./概率論的基本概念注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1解：該試驗(yàn)的結(jié)果有9個(gè)：〔0,a,〔0,b,〔0,c,〔1,a,〔1,b,〔1,c,〔2,a,〔2,b,〔2,c。所以,試驗(yàn)的樣本空間共有9個(gè)樣本點(diǎn)。事件A包含3個(gè)結(jié)果：不吸煙的身體健康者,少量吸煙的身體健康者,吸煙較多的身體健康者。即A所包含的樣本點(diǎn)為〔0,a,〔1,a,〔2,a。事件B包含3個(gè)結(jié)果：不吸煙的身體健康者,不吸煙的身體一般者,不吸煙的身體有病者。即B所包含的樣本點(diǎn)為〔0,a,〔0,b,〔0,c。2、解〔1或；〔2〔提示：題目等價(jià)于,,至少有2個(gè)發(fā)生,與〔1相似；〔3；〔4或；〔提示：,,至少有一個(gè)發(fā)生,或者不同時(shí)發(fā)生；3〔1錯(cuò)。依題得,但,故A、B可能相容。錯(cuò)。舉反例錯(cuò)。舉反例〔4對(duì)。證明：由,知,即A和B交非空,故A和B一定相容。4、解〔1因?yàn)椴幌嗳?所以至少有一發(fā)生的概率為：<2>都不發(fā)生的概率為：；〔3不發(fā)生同時(shí)發(fā)生可表示為：,又因?yàn)椴幌嗳?于是；5解：由題知,.因得,故A,B,C都不發(fā)生的概率為.6、解設(shè){"兩次均為紅球"},{"恰有1個(gè)紅球"},{"第二次是紅球"}若是放回抽樣,每次抽到紅球的概率是：,抽不到紅球的概率是：,則〔1；〔2；〔3由于每次抽樣的樣本空間一樣,所以：若是不放回抽樣,則〔1；〔2；〔3。7解：將全班學(xué)生排成一排的任何一種排列視為一樣本點(diǎn),則樣本空間共有個(gè)樣本點(diǎn)。把兩個(gè)"王姓"學(xué)生看作一整體,和其余28個(gè)學(xué)生一起排列共有個(gè)樣本點(diǎn),而兩個(gè)"王姓"學(xué)生也有左右之分,所以,兩個(gè)"王姓"學(xué)生緊挨在一起共有個(gè)樣本點(diǎn)。即兩個(gè)"王姓"學(xué)生緊挨在一起的概率為。兩個(gè)"王姓"學(xué)生正好一頭一尾包含個(gè)樣本點(diǎn),故兩個(gè)"王姓"學(xué)生正好一頭一尾的概率為。8、解〔1設(shè){"1紅1黑1白"},則；〔2設(shè){"全是黑球"},則；〔3設(shè){第1次為紅球,第2次為黑球,第3次為白球"},則。9解：設(shè),. 若將先后停入的車位的排列作為一個(gè)樣本點(diǎn),那么共有個(gè)樣本點(diǎn)。由題知,出現(xiàn)每一個(gè)樣本點(diǎn)的概率相等,當(dāng)發(fā)生時(shí),第i號(hào)車配對(duì),其余9個(gè)號(hào)可以任意排列,故〔1。〔21號(hào)車配對(duì),9號(hào)車不配對(duì)指9號(hào)車選2~8號(hào)任一個(gè)車位,其余7輛車任意排列,共有個(gè)樣本點(diǎn)。故.,表示在事件：已知1號(hào)和9號(hào)配對(duì)情況下,2~8號(hào)均不配對(duì),問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為2~8號(hào)車隨即停入2~8號(hào)車位。記,。則。由上知,,,〔,,〔……。則故。10、解由已知條件可得出:；；；〔1；〔2于是；〔3。11解：由題知,,,,則12、解設(shè){該職工為女職工},{該職工在管理崗位},由題意知,,,所要求的概率為〔1；〔2。13、解：14、解設(shè){此人取的是調(diào)試好的槍},{此人命中},由題意知：,,所要求的概率分別是：〔1；〔2。15解：設(shè),,,,,則,,,,,,,,16、解設(shè),分別為從第一、二組中取優(yōu)質(zhì)品的事件,,分別為第一、二次取到得產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的事件,有題意知：,所要求的概率是：〔2由題意可求得：所要求的概率是：。17解：〔1第三天與今天持平包括三種情況：第2天平,第3天平；第2天漲,第3天跌；第2天跌,第3天漲。則第4天股價(jià)比今天漲了2個(gè)單位包括三種情況：第2天平,第3、4天漲；第2、4天漲,第3天平；第2、3天漲,第4天平。則。19<1>對(duì)。證明：假設(shè)A,B不相容,則。而,,即,故,即A,B不相互獨(dú)立。與已知矛盾,所以A,B相容?？赡軐?duì)。證明：由,知,,與可能相等,所以A,B獨(dú)立可能成立?！?可能對(duì)?！?對(duì)。證明：若A,B不相容,則。而,,即,故,即A,B不相互獨(dú)立。18、證明：必要條件由于,相互獨(dú)立,根據(jù)定理1.5.2知,與也相互獨(dú)立,于是：,即充分條件由于及,結(jié)合已知條件,成立化簡(jiǎn)后,得：由此可得到,與相互獨(dú)立。