第三章泊松過程例1泊松過程的一個(gè)實(shí)例背景：考慮在時(shí)間間隔(0,t]中某保險(xiǎn)公司收到的某類保險(xiǎn)的理賠次數(shù)N(t),它是一個(gè)計(jì)數(shù)過程.此類過程有如下特點(diǎn)：(1)零初值性：N（0）=0；(2)獨(dú)立增量性：在不同的時(shí)間區(qū)段內(nèi)的理賠次數(shù)彼此獨(dú)立；(3)平穩(wěn)增量性：在同樣長的時(shí)間區(qū)段內(nèi)理賠次數(shù)的概率規(guī)律是一樣的；(4)普通性：在非常短的時(shí)間區(qū)段Δt內(nèi)的理賠次數(shù)幾乎不可能超過1次,且發(fā)生1次理賠的概率近似與Δt成正比。例2顧客到達(dá)某商店服從參數(shù)λ=4人/小時(shí)的泊松過程，已知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，而到11：30時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。解：設(shè)X(t)表示在時(shí)間t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)

P(X(0.5)=1，X(2.5)=5)=P(X(0.5)=1，X(2.5)-X(0.5)=4)=P(X(0.5)=1)P(X(2)=4)3.2泊松過程的基本性質(zhì)數(shù)字特征

泊松過程的時(shí)間間隔Tn與等待時(shí)間Wn的分布

到達(dá)時(shí)間Wn的條件分布數(shù)字特征均值函數(shù)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)

推導(dǎo)過程設(shè){X(t),t

0}是參數(shù)為

的泊松過程，對任意t,s

[0,+

)，若s<t

，則有協(xié)方差函數(shù)泊松過程的特征函數(shù)為泊松過程的時(shí)間間隔Tn與

等待時(shí)間Wn的分布

設(shè){X(t),t

0}是參數(shù)為

的泊松過程，

X(t)表示到t時(shí)刻為止事件A發(fā)生的次數(shù),

Wn表示第n次事件A發(fā)生的時(shí)間(n

1)，也稱為第n次事件A的等待時(shí)間,或到達(dá)時(shí)間,

Tn表示第n-1次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔。等待時(shí)間Wn與時(shí)間間隔Tn均為隨機(jī)變量時(shí)間間隔Tn

設(shè){X(t),t

0}是參數(shù)為

的泊松過程，{Tn,n

1}是相應(yīng)第n次事件A發(fā)生的時(shí)間間隔序列，則隨機(jī)變量Tn是獨(dú)立同分布的均值為1/

的指數(shù)分布。證：(1)n=1

事件{T1>t}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)在[0,t]內(nèi)沒有事件發(fā)生T1服從均值為1/

的指數(shù)分布(2)n=2P{T2>t|T1=s}=P{在(s,s+t]內(nèi)沒有事件發(fā)生|T1=s}=P{X(s+t)-X(s)=0|X(s)-X(0)=1}=P{X(s+t)-X(s)=0}T2服從均值為1/

的指數(shù)分布(3)n

1時(shí)間間隔Tn的分布為概率密度為等待時(shí)間（到達(dá)時(shí)間）Wn

設(shè){X(t),t

0}是參數(shù)為

的泊松過程，{Wn,n

1}是相應(yīng)等待時(shí)間序列，則Wn服從參數(shù)為n與

的

分布，概率密度為證明：，Ti為時(shí)間間隔到達(dá)時(shí)間Wn的分布

參數(shù)為n與

的

分布又稱愛爾蘭分布，它是n個(gè)相互獨(dú)立且服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的分布。到達(dá)時(shí)間Wn的條件分布假設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生1次，我們要確定這一事件到達(dá)時(shí)間W1的分布。因?yàn)椴此蛇^程有平穩(wěn)獨(dú)立增量，固有理由認(rèn)為[0,t]內(nèi)長度相等的區(qū)間包含這個(gè)時(shí)間的概率相等。換言之，到達(dá)時(shí)間在[0,t]上服從均勻分布。

