2021高考仿真模擬卷(三)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.(2020.山東濰坊一模)設(shè)集合A={2,4},B={xCN|x_3W0},貝ljAUB=

()

A.{123,4}B.{0,1,2,34)

C.{2}D.{x|xW4}

答案B

解析???集合B={X€N|X—3W0}={0,1,2,3},集合A={2,4},AU8=

(0,1,2,3,41.故選B.

2.(2020.遼寧沈陽東北育才學(xué)校第八次模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=5,則在

復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

55(2-i)10-5i

解析由(2+i)z=5得2=亍匚=左1胡~~~=-7—=2-i,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)

N+1+1八N-J

的點(diǎn)z的坐標(biāo)為(2,-1),其位于第四象限.故選D.

3.(2020?山東青島三模)如圖是一個2X2列聯(lián)表，則表中”,人的值分別為()

總計

XIb21e

X2c2533

總計ad106

A.96,94

B.60,52

C.52,54

D.50,52

答案B

解析由表格中的數(shù)據(jù)可得c=33-25=8,d=21+25=46,.”=106-46

=60,人=60-8=52.故選8.

Y

4.（2020.海南中學(xué)高三摸底）函數(shù)./U）=而質(zhì)的圖象大致是（）

答案D

解析因為八-x）=-/U）,所以函數(shù)7U）是奇函數(shù)，排除A,C,又當(dāng)04<1

Y

時，於）=而7<0,排除B,故選D.

5.已知。+1）6（依-1）2的展開式中，V的系數(shù)為56,則實數(shù)。的值為（）

A.6或-1B.一1或4

C.6或5D.4或5

答案A

解析因為(x+l)6(ar-l)2=(x+1)6(//一2辦+1),所以(x+1戶(辦-的展

開式中x3的系數(shù)是以+CZ(-2a)+Cki2=6a1-30a+20,所以6a2-30a+20=56,

解得a=6或-1.故選A.

6.(2020?山東青島高三上學(xué)期期末)在△ABC中，AJB+AC=2AD,AE+2DE

=0,^EB=xAB+yAC,則()

A.y=2xB.y=-2x

C.x=2yD.x=-2y

答案D

解析如圖所示，?巍+/=2最)，.?.點(diǎn)。為邊的中點(diǎn).?危+2成=

-?-?-?[-?]>>-?]-?]-?-?

0,,".AE=—2DE,DE=—~^AD=-j(AA+AC).又=]C8=/G48-AC),

—A—?—A1—?—?1―?—A2~?1-?-?―?―A2

EB-DB-DE-手加-AC)+￡A8+AC)--耳AC.又由=xAB+yAC,「.x=§,

y=-J,即x=-2y.故選D.

7.（2020.全國卷III）已知函數(shù)兀r）=sinx+熹，貝女）

A../U）的最小值為2

B.7U）的圖象關(guān)于y軸對稱

c.#x）的圖象關(guān)于直線X=7T對稱

D.段）的圖象關(guān)于直線光若對稱

答案D

解析當(dāng)-兀vxvO時，sinxvO,?x）=sinx+熹v0,故A錯誤；於）的定

義域為{xlxWE,k￡Z},艮—x）=-siiu-4-=.\/U）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)

于原點(diǎn)對稱，故B錯誤;-x）=-situ-6:壬Ax），火兀-x）=sior+去:=段）,

.\/U）的圖象關(guān)于直線x=T對稱，故C錯誤，D正確.故選D.

8.（2020?濟(jì)南一模）已知直線y=ox+貼＞0）與曲線＞=/有且只有兩個公共

點(diǎn)A（xi,yi）,8（x2,yi）,其中xi＜x2,貝1]2XI+X2=（）

A.-1B.0

C.1D.a

答案B

解析根據(jù)題意，直線y=以+匕S>0）一定是曲線y=爐的切線，不妨設(shè)Ag,

V）為切點(diǎn)，則切線方程可表示為y-N=3X（x-尤I）,與y=V聯(lián)立得％3-H=3x?（x

-xi）.整理得（x-xi）（f+xix-2x?）=0,即（%一%1）2（》+2尢1）=0.所以％=尢1或%=一

2xi,所以X2=-2XI,所以2XI+及=0.故選B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得3分.