20、解設(shè)分別為第個(gè)部件工作正常的事件,為系統(tǒng)工作正常的事件,則〔1所要求的概率為：設(shè)為4個(gè)部件均工作正常的事件,所要求的概率為：?！?。21解：記,22、解設(shè)={照明燈管使用壽命大于1000小時(shí)},={照明燈管使用壽命大于2000小時(shí)},={照明燈管使用壽命大于4000小時(shí)},由題意可知,,所要求的概率為：；〔2設(shè)分別為有個(gè)燈管損壞的事件〔,表示至少有3個(gè)損壞的概率,則所要求的概率為：23解：設(shè),,,則,,,,記,則第二章隨機(jī)變量及其概率分布注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1解：X取值可能為2,3,4,5,6,則X的概率分布律為：；；；；。2、解〔1由題意知,此二年得分?jǐn)?shù)可取值有0、1、2、4,有,,,,從而此人得分?jǐn)?shù)的概率分布律為：01240.80.160.0320.008〔2此人得分?jǐn)?shù)大于2的概率可表示為：；<3>已知此人得分不低于2,即,此人得分4的概率可表示為：。3解：〔1沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是；每一期沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是,n期沒(méi)有中大獎(jiǎng)的概率是。4、解〔1用表示男嬰的個(gè)數(shù),則可取值有0、1、2、3,至少有1名男嬰的概率可表示為：；〔2恰有1名男嬰的概率可表示為：；〔3用表示第1,第2名是男嬰,第3名是女嬰的概率,則；〔4用表示第1,第2名是男嬰的概率,則。5解：X取值可能為0,1,2,3；Y取值可能為0,1,2,3,,,。Y取每一值的概率分布為：,,,。6、解由題意可判斷各次抽樣結(jié)果是相互獨(dú)立的,停止時(shí)已檢查了件產(chǎn)品,說(shuō)明第次抽樣才有可能抽到不合格品。的取值有1、2、3、4、5,有,；〔2。7解：〔1,。診斷正確的概率為。此人被診斷為有病的概率為。7、解〔1用表示診斷此人有病的專家的人數(shù),的取值有1、2、3、4、5。在此人有病的條件下,診斷此人有病的概率為：在此人無(wú)病的條件下,診斷此人無(wú)病的概率為：〔2用表示診斷正確的概率,診斷正確可分為兩種情況：有病條件下診斷為有病、無(wú)病條件下診斷為無(wú)病,于是：；〔3用表示診斷為有病的概率,診斷為有病可分為兩種情況：有病條件下診斷此人為有病、無(wú)病條件下診斷此人為有病,于是：；8、解用表示恰有3名專家意見(jiàn)一致,表示診斷正確的事件,則所求的概率可表示為：9解：〔1由題意知,候車人數(shù)的概率為,則,從而單位時(shí)間內(nèi)至少有一人候車的概率為,所以解得則。所以單位時(shí)間內(nèi)至少有兩人候車的概率為。若,則,則這車站就他一人候車的概率為。10、解有題意知,,其中〔110：00至12：00期間,即,恰好收到6條短信的概率為：；〔2在10：00至12：00期間至少收到5條短信的概率為：于是,所求的概率為：。11、解：由題意知,被體檢出有重大疾病的人數(shù)近似服從參數(shù)為的泊松分布,即,。則至少有2人被檢出重大疾病的概率為。12、解〔1由于,因此的概率分布函數(shù)為：,〔213、解：〔1由解得。易知時(shí),；時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以,X的分布函數(shù)為。事件恰好發(fā)生2次的概率為。14、解〔1該學(xué)生在7：20過(guò)分鐘到站,,由題意知,只有當(dāng)該學(xué)生在7：20~7：30期間或者7：40~7：45期間到達(dá)時(shí),等車小時(shí)10分鐘,長(zhǎng)度一共15分鐘,所以：；〔2由題意知,當(dāng)該學(xué)生在7：20~7：25和7：35~7：45到達(dá)時(shí),等車時(shí)間大于5分鐘又小于15分鐘,長(zhǎng)度為15分鐘,所以：；〔3已知其候車時(shí)間大于5分鐘的條件下,其能乘上7：30的班車的概率為：其中,,于是。15、解：由題知,X服從區(qū)間上的均勻分布,則X的概率密度函數(shù)為在該區(qū)間取每個(gè)數(shù)大于0的概率為,則,。16、解〔1〔2〔317、解：他能實(shí)現(xiàn)自己的計(jì)劃的概率為。18、解〔1,有題意知,該青年男子身高大于170cm的概率為：〔2該青年男子身高大于165cm且小于175cm的概率為：〔3該青年男子身高小于172cm的概率為：。19、解：系統(tǒng)電壓小于200伏的概率為,在區(qū)間的概率為,大于240伏的概率為。該電子元件不能正常工作的概率為。。該系統(tǒng)運(yùn)行正常的概率為。