第37講等比數列的前n項和等比數列的前項和公式推導過程：利用等比數列性質由等比數列定義，有.根據等比性質，有，所以當時，或.錯位相減法等比數列的前項和.①當時，，；②當時，由得，，所以，所以或，即.要點詮釋：錯位相減法是一種非常常見和重要的舒蕾求和方法，適用于一個等差舒蕾和等比數列對應項的積組成的數列求和問題，要求理解并掌握此法.在求等比數列前項和時，要注意區(qū)分和.當時，等比數列的兩個求和公式涉及，，，，五個量，已知其中任意三個變量，通過解方程組，便可求出其余兩個量.結論一、等比數列前項和（當時）變形公式（系數互為相反數）；（一次線性關系）.【例1】已知等比數列的前項和為，且滿足，則的值為（）.A.4 B.2 C.-2 D.-4【變式】設首項為1，公比為的等比數列的前項和為，則（）. B. C. D.結論二、項數相同的和構造等比數列等比數列的前項和為，則也成等比數列，且公比.評注：（1）第一個項和，第二個項和，……，即每項和為一段.當且為偶數時，不是等比數列.【例】2已知等比數列的前項和為，若，，則.【變式】設等比數列前項和為，若，，則（）.A.31 B.32 C.63 D.64結論三、等比數列前項和關系特征等比數列前項和為，則.【例3】設等比數列前項和為，則.，則公比.【變式】等比數列前項和為，已知成等比數列，則等比數列的公比為.結論四、等比數列奇數項和與偶數項和性質在等比數列中，當項數為偶數2時，；當項數為奇數時，或，.【例4】一個等比數列首項為1，項數為偶數，其奇數項和為85，偶數項和為170，求此數列的公比和項數.【變式】等比數列共有奇數項，所有奇數項和，所有偶數項和，末項是192，則首項的值為（）.結論五、等比數列前項積的運算技巧設等比數列前項積，則，……，成等比數列.當為奇數時，；當為偶數時，.【例5】已知等比數列滿足，且，則當時，（）. B. C. D.【變式】設是各項為正數的等比數列，是其公比，是其前項積，且，，則下列結論錯誤的是（）. B. C. D.與均為的最大值第38講數列通項公式題型全歸納通關一、“疊加法”求通項在求等差數列通項公式時，由這個式子疊加得，當時也成立.由此可得形如的遞推式均可采用“疊加法”求得.上式中“”通常是可以化簡的，即數列“可求和”.通關二、“疊乘法”求通項在求等比數列通項公式時，由這個式子疊乘得，當時也成立.由此可得形如的遞推式均可采用“疊乘法”求得.上式中“”通常是可以化簡的，即數列“可求積”.題型一：可以轉化為.從而數列為等比數列，故可由等比數列通項公式求解.題型二：，兩邊同除以“”可以轉化為.當時，數列為等差數列，故可由等差數列通項公式求解.當時，數列符合題型一，故可由題型一中的方法求解.通關三、“倒數法”求通項形如，兩邊同除以轉化為①當時，“倒數數列”為等差數列，由等差數列通項公式求解.當時，“倒數數列”符合方法二中的題型一，故可轉化為等比數列求解.(2)形如，取倒數得.當時，“倒數數列”為等差數列，由等差數列通項公式求解.當時，“倒數數列”符合方法二中得題型一，故可轉化為等比數列求解.通關四、“待定系數法”求通項，令，則，整理得.令，則.此時，，即數列為等比數列，故可由等比數列通項公式求解，從而也可求解.【結論第講】結論一、把原遞推公式轉化為，再利用疊加法(逐差相加法)求解.【例1】已知數列中，，，則_____.【變式】數列滿足：，且，求.結論二、把原遞推公式轉化為，再利用疊乘法(逐商相乘法)求解.【例2】數列中，，，則_____.【變式】已知數列滿足，且，則_____；_____.結論三、（其中均為常數，）先用待定系數法把原遞推公式轉化為，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解.【例3】已知數列滿足，且，則_____.【變式】已知數列中，，，則_____.結論四、（其中均為常數，）1.一般地，要先將遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數列（其中），得，再用待定系數法解決；2.也可以將原遞推公式兩邊同除以，得，引入輔助數列（其中），得，再利用疊加法（逐差相加法）求解.【例4】已知數列中，，，則_____.【變式】已知數列滿足，，則_____.結論五、（）這種類型的題目一般是利用待定系數法構造等比數列，即令，然后與已知遞推公式比較，解出，從而得到是公比為的等比數列.【例】設數列滿足，，則_____.【變式】已知數列滿足，，則_____.結論六、（）這種類型的題目一般是將等式兩邊取對數后轉化為型，再利用待定系數法求解.【例6】已知數列中，，，則_____.【變式】已知在數列中，，且，則數列的通項_____.結論七、（且）這種類型的題目一般是將等式兩邊取倒數后，再進一步處理.若，則有，此時為等差數列.若，則有，此時可轉化為結論三來處理.【例7】在數列中，已知，，則_____.【變式】已知數列滿足，，則_____.結論八、將原遞推公式改寫成，兩式相減即得，然后將分奇數、偶數分類討論即可.【例8】已知數列中，，.則_____.【變式】在數列中，