對s<t，有對s

t，有從而W1的條件分布函數(shù)為條件分布密度函數(shù)為設(shè){X(t),t

0}是泊松過程，已知在[0,t]內(nèi)事件A發(fā)生n次，則這n次事件的到達(dá)時(shí)間W1<W2<

<Wn的條件概率密度為例1

設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t,對于0<k<n,求在[0,s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率解：參數(shù)為n和s/t的二項(xiàng)分布例2

已知儀器已知儀器在[0,t]內(nèi)發(fā)生振動的次數(shù)X(t)是具有參數(shù)λ的泊松過程。若儀器振動k(k≥1)次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻t0

正常工作的概率。解：儀器發(fā)生第k振動的時(shí)刻Wk

，則Wk

的概率分布為Γ分布：故儀器在時(shí)刻t0

正常工作的概率為：例3

設(shè)和是分別具有參數(shù)和的相互獨(dú)立的泊松過程，證明（1）是具有參數(shù)的泊松過程；（2）不是泊松過程。證明：（1）

即是具有參數(shù)的泊松過程。（2）

故不是泊松過程。由例3可得以下性質(zhì)：設(shè){X(t),t

0}、{Y(t),t

0}是相互獨(dú)立且強(qiáng)度分別為λ和μ的齊次泊松過程，則Z={Z(t)=X(t)+Y(t),t

0}是λ+μ的齊次泊松過程。（泊松過程具有可加性）練習(xí)題1．設(shè)電話總機(jī)在內(nèi)接到電話呼叫數(shù)是具有強(qiáng)度（每分鐘）λ為的泊松過程，求（1）兩分鐘內(nèi)接到3次呼叫的概率；（2）“第二分鐘內(nèi)收到第三次呼叫”的概率。答案1．（1）（2）2．設(shè)是具有參數(shù)的泊松過程，假定是相鄰事件的時(shí)間間隔，證明

（即“泊松過程無記憶”性）。2．證明：是相鄰事件的時(shí)間間隔，故。3．設(shè)到達(dá)某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達(dá)率分別為，，，且均為泊松過程，它們相互獨(dú)立。若把這些汽車合并成單個(gè)輸出過程（假定無長度、無延時(shí)），求（1）相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔概率密度；（2）汽車之間的不同到達(dá)時(shí)刻的間隔概率密度。3．解：（1）相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時(shí)間間隔，故其概率密度函數(shù)為（2）據(jù)題意，汽車合并成單個(gè)輸出過程是參數(shù)為的泊松過程，故汽車之間的不同到達(dá)時(shí)刻的間隔服從指數(shù)分布，即其概率密度函數(shù)為

4．設(shè)是具有參數(shù)的泊松過程，證明（1）（2）

證：5．設(shè)和設(shè)分別是具有參數(shù)和的相互獨(dú)立的泊松過程，令和是的兩個(gè)相繼泊松型事件出現(xiàn)的時(shí)間，且對于，有和，定義，求的概率分布。解：令，則，【注意：由示性函數(shù)得：】

第3章泊松過程主講人：

侯圣賢王金濤Word及PPT制作： 侯圣賢王金濤 陳海龍趙夢龍3.1引言3.2相關(guān)概念及泊松過程的定義3.3泊松過程的基本性質(zhì)

例3.4

已知儀器在[0,t]內(nèi)發(fā)生振動的次數(shù)X(t)是具有參數(shù)

的泊松過程。若儀器振動k(k

1)次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻t0正常工作的概率。

解:故障時(shí)刻就是儀器發(fā)生第k振動的時(shí)刻Wk，服從

分布:

故儀器在時(shí)刻t0正常工作的概率為:例3.5設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過程，它們在單位時(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為

和

，記

為過程

的第k次事件到達(dá)時(shí)間，

為過程的第1次事件到達(dá)時(shí)間，求,即第一個(gè)泊松過程的第k次事件發(fā)生比第二個(gè)泊松過程第1次事件發(fā)生早的概率。

解：

設(shè)Wk(1)