20、解〔1有題意知：于是,從而得到側(cè)分位點(diǎn)；〔2,于是,結(jié)合概率密度函數(shù)是連續(xù)的,可得到側(cè)分點(diǎn)為；〔3于是,從而得到側(cè)分位點(diǎn)為。21、解：由題意得,,,,則,解得,。22、解〔1由密度函數(shù)的性質(zhì)得：所以；〔2令,上式可寫為：。23解：〔1易知X的概率密度函數(shù)為A等待時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率是。等待時(shí)間大于8分鐘且小于16分鐘的概率是。24、解用,分別表示甲、乙兩廠生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品的壽命,用表示從這批混合產(chǎn)品中隨機(jī)取一件產(chǎn)品的壽命,則該產(chǎn)品壽命大于6年的概率為：〔2該產(chǎn)品壽命大于8年的概率為：所求的概率為：。25、解：〔1由題知,.每天等待時(shí)間不超過(guò)五分鐘的概率為,則每一周至少有6天等待時(shí)間不超過(guò)五分鐘的概率為。26、解〔1這3只元件中恰好有2只壽命大于150小時(shí)的概率為：,其中于是；〔2這個(gè)人會(huì)再買,說(shuō)明這3只元件中至少有2只壽命大于150小時(shí),這時(shí)所求的概率為：。27、解：依題知,Y的分布律為,,28、解〔1由密度函數(shù)的性質(zhì)可得：于是〔2設(shè),的分布函數(shù)分別為：,,的概率密度為,有那么,；〔3設(shè)的分布函數(shù)為：。當(dāng),顯然。當(dāng),有,于是有從而,的概率密度為：,的分布函數(shù)為：。29、解：〔1依題知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,T的概率分布函數(shù)為。30、解由題意知,,即的概率密度為：設(shè),的分布函數(shù)分別為：,,其中。有當(dāng),顯然有。當(dāng)那么。31解：由題意知,X的概率分布函數(shù)為則32、解由題意知,,即的概率密度為：設(shè),的分布函數(shù)分別為：,,其中。當(dāng),顯然有。當(dāng),有那么。33解：〔1由題意知,,解得。的反函數(shù)為,則34、解設(shè),,的分布函數(shù)分別為：,,。由,容易得出：當(dāng),有。當(dāng),有,從而求得的概率密度：；又,于是從而第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1、解互換球后,紅球的總數(shù)是不變的,即有,的可能取值有：2,3,4,的取值為：2,3,4。則的聯(lián)合分布律為：由于,計(jì)算的邊際分布律為：2解：因事件與事件相互獨(dú)立,則,即由,解得。3、解利用分布律的性質(zhì),由題意,得計(jì)算可得：于是的邊際分布律為：的邊際分布律為,4解：〔1由已知,則,,,。5、解〔1每次拋硬幣是正面的概率為0.5,且每次拋硬幣是相互獨(dú)立的。由題意知,的可能取值有：3,2,1,0,的取值為：3,1。則的聯(lián)合分布律為：,,的邊際分布律為：,,的邊際分布律為：〔2在的條件下的條件分布律為：,,6解：〔１,,,,,。,,。,。7、解〔1已知,。由題意知,每次因超速引起的事故是相互獨(dú)立的,當(dāng)時(shí),,。于是的聯(lián)合分布律為：,〔；〔2的邊際分布律為：,即?！苍擃}與41頁(yè)例3.1.4相似８解：〔１可取值為,,,,,,,,,,。,,。9、解<1>由邊際分布函數(shù)的定義,知〔2從和的分布函數(shù),可以判斷出和都服從兩點(diǎn)分布,則的邊際分布律為：010.30.7的邊際分布律為010.40.6〔3易判斷出,所以的聯(lián)合分布律為：。１０解：<1>,,,。當(dāng)或時(shí),,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),,當(dāng),時(shí),。所以,的聯(lián)合分布函數(shù)為11、解由的聯(lián)合分布律可知,在的條件下,的條件分布律為：因此在的條件下,的條件分布函數(shù)為12解：設(shè),,則,時(shí),,即。所以的聯(lián)合分布函數(shù)為13,解由的性質(zhì),得：,所以〔2設(shè),則〔3設(shè),則14解：〔1由得。由〔1知,則15、解〔1由題意,知當(dāng),當(dāng),所以：；當(dāng),當(dāng),所以：；〔2當(dāng)時(shí),有〔3當(dāng)已知時(shí),由的公式可以判斷出,的條件分布為上的均勻分布。16解：〔1由得,〔2當(dāng)時(shí),。17、解〔1由題意可得：當(dāng)時(shí),,當(dāng),所以；〔2當(dāng)時(shí)〔3當(dāng)時(shí),所以。