；當時，.若關(guān)于的方程的解構(gòu)成遞增數(shù)列，則（）A.B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】因為，所以周期是，，故A正確；當時，令，則，即，時，，得或；時，，得；又當時，.故關(guān)于對稱，故時，的根為或，則函數(shù)在一個周期內(nèi)有個根.即當，在的根為，此時數(shù)列公差為，，故B錯誤，C正確；當?shù)茫瑢ΨQ軸為，此時；當，對稱軸為，此時；故當時，且則，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為________.【答案】【解析】因為，所以，因為的斜率為，則，即，故．故答案為：.14.展開式中含項的系數(shù)為________.【答案】80【解析】結(jié)合題意可得：所以的系數(shù)為.故答案為:.15.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，，解得，又，則；當，，由題可得，解得；綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.16.已知拋物線的焦點為，是上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，則的最小值為________.【答案】3【解析】如圖所示，易知，直線過定點，且Q在以為直徑的圓上，不妨設(shè)其圓心為E，顯然半徑，分別過E，P作準線的垂線，垂足為M，G，結(jié)合拋物線定義有，當且僅當均在線段上時取得等號.故答案為：3四、解答題17.在中，角所對的邊分別為記的面積為，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.解：（1）因為，所以，可得，因為，所以（2）由余弦定理可知，即，因為，所以，所以，可得，當且僅當時等號成立，所以的最大值為18.如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，為矩形，平面平面，，，，，是的中點，與相交于點.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：在線段上取點使得，連接，，由，，可得，所以，所以且，又，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：因為四邊形為矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以，，兩兩垂直.以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，在梯形中，，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，可得，令，則；設(shè)平面的一個法向量為，則，可得令，則.因為，所以平面與平面所成角的正弦值為.19.記數(shù)列的前項和為，且，.（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，證明：.（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則當時，，當時，，由得，，所以，因為，所以，，因為為等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，所以，所以.（2）證明：當時，，因為，可得，因為，可得，由（1）可知，當時，，所以，，當時也符合上式，所以.因為，所以.20.甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率.（1）求，；（2）證明：是等比數(shù)列，并求；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．（1）解：因為表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率，所以，第一次傳到乙手中的概率為：，第二次傳到乙手中的概率為：.（2）證明；記表示事件“經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，所以，即，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.（3）解：由題意，次傳球后球在乙手中的次數(shù)，服從兩點分布，且,所以由（2）可知，，則.21.已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點的坐標為，過點作直線交于，兩點（異于，），當垂直于軸時，.（1）求的標準方程；（2）直線交直線于點，證明：，，三點共線.（1）解：如圖所示，由，可得，所以，即，因為，所以，解得，，所以的標準方程為.（2）證明：由題意知，直線斜率不為，如圖所示設(shè)，，而，由，整理得，顯然，則,因為，所以，即.則，所以，又因為有公共點，所以，，三點共線.22.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若是的極大值點，求的值.解：（1）當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）設(shè)，當時，由于，所以與的函數(shù)值正負相反，又，所以是的極大值點，當