9.（2020.?？谑懈呖寄M演練）小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時

間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：

所需時間（分鐘）30405060

線路一0.50.20.20.1

線路二0.30.50.10.1

則下列說法正確的是（）

A.任選一條線路，“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是

對立事件

B.從所需的平均時間看，線路一比線路二更節(jié)省時間

C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一

D.若小張上、下班走不同線路，則所需時間之和大于100分鐘的概率為0.04

答案BD

解析“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是互斥事件而不

是對立事件，A錯誤；線路一所需的平均時間為30X0.5+40X0.2+50X0.2+

60X0.1=39分鐘,線路二所需的平均時間為30X0.3+40X0.5+50X0.1+60X0.1

=40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時間，B正確；線路一所需時間小于45

分鐘的概率為0.7,線路二所需時間小于45分鐘的概率為0.8,小張應(yīng)該選線路二,

C錯誤;所需時間之和大于100分鐘，則線路一、線路二所需的時間可以為（50,60）,

（60,50）和（60,60）三種情況，故所需時間之和大于100分鐘的概率為0.2X0.1+

0.1X0.1+0.1X0.1=0.04,D正確.

10.（2020.益陽調(diào)研）下面的結(jié)論中，正確的是（）

A.若aCR,貝3+/2小

B.若Q>0,b>0,〃+〃貝Ija+/?N2

a+ma

C.若b>a>0,m>0,貝lj.+/衛(wèi)

D.若a>b>0,且|lna\=|lnb\,貝ljah=1

答案BCD

33

解析對于A,若a<0時，貝IJa+7<0,不等式小不成立，故A錯

誤；對于B,若。>0,/?>0,貝IJa+b=Z+]=H，故"=1.所以。+〃>2兩=

a+mnab+bm-ab-amm（b-a）

2,故B正確；對于C,若”>a>0,加>0,則京-]=―訴而一=而工而>°，

a+ma

所以訂故C正確；對于D,若a>b>0,且|lna\=|lnb\,則Ina>lnb,且

a>1,0<b<1,In?+In/?=0,所以"=1,故D正確.

li.（2021.長沙一中高三月考）如圖，在正方體ABC。-中，點(diǎn)P在

線段BG上運(yùn)動，則下列判斷中正確的有（）

A.平面PBi￡）_L平面ACDi

B.AiP//平面AC。1

C.異面直線4P與A*所成角的取值范圍是（0,1

D.三棱錐D-APC的體積不變

答案ABD

解析對于A,易知。B_L平面AC）,08在平面PB。內(nèi)，從而平面PB。

1平面ACOi,A正確；對于B,易知平面84。//平面AC。，4P在平面84。

內(nèi)，所以4P//平面AC。，故B正確；對于C,4P與AOi所成的角即為4P與

8G所成的角，AIB=BCI=/1ICI,當(dāng)P與線段BG的兩端點(diǎn)重合時，AiP與A"

TTTT

所成角取最小值？當(dāng)P與線段BCx的中點(diǎn)重合時，AiP與ADi所成角取最大值十

故4P與Q所成角的范圍是岳升故C不正確；對于D,由選項B得3G//

平面ADC,故8。上任意一點(diǎn)到平面AOC的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，

△ADC為底面，則三棱錐尸-AOC的體積不變，又犯一APC=VP_RC,所以三

棱錐OLAPC的體積不變，故D正確.故選ABD.

12.(2020.山東德州二模)拋物線C：/=分的焦點(diǎn)為F,P為拋物線。上一

動點(diǎn)，設(shè)直線I與拋物線。相交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M(2,2),下列結(jié)論正確的是()

A.|PM+|PF|的最小值為3

B.拋物線C上的動點(diǎn)到點(diǎn)”(0,3)的距離的最小值為3

C.存在直線/,使得A,8兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-3=0對稱

D.若過A,B的拋物線的兩條切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)T,則A,8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之

和的最小值為2

答案AD

解析對于A,設(shè)/'是拋物線的準(zhǔn)線，過P作PN1/'于N,則1PM+IPQ

=\PM\+\PN]^3,當(dāng)且僅當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時等號成立.所以IPM+FW的最

小值是3,A正確；

對于B,設(shè)P(x,y)是拋物線上任一點(diǎn)，即/=4y,|PH|=/+(y-3>=

[4—)2="_1)2+8,當(dāng)y=l時，|P”|min=m=2啦，B錯誤；對于C,

假設(shè)存在直線/,使得A,3兩點(diǎn)關(guān)于直線x+y-3=0對稱，設(shè)直線/的方程為x

卜2=4y,

一y+〃z=O,由j得/一?-4m=0,所以/=16+16"2>O,m>-1,

x-y+m=0

X\+X2

設(shè)A(xi,yi),8(X2,yi),45的中點(diǎn)為。(xo,yo),貝Ijxi+X2=4,則xo=—3—=2,

yo=xo+m=2+加，點(diǎn)Q必在直線x+y-3=0上,所以2+2+〃？-3=0,機(jī)=-1,

這與直線/與拋物線。相交于兩點(diǎn)矛盾，故不存在直線/,使得A,8兩點(diǎn)關(guān)于直

線尤+y—3=0對稱，C錯誤；對于D,設(shè)A(xi,yi),Bg"),由f=4y,得y

=*,所以y'=%,則切線AT的方程為y-yi=%i(x-xi),即

卜="一獷’