18解：〔1因,,所以19、解設(shè)事故車與處理車的距離的分布函數(shù)為,和都服從〔0,m的均勻分布,且相互獨(dú)立,由題意知：當(dāng)時(shí),,有所以的概率密度函數(shù)為：20解：由題意得,即同理得,所以,故和不獨(dú)立。21、解〔1設(shè),的邊際概率密度分別為,,由已知條件得,〔計(jì)算的詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)例3.3.5〔2有條件概率密度的定義可得：在的條件下,的條件概率密度為：〔322解：〔1,,當(dāng)時(shí),與,與均獨(dú)立,則所以,,即與獨(dú)立。23、解設(shè)表示正常工作的時(shí)間。由題意知〔,即。設(shè)是設(shè)備正常工作時(shí)間的概率分布函數(shù),是概率密度函數(shù)。則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),。于是：同時(shí)可求得：。24解：〔1,。所以,〔2所以,。25、解設(shè),,分別是,,的概率密度。利用公式〔3.5.5,由題意得：,。26解：27、解設(shè)為一月中第天的產(chǎn)煤量〔,是一月中總的產(chǎn)煤量。由于,且相互獨(dú)立,因此有,即。于是,28解：所以,。29、解〔1由于〔,且相互獨(dú)立,因此有〔見(jiàn)例3.5.1,由題意知,得〔2所求的概率為：〔3由題意可求：及于是所求的概率為：30解：,,,,。,,。,。31、解設(shè)的概率密度函數(shù)為。〔1串聯(lián)當(dāng)時(shí)計(jì)算可得當(dāng)時(shí),顯然有。因此的概率密度函數(shù)為為：〔2并聯(lián)當(dāng)時(shí)計(jì)算可得當(dāng)時(shí),顯然有。因此的概率密度函數(shù)為為：〔3備份由題意知,,于是當(dāng)時(shí),顯然有。當(dāng)時(shí)從而所求的概率密度函數(shù)為：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)32解：令,則所以,33、解〔1由題意得,對(duì)獨(dú)立觀察次,次觀察值之和的概率分布律為：,〔2的可能取值為：0,1,的可能取值為：0,1,因此的聯(lián)合分布律為：34解：令,則第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1、解每次抽到正品的概率為：,放回抽取,抽取次,抽到正品的平均次數(shù)為：2、方案一：平均年薪為3萬(wàn)方案二：記年薪為X,則,故應(yīng)采用方案二3、解由于：所以的數(shù)學(xué)期望不存在。4、,,,,,,,。5、解每次向右移動(dòng)的概率為,到時(shí)刻為止質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的平均次數(shù),即的期望為：時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置的期望為：6、不會(huì)7、解方法1：由于,所以為非負(fù)隨機(jī)變量。于是有：方法二：由于,所以,可以求出T的概率函數(shù)：于是8、,。9．解設(shè)棍子上的點(diǎn)是在[0,1]之間的,Q點(diǎn)的位置距離端點(diǎn)0的長(zhǎng)度為q。設(shè)棍子是在t點(diǎn)處跌斷,t服從[0,1]的均勻分布。于是：包含Q點(diǎn)的棍子長(zhǎng)度為T,則：,于是包Q點(diǎn)的那一段棍子的平均長(zhǎng)度為：10、,即先到的人等待的平均時(shí)間為20分鐘。11、解<I>每個(gè)人化驗(yàn)一次,需要化驗(yàn)500次〔II分成k組,對(duì)每一組進(jìn)行化驗(yàn)一共化驗(yàn)次,每組化驗(yàn)為陽(yáng)性的概率為：,若該組檢驗(yàn)為陽(yáng)性的話,需對(duì)每個(gè)人進(jìn)行化驗(yàn)需要k次,于是該方法需要化驗(yàn)的次數(shù)為：。將〔II的次數(shù)減去〔I的次數(shù),得：于是：當(dāng)時(shí),第二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)少一些；當(dāng)時(shí),第一種方法檢驗(yàn)的次數(shù)少一些；當(dāng)時(shí),二種方法檢驗(yàn)的次數(shù)一樣多。12、。13、解由題意知：,,計(jì)算可得A的位置是〔x,y,距中心位置〔0,0的距離是：,于是所求的平均距離為：14、〔1時(shí),,時(shí),,,由得,。,,,,,。15、解于是：16、記為進(jìn)入購(gòu)物中心的人數(shù),為購(gòu)買冷飲的人數(shù),則故購(gòu)買冷飲的顧客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,易知期望為。