的取值為x，W1(2)的取值為y，由（3.8）式可得：則：其中D為由

y=x與y軸所圍區(qū)域，f(x,y)為Wk(1)與W1(2)的聯(lián)合概率密度，故:所以：

例3.6

設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對于0<k<n，求在[0,s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率。

解：

例3.7

設(shè)在[0,t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k次(k<n)事件A發(fā)生的時(shí)間Wk的條件概率密度函數(shù)。

解：注，fWk(s)可由定理3得出。

例3.8儀器受到振動而引起損傷。若振動是按強(qiáng)度為λ的泊松過程發(fā)生，第k次振動引起的損傷為Dk

，D1,D2,???,

是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且和

{N(t),t≥0}獨(dú)立，其中N(t)表示[0,t]時(shí)間段儀器受到震動次數(shù)。又假設(shè)儀器受到震動而引起的損傷隨時(shí)間按指數(shù)減少，即如果震動的初始損傷為D，則震動之后經(jīng)過時(shí)間t后減小為

。假設(shè)損傷是可疊加的，

即在時(shí)刻t的損傷可表示為解：分析題目可知:其中為儀器受到第k次震動的時(shí)刻，

由于，

相互獨(dú)立的均勻隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量，故：再由定理4知:在N(t)=n的條件下是

[0,t]上3.3.3剩余壽命與年齡的分布

設(shè)X(t)為在(0,t]內(nèi)事件A發(fā)生的個(gè)數(shù)，Wn表示第n個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻,WX(t)表示在t時(shí)刻前最后一個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻，WX(t)+1表示在t時(shí)刻后首次事件發(fā)生的時(shí)刻，令：稱S(t)為剩余壽命或剩余時(shí)間，V(t)為年齡。由定義可知：

定理5設(shè){X(t),t≥0}是具有參數(shù)λ泊松過程，則有：（2）V(t)的分布為“截尾”的指數(shù)分布，即（1）S(t)與{Tn,n≥1}同分布,即證明：注意到，由：即t>x時(shí)：t≤x時(shí)：P{V(t)>x}=1

例3.9設(shè)到達(dá)火車站的顧客流遵循參數(shù)λ為的泊松流{N(t),t≥0},火車t時(shí)刻離開車站，求在到達(dá)車站的顧客等待時(shí)間總和的期望值。解：設(shè)第i個(gè)顧客到達(dá)火車站的時(shí)刻為Si，則[0,t]內(nèi)到達(dá)車站的顧客等待時(shí)間總和為：由，因此1.設(shè)某個(gè)中子計(jì)數(shù)器對到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子只是沒個(gè)一個(gè)記錄一次，假設(shè)粒子是按平均率為每分鐘四個(gè)的poisson過程到達(dá)，令T是兩個(gè)相繼被記錄的粒子之間的時(shí)間間隔（以分鐘為單位），試求（1）T的概率密度函數(shù)；（2）P{T≥1}.解設(shè)X1，X2

···為被記錄的粒子之間的時(shí)間間隔，則它們是相互獨(dú)立且同分布的。只要求出X1的分布，即為T的分布。由于{X1>t}等價(jià)于在時(shí)間[0,t]內(nèi)至多到達(dá)一個(gè)粒子，故有P{X1>t}=P{N(t)≤1}=P{N(t)=0}+P{N(t)=1}=e-4t+4te-4tFX1(t)=P{X1≤t}=1-P{X1>t}=1-e-4t-4te-4t,t>0

fT(t)=fx1(t)=16te-4t,t>0P{T≥1}2.設(shè)電話總機(jī)在（0，t]內(nèi)接到電話呼叫次數(shù)X(t)是具有強(qiáng)度（每分鐘）為λ的泊松過程，求（1）兩分鐘內(nèi)接到3次呼叫的概率；（2）“第二分鐘收到第三次呼叫”的概率。（3）若λ=2，求t時(shí)刻到X(t)+1時(shí)刻的概率密度。

解（1）根據(jù)定義2（2）正確答案：（3）設(shè)W（t）是t時(shí)刻到X(t)+1時(shí)刻的時(shí)間間隔{W（t）>x}等價(jià)