同理，切線8T的方程為y=2爾-4制，由j][解得

卜二中次一科，

X=2(^1+X2),

]由題意T在準(zhǔn)線y=-1上，所以干應(yīng)=-1,x\xi=-4,所以

{產(chǎn)種總，

yi+*=:(X+￡)=([(X1+X2)2-ZriX2]=F(X1+X2)2+2,所以當(dāng)XI+九2=0時，y\+

>2=2為最小值.D正確.故選AD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

log3(x+1)-2,x20,

13.(2020.山東泰安四模)已知函數(shù)/(x)=".、則1-2020)

伏x+3),x<n0,

答案-1

解析根據(jù)題意，當(dāng)％<0時，段)=/+3),所以犬-2020)=火2-3X674)=

.*2),當(dāng)x20時，於)=log3(x+l)-2,所以>2)=1。83(2+1)-2=-1.

14.(2020.山東臨沂一模)已知雙曲線最-方=1(4>0,比>0)的一條漸近線方程

為y=&x,左、右焦點(diǎn)分別為尸2,點(diǎn)A在雙曲線上，且AF21FF2,則該雙

曲線的離心率為sin/ABB=.

答案小3

解析一條漸近線方程為y=故人=也見。=小凡故

b1

不妨取A（c,9,故sin/”而=紫=廬J=

一+。

a2

15.（2020.遼寧沈陽東北育才學(xué)校第八次模擬）圓錐S。（其中S為頂點(diǎn)，。為

底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是2:1,若圓錐的底面半徑為3,則圓錐S。的

內(nèi)切球的表面積為.

答案12兀

解析設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,內(nèi)切球的半徑為R.依題意，圓錐

（其中S為頂點(diǎn)，。為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是2：1,所以（?！ǎ海?）

=2：1,因為/'=3,所以/=6.利用軸截面，根據(jù)等面積可得gx6><m^=；X（6

+6+6）R,:.R=小,

「?該圓錐內(nèi)切球的表面積為4兀X（小>=12兀

16.（2020.山東濰坊一模）定義函數(shù)=其中國表示不超過x的最大

整數(shù)，例如：0.3]=1,[-1.5]=-2,⑵=2.當(dāng)x€[0,"）5€N*）時，/）的值域

20201

為4,記集合4中元素的個數(shù)為如，則產(chǎn)，一的值為.

Cli-L

“22019

口木1010

。x€[0,1),

1,x€fl,2),

解析由題意可得，田=<…

-1,X€1,江

。x€[0,1),

X,xe[1,2),

印二j…田]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是

<(n-l)x,x€[n-1,ri),

n(n-1)n(n-1)

1,1,2,3，…，〃-1,.\an=1+1+2+3+…+(〃-1)=1+2,???〃〃-1=,

,_1_____^

??斯-1一〃(〃-1)一名〃-1

20201111

丁?.21~~~+…+~=

，力ai-1a2-1Q3-1672020-1

riiiii、ri)2019

2X(1-2+2-3+,"+2OT9-2O2OJ=2X11-2O2OJ=1OT()-

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.(2020?全國卷。)(本小題滿分10分)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝滿足0+歐=4,.

-ci\—8.

(1)求他"｝的通項公式;

(2)記Sn為數(shù)列｛10g34"｝的前〃項和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.

解(1)設(shè)等比數(shù)列僅"｝的公比為4,根據(jù)題意，有

a\+a\q=4,a\=\,

解得°3分

a\(f--?i=8,匕=3,

所以&=3"「5分

(2)令bn=log3?n=log33"-l=〃一1,

〃(0+n-1)n(n-1)

則s2=-2-8分

根據(jù)Sm+Sm+1=Sm+3,可得

m(tn-1)m(m+1)[m+2)(???+3)

2+~"2-=2'

整理得加2一5/〃-6=0,因為〃？＞0,所以〃？=6.10分

18.(2020.山東日照二模)體小題滿分12分)在①辰+比=/+洛②^acosB

=bsinA,③小sinB+cosB=2,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，

并解決該問題.

已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a",c,,A=l，b=y/2.