17、解：由題意知,其中。于是從而于是：又從而18、.19、解20、,21、解<1>設(shè)p表示從產(chǎn)品取到非正品的概率,于是有：,用X表示產(chǎn)品中非正品數(shù),X服從二項(xiàng)分布B<100,0.06>,有：〔參考77頁(yè)的例4.2.5用Y表示在該條件下正品數(shù),Y服從二項(xiàng)分布B<100,0.98>,于是22、23、解證明：24、故服從參數(shù)為的指數(shù)分布,故,。故。,,故。,,,25、解〔1由相關(guān)系數(shù)的定義,得：,其中通過(guò)計(jì)算得,即,從而說(shuō)明是不相關(guān)的?！?很顯然,不是相互獨(dú)立的。26、<1>,,,同理,,,故和正相關(guān)。又,故和不獨(dú)立。〔2故,即和不相關(guān)。又所以,故和相互獨(dú)立。27、解〔1由題意得：,結(jié)合已知條件,可求出：,由于A和B是獨(dú)立同分布的,于是〔A,B的聯(lián)合分布律為：ABP<A=i>1/161/81/161/41/81/41/81/21/161/81/161/4〔2〔3,其中所以：,說(shuō)明A和C是負(fù)相關(guān)的。28〔1不會(huì)寫〔2,, ,。29.解〔1證明：由于X和Y相互獨(dú)立,于是由題意得從而有〔2當(dāng)時(shí),和是不相關(guān)的；當(dāng),即時(shí),說(shuō)明和是正相關(guān)的當(dāng),即時(shí),說(shuō)明和是負(fù)相關(guān)的顯然,和是不獨(dú)立的30〔1,,,,,,,,,故和不獨(dú)立。故和正相關(guān)。31、解〔1泊松分布的表示式為：,于是通過(guò)計(jì)算有：故：因此若為正整數(shù),則眾數(shù)為和-1；當(dāng)不為正整數(shù)時(shí),則眾數(shù)為的整數(shù)部分[]。32〔1由知,和不相關(guān),等價(jià)于和相互獨(dú)立。,,,,,和分別為和的標(biāo)準(zhǔn)化變量。時(shí),,,則因,故定義知的中位數(shù)為,眾數(shù)為。故或時(shí),和不相關(guān)。又正態(tài)分布的獨(dú)立性與相關(guān)性相同,故或時(shí),和獨(dú)立且不相關(guān),否則不獨(dú)立且相關(guān)。33、解〔1由題意可知：,說(shuō)明,說(shuō)明,說(shuō)明〔2對(duì)于二維正態(tài)而言,兩變量不相關(guān)等價(jià)于兩變量獨(dú)立。由于,所以與相關(guān)且不獨(dú)立由于,所以與相關(guān)且不獨(dú)立由于,所以與不相關(guān)且獨(dú)立從而〔由88頁(yè)性質(zhì)4可以判斷出,與不相互獨(dú)立〔3計(jì)算有,于是,其中,大數(shù)定律及中心極限定理注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1、解〔1由于,且,利用馬爾科夫不等式,得〔2,,利用切比雪夫不等式,所求的概率為：2、解：,3、解服從參數(shù)為0.5的幾何分布,可求出于是令,,利用切比雪夫不等式,得有從而可以求出4、解：,。則,。,。,所以。5、解服從大數(shù)定律。由題意得：由根據(jù)馬爾科夫大數(shù)定律,可判斷該序列服從大數(shù)定律的。6、解：〔1,則連續(xù)。,則,有,則,。連續(xù),,則,有,則,。,,故<4>原式依概率收斂,即解〔1由題意得：根據(jù)推論5.1.4,可求得〔2由題意得：,根據(jù)中心極限定理,可知〔3,利用中心極限定理,可知從而8、解：,9、解〔1由題意得：記,引入隨機(jī)變量,且于是服從二項(xiàng)分布：方法一：〔Y的精確分布方法二〔泊松分布近似服從參數(shù)為的泊松分布方法三：〔中心極限定理近似服從于是：〔2設(shè)至少需要n次觀察記,這時(shí)于是近似服從經(jīng)查表有,從而求得n=11710、解：,,,則11、解〔1由題意得,引入隨機(jī)變量,且所求的概率為：〔2用表示第i名選手的得分,則并且同時(shí),于是所求的概率為：統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1、解：易知的期望為,方差為,則,所以,。2、解〔1由題意得：〔2服從正態(tài)分布,其中：,從而由于,,且相互獨(dú)立,因此：由于,所以由于,所以〔3由于,以及,因此有：3、解：〔1故4、解用表示的估計(jì)值,則。由題意得：經(jīng)查表有：5、解：〔1,因,故,所以。因,,故,由分布函數(shù)的的右連續(xù)性知,,即?！?因,故故6、解〔1由題意得：,于是：〔2由于,即,于是7、解：,,,顯然,和相互獨(dú)立。