第2講填空題的解法【題型特點(diǎn)概述】1．填空題的特征填空題是不要求寫出計(jì)算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”．填空題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，填空題沒有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容(既可以是條件，也可以是結(jié)論)，留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活．從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不是很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分．因此，解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功夫?．解填空題的基本原則解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空題的常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理法等．方法一直接法直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過變形、推理、計(jì)算等，得出正確結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法．例1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(logeq\f(1,2)6)的值為________．解析因?yàn)椋?<logeq\f(1,2)6<－2，所以－1<logeq\f(1,2)6＋2<0，即－1<logeq\f(1,2)eq\f(3,2)<0.因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)6))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log\f(1,2)\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝－(2log2eq\f(3,2)－1)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵．本題為函數(shù)的求值問題，常常伴隨函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用．解題時(shí)先分析所給的自變量值是否在已知函數(shù)的定義域范圍內(nèi)．已知函數(shù)f(x)＝|log2x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，則m＋n的值為________．答案eq\f(5,2)解析f(x)＝|log2x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥1，,－log2x，0<x<1，))根據(jù)f(m)＝f(n)及f(x)的單調(diào)性，知0<m<1，n>1，又f(x)在[m2，n]上的最大值為2,0<m2<m<1，所以f(m2)＝2，求得m＝eq\f(1,2)，n＝2，于是m＋n＝eq\f(5,2).故填eq\f(5,2).方法二特例法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論．這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過程．例2(2012·湖南)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.解析方法一∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，∵AP⊥BD，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.又∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAP＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|2，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|2＝2×9＝18.方法二把平行四邊形ABCD看成正方形，則P點(diǎn)為對(duì)角線的交點(diǎn)，AC＝6，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝18.答案18求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解．本題中的方法二把平行四邊形看作正方形，從而減少了計(jì)算量．(1)如圖，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up6(→))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.(2)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值為________．答案(1)eq\r(3)(2)eq\f(3,2)解析(1)不妨取|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠ADB＝eq\f(π,3)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\r(3)×1×coseq\f(π,3)＋0＝eq\r(3).(2)令α＝0°，則原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝eq\f(3,2).方法三數(shù)形結(jié)合法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形．例3已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lgx|的圖象的交點(diǎn)共有________個(gè)．解析如圖，作出圖象可知y＝f(x)與y＝|lgx|的圖象共有10個(gè)交點(diǎn)．答案10圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn)．準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果．(2012·天津)已知函數(shù)y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的圖象與函數(shù)y＝kx的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(0,1)∪(1,2)解析分段表示函數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解．函數(shù)可表示為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>1或x<－1，,－x－1，－1≤x<1，))圖象為如圖所示的實(shí)線部分，數(shù)形結(jié)合可知，要使兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則k∈(0,1)∪(1,2)．方法四構(gòu)造法構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決．例4如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積等于________．解析如圖，以DA，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑，所以|CD|＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.答案eq\r(6)π構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．本題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線，問題很容易得到解決．(1)(2012·遼寧)已知正三棱錐P－ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為eq\r(3)的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________．(2)已知a、b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．答案(1)eq\f(\r(3),3)(2)①②④解析(1)先求出△ABC的中心，再求出高，建立方程求解．如圖，作PM⊥面ABC，設(shè)PA＝a，則AB＝eq\r(2)a，PM＝eq\f(\r(3),3)a.設(shè)球的半徑為R，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a－R))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a))2＝R2，將R＝eq\r(3)代入上式，解得a＝2，所以d＝eq\r(3)－eq\f(2,3)eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3).(2)用正方體ABCD—A1B1C1D1實(shí)例說明A1D1與BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1與BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1與DD1在平面ABCD上的射影是一條直線及其外一點(diǎn)．方法五歸納推理法做關(guān)于歸納推理的填空題的時(shí)候，一般是由題目的已知可以得出幾個(gè)結(jié)論(或直接給出了幾個(gè)結(jié)論)，然后根據(jù)這幾個(gè)結(jié)論可以歸納出一個(gè)更一般性的結(jié)論，再利用這個(gè)一般性的結(jié)論來解決問題．歸納推理是從個(gè)別或特殊認(rèn)識(shí)到一般性認(rèn)識(shí)的推演過程，這里可以大膽地猜想．例5已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2013(x)＝________.解析f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，…由此歸納，知f(x)的周期為4，即fn(x)＝fn＋4(x)．所以f2013(x)＝f1(x)＝sinx＋cosx.答案sinx＋cosx這類問題是近幾年高考的熱點(diǎn)．解決這類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)歸納對(duì)象．如本題把函數(shù)的前幾個(gè)值一一列舉出來．觀察前面列出的函數(shù)值的規(guī)律，歸納猜想一般結(jié)論或周期，從而求得函數(shù)值．觀察下列算式，猜測(cè)由此提供的一般性法則，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示它．1＝13＋5＝87＋9＋11＝2713＋15＋17＋19＝6421＋23＋25＋27＋29＝125設(shè)這些式子的第n個(gè)為a1＋a2＋…＋an＝bn，則(a1，an)＝______________，bn＝________.答案(n2－n＋1，n2＋n－1)n3解析觀察每一個(gè)式子的首項(xiàng)分別為1、3、7、13、21…均為奇數(shù)，對(duì)它們都減去1，則為0,2,6,1