⑴求角W

⑵求△ABC的面積.

解若選擇①/r+ac=tr+c2,

221

-

(1)由余弦定理，得cosB==2

7T

因為8€(0,兀)，所以8=14分

(2)由F核定理*--一＞得”.姆達(dá)-上上后

(2)田止弦/E埋燈必一足小可”sinB一近一3，

2

L.7,兀c兀L一、，一兀兀5兀I八

因為A=W，B=31所以。=兀_區(qū)_w=行.7分

5兀，兀兀、71717171^6+yfl.]

所以sinC=sin丘=sinQ+制=sin^cos^+cos^sin^=----,所以S^ABC=5

,-r(2,歷1+啦3+Vj

若選擇②小acosB=bsinA,

(1)由正弦定理，得、「sinAcosB二sinBsinA,

因為sinAWO,所以M§cos3=sin3,tanB=y(3,

7T

因為86(0,7i),所以B=54分

(2)同選擇①.12分

若選擇③小sinB+cosB=2,

⑴由和角公式得2sin(B+野=2,所以sin,+^=1.

因為36(0,it),所以8+注仁，腎)，所以3+5=],

7?

所以3=14分

⑵同選擇①.12分

19.(2020.山東德州二模)(本小題滿分12分)如圖，已知平面EBC1平面ABC,

直線。Al平面ABC,S.DA=AB=AC.

I)

⑴求證：DA"平面EBC；

TT

(2)若=OE1平面BCE,求二面角A-BD-E的余弦值.

解(1)證明：過點(diǎn)E作9/1BC于點(diǎn)”，

因為平面E8CJ_平面ABC,又平面ESCH平面ABC=BC,E”U平面EBC,

所以平面ABC,3分

又因為D41平面ABC,所以DAIIEH,因為E"U平面EBC,D4a平面EBC,

所以DA//平面EBC.5分

TT

(2)因為。E1平面EBC,所以/OEC=5，

由AB=AC可知08=OC,又DE=DE,所以&RtZ\OEC,

貝ljBE=CE,

所以點(diǎn)”是BC的中點(diǎn)，連接則

所以平面EBC,則DE"AH,AHLEH,

所以四邊形D4”E是矩形.

以”為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以"8,HA,HE所在直線為x,y,z軸建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)D4=2a,則E(0,0,2a),

A(0,小a,0),B(a,O,O),￡)(0,y[3a,2a).

設(shè)平面A3。的法向量為機(jī)=(xi,yi,zi),

又AB=(〃，—y[3af0),A。=(0,0,2a).

m-AB=0,\ax\-y[3ay\=0,

得。J

{tn-AD=Q12azi-0,

取yi=i,得帆=(小,i,o).8分

設(shè)平面BOE的法向量為〃=(九2,yi,Z2),

因為80=(-a,事a,2a),BE=(-a,0,2a).

n-BD=Q,ax2-4ay2-2az2=0,

得,

axi-2az2=0,

由L礪=()

取Z2=1,得〃=(2,0,1).10分

設(shè)二面角A-BD-E的平面角為0,

.“八，,\m-n\—15

貝IJIcosq=|cos<in,n>|=^^=5,

由題知二面角A-BD-E是鈍角，

則二面角A-BD-E的余弦值為一平.12分

20.(2020?山東省第一次仿真聯(lián)考)(本小題滿分12分)某公司采購了一批零件，

為了檢測這批零件是否合格，從中隨機(jī)抽測120個零件的長度(單位：分米)，按

數(shù)據(jù)分成[1.2』.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]這6組，得到

如圖所示的頻率分布直方圖，其中長度大于或等于L59分米的零件有20個，其

長度分別為

1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.

71,1.72,1.74,以這120個零件在各組的長度的頻率估計整批零件在各組長度的概

率.

(1)求這批零件的長度大于L60分米的頻率，并求頻率分布直方圖中，％〃，/

的值；

(2)若從這批零件中隨機(jī)選取3個，記X為抽取的零件長度在(1.4,1.6］的個數(shù)，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若變量S滿足|Pa—o<SW〃+<7)-0.68261W0.05且|尸@一2<r<SW〃+2。)一