則,,,取,,,則8、解由題意得：,以及,從而有,即9、解：〔1和相互獨(dú)立,,,,,,,,因,,則10、解〔1由題意得：,,從而,〔2由題意可計(jì)算：〔3近似服從正態(tài)分布,于是11、解：,,,,12、解〔1,,,〔2,,,,〔3,,,13、解：和是統(tǒng)計(jì)量,,則,,則。14、解由題意得：,,于是：,從而：15、解：和分別是總體的期望和方差的無(wú)偏估計(jì)。又,,故,,。16、解〔1由于,,且相互獨(dú)立,以及,因此：,〔2由于,所以同時(shí)〔3由題意得：從而求得：〔4由〔3知：,又和,于是,從而化簡(jiǎn)后求得：17、解：,,且和相互獨(dú)立。則,則,又為連續(xù)分布,故。第七章參數(shù)估計(jì)注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤解由,,可得的矩估計(jì)量為,這時(shí),。解由,得的矩估計(jì)量為：。建立關(guān)于的似然函數(shù)：令,得到的極大似然估計(jì)值：4、解：矩估計(jì)：,,,,故解得為所求矩估計(jì)。極大似然估計(jì)：,,解得即為所求。解由,所以得到的矩估計(jì)量為建立關(guān)于的似然函數(shù)：令,求得到的極大似然估計(jì)值：6、解：<1>,由得為的矩估計(jì)量。令得,所以的極大似然估計(jì)為。<2>,令得為的矩估計(jì)量。,令得為的極大似然估計(jì)。,令得為的矩估計(jì)量。令得,為的極大似然估計(jì)。,令得為的矩估計(jì)量。,因,要使最大,則應(yīng)取最大。又不能大于,故的極大似然估計(jì)為,故。,由和得為的矩估計(jì)量。則令得為的極大似然估計(jì)。解〔1記,由題意有根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性可得概率的極大似然估計(jì)為：由題意得：,于是經(jīng)查表可求得的極大似然估計(jì)為8、<1>,則即為所求。解由題意得及所以和都是的無(wú)偏估計(jì)量又：以及有,說(shuō)明更有效。10、<1>依題,,與相互獨(dú)立,故是的無(wú)偏估計(jì)的充要條件為記個(gè)樣本的方差為,則,故,,故要使為最有效估計(jì),只須使在的條件下取最小值即可。令由得即為所求。解由題意可以求出：。建立建立關(guān)于的似然函數(shù)：,于是有：令,得到的極大似然估計(jì)值：。又：,無(wú)偏的。12、,,故為的矩估計(jì)量,且為無(wú)偏估計(jì)。顯然關(guān)于單調(diào)遞減。故取最小值時(shí)最大。又不小于,故為的極大似然估計(jì)。又,故即故為的有偏估計(jì)。解,于是得的矩估計(jì)量為：。建立建立關(guān)于的似然函數(shù)：,若使其似然函數(shù)最大,于是可以求出的極大似然估計(jì)值：。<2>由,可計(jì)算。設(shè),那么,當(dāng)時(shí),,于是從而：因此和都是的無(wú)偏估計(jì)量。又由于,所以比更有效。14、<1>,,為的單調(diào)遞增函數(shù),故取最大值時(shí)取最大值。又不大于,故為的極大似然估計(jì)。因易知所以,即是的有偏估計(jì)。是的無(wú)偏估計(jì)。,則是的矩估計(jì)量且為無(wú)偏估計(jì)。,故比更有效。由切比雪夫不等式知,,故與為的相合估計(jì)。15、解由于,可求出的矩估計(jì)量為：又根據(jù)的似然函數(shù)：,令,得到的極大似然估計(jì)量：因此既是的矩估計(jì)量,也是極大似然估計(jì)量。,以及。用作為的估計(jì)量,其均方誤差為：于是,取時(shí),在均方誤差準(zhǔn)則下,比更有效。16、<1>,故為的矩估計(jì)量,且為無(wú)偏估計(jì)。故,故為的相合估計(jì)。易知為的單調(diào)遞減函數(shù),故取最小值時(shí),取最大值。又不小于,故為的極大似然估計(jì)。故,故為的有偏估計(jì)。所以故為的相合估計(jì)。解〔1只對(duì)X做一次觀察。由題意得：X的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)以及其聯(lián)合概率密度函數(shù)分別為：,,從而的條件概率密度函數(shù)為,于是的貝葉斯估計(jì)為：〔2對(duì)X做三次觀察。由題意得：的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)以及其聯(lián)合概率密度函數(shù)分別為：,,從而的條件概率密度函數(shù)為：,于是的貝葉斯估計(jì)為：18、<1>因與參數(shù)無(wú)關(guān),故可取為關(guān)于的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題的樞軸量。設(shè)常數(shù),滿足,即此時(shí),區(qū)間的平均長(zhǎng)度為,易知,取,時(shí),區(qū)間的長(zhǎng)度最短,從而的置信水平為的置信區(qū)間為。