0.9544|^0.05,則稱變量S滿足近似于正態(tài)分布N@,/)的概率分布.如果這批

零件的長度K單位：分米)滿足近似于正態(tài)分布ML5,0.01)的概率分布，則認(rèn)為這

批零件是合格的，將順利被簽收；否則，公司將拒絕簽收.試問，該批零件能否

被簽收？

解(1)由題意可知120個樣本零件中長度大于1.60分米的共有18個，

1Q

則這批零件的長度大于1.60分米的頻率為兩=0.15.2分

記丫為零件的長度，

3

則P(1.2W收1.3)=尸(1.7<YW1.8)=血=0.025,

尸(1.3<YW1.4)=P(1.6<YW1.7)=需=0.125,

尸(1.4<yW1.5)=P(1.5<yW1.6)=gx(l—2X0.025—2X0.125)=0.35.4分

u0.025…0.125…0.35一,八

故"'=0]=0,25,"=°]=1.25,，=吊了=3.5.5分

(2)由(1)可知從這批零件中隨機(jī)選取1件,

長度在(1.4,1.6]的概率P=2X0.35=0.7.

且隨機(jī)變量X服從二項分布X?8(3,0.7),6分

則P(X=0)=C9X(1-0.7)3=0.027,

P(X=l)=CiX(l-0.7)2X0.7=0.189,

P(x=2)=c4x(l-0.7)X0.72=0.441,

P(X=3)=C]X0.73=0,343,7分

故隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

p0.0270.1890.4410.343

E(X)=0X0.027+1X0.189+2X0.441+3X0.343=2.1(或E(X)=3X0.7=

2.1).8分

(3)由題意可知"=1.5,<7=0.1,9分

則Pg+a)=尸(1.4<YW1.6)=0.7;

P(/i-2?！词铡?2a)=P(1.3<YW1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95.11分

因為|0.7-0.6826|=0.0174<0.05,|0.95-0.9544|=0.0044<0.05,所以這批零件

的長度滿足近似于正態(tài)分布ML5,0.01)的概率分布，應(yīng)認(rèn)為這批零件是合格的，

將順利被該公司簽收.12分

21.(2020?河北石家莊高三五月模擬)(本小題滿分12分)已知函數(shù)於)=e'-(x

+l)ln(x+1)+(1-a)x,aWR,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若凡r)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)爪x)存在極小值時，設(shè)極小值點(diǎn)為次，求證：/(xo)>(l-a)e。.

解(1)由題意知/'a)=e'—ln(x+l)-a,

令g(x)=e，—ln(x+1)-a,g'(x)=e?'-,

顯然g'(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，且短(0)=0,

故當(dāng)xC(-l,0)時，g'(x)<0,-(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x€(0,+8)時，g，(x)>0,#(幻單調(diào)遞增,

所以(x)2f(0)=1—a.

若於)為增函數(shù)，則/'㈤》。恒成立，即1-心0,即aWL

經(jīng)檢驗，當(dāng)aWl時，滿足題意.4分

(2)證明：由⑴知“W1時，/)為增函數(shù),不存在極小值；

當(dāng)a>l時，/(0)<0,f(-1+e-a)=e-|+e-fl>0,—l<—l+e”<0,

故存在xiW(-1+e—O)使得便(xi)=0;5分

f(a)=e"-In(a+1)-a,

令/?(a)=e"-In(a+1)-a,h'(a)=e"—.]1-1,

顯然〃(a)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

3

故/(a)>〃⑴=e-2>0,故人⑷在(1,+8)上單調(diào)遞增,

故/z(a)>/z(l)=e—ln2—1>0,故/'(a)>0,

因此存在X26(0,4)使得了'(X2)=O.

因此人)在(-1,幻)上單調(diào)遞增，(幻，X2)上單調(diào)遞減，(X2,+8)上單調(diào)遞增.7

分

xo=%2€(0,a),fixo)=exo-(xo+l)ln(xo+1)+(1-a)xo,

由evo-ln(xo+1)-a=0代入消去a得/(xo)=(1-xo)^-In(xo+1)+xo,

令F(x)=(1-x)e-In(x+1)+x,F'(x)=7卜一1+J，

當(dāng)x〉0時，e'>l,0<^-<l,

故x€(0,+8)時，F(xiàn)'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，

即兒w)在(0,a)上單調(diào)遞減，

故加o)/a)=(1-a)ea-In(a+1)+a,

故要證於0)>(1-a)e",只需證a-In(a+1)>0,10分

令G(a)=a-ln(a+1),G'(a)="；1,

當(dāng)a>0時,G'(a)>0,G⑷單調(diào)遞增,

故當(dāng)a>l時,G(a)>G(l)=l-ln2>0.

綜上，#xo)>(l-a)e"成立.12分

?2

22.(2020?山東淄博二模)體小題滿分12分)已知橢圓E：，+方=1(。?〉0)

的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,離心率是由，P為橢圓上的動點(diǎn).當(dāng)取