解由題意得：,由題意得：的矩估計(jì)量為：。由題意得：,設(shè)存在兩個(gè)數(shù)和,使得：,即,經(jīng)查表得到,,于是的置信水平為80%的雙側(cè)置信區(qū)間為：〔20、易知的置信水平為95%的置信區(qū)間為將,,,代入得的置信水平為95%的置信區(qū)間為。解設(shè),由題意得,,,由給定的置信水平95%,利用Excel得到,所以的置信水平為95%的置信區(qū)間為：22、的置信水平為99%的置信區(qū)間為將,,及的值代人得的置信水平為99%的置信區(qū)間為。解由題意得,,于是的置信水平為90%的置信區(qū)間為：24、已知,,,,,,的置信水平為95%的置信區(qū)間為其中,查EXCEL表得的值,將各值代人得的置信水平為95%的置信區(qū)間為依題,故可認(rèn)為無(wú)顯著差異。解〔1設(shè)和分別是第一種和第二種機(jī)器的平均分鐘,取的無(wú)偏估計(jì)為,由于兩個(gè)總體的方差相等,所以有,根據(jù)已知條件知,,,,,可以求得于是,的置信水平為95%的置信區(qū)間為：從第一問(wèn)的結(jié)果可以看出有顯著差異。26、,,,,的置信水平為95%的置信區(qū)間為查EXCEL表得和的值,將各值代人得的置信水平為95%的置信區(qū)間為這些資料不足于說(shuō)明不同于。28易知置信水平為的置信區(qū)間為由已知資料計(jì)算得,,,故所求的置信區(qū)間為。27、解〔1設(shè)和分別是郊區(qū)A和郊區(qū)B的居民收入方差,則：,根據(jù)已知條件知,,,,,于是,的置信水平為95%的置信區(qū)間為：可見(jiàn)兩郊區(qū)居民收入的方差有顯著差異,郊區(qū)B居民的貧富差距程度比郊區(qū)A居民嚴(yán)重?！?設(shè)和分別是郊區(qū)A和郊區(qū)B的居民平均收入,取的無(wú)偏估計(jì)為,由于兩個(gè)總體的方差相等,所以有,可以求得于是,的置信水平為95%的置信區(qū)間為：,可見(jiàn),兩郊區(qū)居民的平均收入方差有顯著差異,郊區(qū)A居民平均收入比郊區(qū)B居民低。第八章假設(shè)檢驗(yàn)注意：這是第一稿〔存在一些錯(cuò)誤1、解由題意知：〔1對(duì)參數(shù)提出假設(shè)：,〔2當(dāng)為真時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,又樣本實(shí)測(cè)得,于是〔3由〔2知,犯第I類錯(cuò)誤的概率為0.0207〔4如果時(shí),經(jīng)查表得,于是〔5是。2、故將希望得到支持的假設(shè)""作為原假設(shè),即考慮假設(shè)問(wèn)題：,：因未知,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,由樣本資料,,和代入得觀察值,拒絕域?yàn)?查分布表得,故接受原假設(shè),即認(rèn)為該廣告是真實(shí)的。3、解〔1由題意得,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其拒絕域?yàn)楫?dāng)時(shí),犯第II類錯(cuò)誤的概率為：〔2,當(dāng)未知時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時(shí),檢驗(yàn)犯第I類錯(cuò)誤的概率為：4、<1>提出假設(shè)：,：建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其中在顯著水平下,檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?由樣本資料得觀察值,故有顯著差異。的95%的置信區(qū)間為,由樣本資料得的95%的置信區(qū)間為。5、解〔1。由題意得,樣本測(cè)得的值為,,,經(jīng)查表得,于是均值的95%的置信區(qū)間為：〔2全國(guó)男子身高的平均值是169.7,從〔1中的結(jié)果中,可以看出該地區(qū)男子的身高明顯低于全國(guó)水平。6、假設(shè)兩組數(shù)據(jù)均來(lái)自正態(tài)總體,設(shè)表示服用減肥藥前后體重均值的差,將減肥藥無(wú)效即""作為原假設(shè),即考慮假設(shè)問(wèn)題：,：由數(shù)據(jù)資料可知減肥前后數(shù)據(jù)分散程度變化不大,故可以為兩總體方差相等,因此可采用檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,其中,由樣本資料得,,,,,分布自由度為,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為,值為,故拒絕原假設(shè),即認(rèn)為該藥的減肥效果明顯。7、解由題意得,建立檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇建設(shè)：,又。當(dāng)未知時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,又樣本實(shí)測(cè)得,于是利用Excel計(jì)算得所以有充分的理由拒絕原假設(shè),不需要退貨。8、<1>因檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,故的置信水平為95%的置信區(qū)間為,將,代入得,即為所求。<2>,當(dāng)成立時(shí),,拒絕域?yàn)榛?將,,代入得,觀察值,故接受。9、解〔1由樣本資料。建立檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)：,由于未知,取檢驗(yàn)量,將樣本資料有：得到觀察值。利用Excel計(jì)算得。由的值沒(méi)有充分的理由拒絕原假設(shè),即沒(méi)有充分的理由認(rèn)為〔2由題意知,于是的95%的置信區(qū)間為：10、假設(shè)：,：取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,其中。當(dāng)成立時(shí),,由樣本資料得,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為,值為,故拒絕原假設(shè),即認(rèn)為。11、解<1>相同設(shè)和分別是甲、乙兩人頁(yè)出錯(cuò)字?jǐn)?shù),并且分別服從正態(tài)分布和。建立檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)：,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,當(dāng)成立時(shí),。根據(jù)樣本資料計(jì)算結(jié)果如下：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為。利用Excel得,,即,因此不拒絕,可以認(rèn)為甲、乙兩人頁(yè)出錯(cuò)字?jǐn)?shù)的方差是相同的?！?在接受方差相等的假設(shè)下,我們采用精確t檢驗(yàn)對(duì)兩組均值進(jìn)行比較,考率兩總體的右邊檢驗(yàn)：,兩組合樣本方差為,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為,的值,因此我們拒絕原假設(shè)的判斷,從而甲頁(yè)均出錯(cuò)不是顯著少于乙的。12、<1>取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,當(dāng)成立時(shí),,拒絕域?yàn)?檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值,查表得,,即,故接受。由<1>知,接受,此時(shí)的置信水平為置信區(qū)間為,其中,將樣本數(shù)據(jù)代入得即為所求。13、解〔1設(shè)"一周內(nèi)去過(guò)教堂"的人的比例為。由0—1分布性質(zhì)和中心極限定理,知近似服從,于是,由題意得樣本的觀察值為,從而求得的置信區(qū)間為〔詳細(xì)步驟見(jiàn)133頁(yè)〔2設(shè),由〔1的結(jié)果我們有充分的理由接受原假設(shè),即認(rèn)為不足一半的人去過(guò)教堂。14、考慮假設(shè)問(wèn)題：在中參數(shù)未知,由極大似然法求得參數(shù)的估計(jì)為,則,,,列表求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值為,查分布表得,故沒(méi)有充分理由拒絕原假設(shè),即可認(rèn)為符合泊松分布。15、解記為數(shù)字i的概率,為檢驗(yàn)過(guò)程中數(shù)字i出現(xiàn)的頻數(shù),為總試驗(yàn)次數(shù)?？紤]假設(shè)問(wèn)題：這時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值為查表得,因此接受16、假設(shè)：,則,,,則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值為,利用EXCEL計(jì)算得,故接受假設(shè),即認(rèn)為服從幾何分布。17、解考慮假設(shè)問(wèn)題：利用極大似然法求得參數(shù)的估計(jì)為。當(dāng)原假設(shè)成立,X的分布函數(shù)為：根據(jù)已知條件計(jì)算則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值為