【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題【人教版】專(zhuān)題5.11平行線基本模型之子彈模型專(zhuān)項(xiàng)提升訓(xùn)練班級(jí)：___________________姓名：_________________得分：_______________一、解答題（本大題共30小題．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）1．（2021·廣東·東莞市長(zhǎng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫(xiě)出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類(lèi)比可得答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類(lèi)比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案為：（n-1）×180°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．2．（2021·廣西賀州·七年級(jí)期末）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容．（1）如圖（1）已知AB//CD，則∠B+∠D=∠BED．解：過(guò)點(diǎn)E作直線EF//AB．∴∠FEB=（

）．（

）∵AB//CD，EF//AB，∴（

）//（

）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）∴∠FED=（

）．（

）．∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED．（2）如圖②，如果AB//CDAB//CD，則∠B+∠BED+∠D=（）【答案】（1）∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）360°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，則∠FEB=∠B，繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；（2）過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，則∠FEB+∠B=180°，繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D

=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【詳解】解：（1）解：過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB．∴∠FEB=∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．∴∠FED=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED．故答案為：∠B，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，如圖．∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．∴∠FED+∠D=180°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．故答案為：360°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說(shuō)理是關(guān)鍵．3．（2021·吉林松原·七年級(jí)期中）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖①，直線AB//CD，E是AB與AD之間的一點(diǎn)，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)：∠B+∠C=∠BEC，請(qǐng)你寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）拓展探究如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360°?∠BEC．（3）解決問(wèn)題

如圖③，AB//DC，∠C=120°，∠AEC=80°，則∠A=________．（直接寫(xiě)出結(jié)論，不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）20°【分析】（1）根據(jù)平行判定得到EF//DC，利用平行線的性質(zhì)得∠C=∠CEF，∠B=∠BEF，得到（2）類(lèi)比（1），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，然后根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求證出答案；（3）類(lèi)比，過(guò)點(diǎn)E作EF//AB，根據(jù)平行判定得到EF//DC，再根據(jù)平行的性質(zhì)得：∠C+∠CEF=180°，【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)點(diǎn)E作EF//∵AB//DC（已知），∴EF//∴∠C=∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵EF//∴∠B=∠BEF，∴∠B即∠B（2）證明：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作EF//∵AB//DC（已知），

∴EF//∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B∴∠B+∠C=360°?∠BEC.（3）解：如圖③，過(guò)點(diǎn)E作EF//∵AB//DC（已知），∴EF//∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，∵∠C=120°，∠AEC=80°，∴∠CEF=180°?120°=60°，∴∠AEF=80°?60°=20°，∴∠A=∠AEF=20°.故答案為：20°.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，靈活運(yùn)用平行判斷以及平行線的性質(zhì)找到角與角之間的關(guān)系．4．（2020·廣東·湛江市第二中學(xué)七年級(jí)期中）探索：小明在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，探索∠P與∠C的數(shù)量關(guān)系．發(fā)現(xiàn)：在如圖中：∠APC＝∠A＋∠C；如圖小明是這樣證明的：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）

∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C即∠APC＝∠A＋∠C（1）為小明的證明填上推理的依據(jù)；（2）應(yīng)用：①在如圖中，∠P與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系為；②在如圖中，若∠A＝30°，∠C＝70°，則∠P的度數(shù)為；（3）拓展：在如圖中，探究∠P與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一直線的兩直線平行；（2）∠APC＋∠A＋∠C＝360；40°；（3）∠APC=∠A?∠C【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，即可得出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APQ＋∠A＝180°，∠CPQ＋∠C＝180°，即可得出答案；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PEB＝∠C＝70°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APG＋∠A＝180°，求出∠APG＝180°－∠A，根據(jù)PG∥CD得出∠CPG＋∠C＝180°，即可得出答案．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，所以∠APQ＝∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C即∠APC＝∠A＋∠C故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一直線的兩直線平行；（2）①過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，

所以∠APQ＋∠A＝180°，∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD，∴∠CPQ＋∠C＝180°，∴∠APQ＋∠CPQ＋∠A＋∠C＝360°，即∠APC＋∠A＋∠C＝360°，故答案為：∠APC＋∠A＋∠C＝360°；②∵AB∥CD，∠C＝70°，∴∠PEB＝∠C＝70°，∵∠A＝30°，∴∠P＝∠PEB－∠A＝40°，故答案為：40°；（3）∠APC＝∠A－∠C．理由如下：如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，∵PG∥AB，∴∠APG＋∠A＝180°，

∴∠APG＝180°－∠A∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥CD，（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠CPG＋∠C＝180°，∴∠CPG＝180°－∠C，∴∠APC＝∠CPG－∠APG＝∠A－∠C．【點(diǎn)睛】考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．5．（2019·內(nèi)蒙古·康巴什區(qū)第二中學(xué)七年級(jí)期中）問(wèn)題探究：如下面四個(gè)圖形中，AB∥CD．（1）分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你從中任選一個(gè)加以說(shuō)明理由．解決問(wèn)題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；

圖2：∠1+∠2+∠3＝360°；圖3：∠1＝∠2+∠3；

圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)見(jiàn)解析；(3)101°【分析】(1)圖1：首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案；

圖2：首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得答案；圖3：由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；圖4：由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案．（2）選圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案；（3）利用圖1結(jié)論進(jìn)行求解【詳解】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；

圖2：∠1+∠2+∠3＝360°

圖3：∠1＝∠2+∠3；

圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)選擇圖1，如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作EP//AB∵AB∥CD，EP∥AB∴AB∥EP∥CD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；(3)由圖1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法．6．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）AB∥CD，點(diǎn)P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)．（1）如圖1，寫(xiě)出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）如圖2，寫(xiě)出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，點(diǎn)E在射線BA上，過(guò)點(diǎn)E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點(diǎn)G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點(diǎn)H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見(jiàn)解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見(jiàn)解析；（3）55°．【分析】（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”進(jìn)一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”進(jìn)一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質(zhì)得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進(jìn)一步得出∠PEG＝12∠FEG，∠GEH＝12∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG【詳解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，∴∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝12∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝12∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH＝12∠FEG?1＝12＝55°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.7．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫(xiě)出你的猜想并證明．【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見(jiàn)解析【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．

證明：如圖2，過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結(jié)合（1）問(wèn)得：所有角的和為（n+1）?180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．8．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）(1)問(wèn)題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：如圖2，過(guò)P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．(2)問(wèn)題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問(wèn)題：如圖3，AD//BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)110°，見(jiàn)解析；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析【分析】(1)過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°(2)過(guò)P作PE∥AD交CD于E點(diǎn)，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.【詳解】解：(1)剩余過(guò)程：∠CPE+∠PCD=180°，

∴∠CPE=180°-120°=60°∠APC=50°+60°=110°；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.9．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，AD//BC，∠CFE=∠1+∠D，∠B?∠CFE=30°，求∠2的度數(shù).【答案】∠2=30°.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖ABEFC知，∠B=∠CFE+∠1，∠1=∠B?∠CFE=30°，由靴子圖ABEDC知，∠B=∠BED+∠D=∠1+∠2+∠D，又因?yàn)椤螧=∠CFE+∠1，得到∠2+∠D=∠CFE，所以∠2=∠1=30°.【詳解】因?yàn)锳D//BC，結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，∠B=∠CFE+∠1，∠1=∠B?∠CFE=30°，由靴子圖ABEDC知，∠B=∠BED+∠D=∠1+∠2+∠D，∵∠B=∠CFE+∠1，∴∠1+∠2+∠D=∠CFE+∠1即∠2+∠D=∠CFE，

∵∠CFE=∠1+∠D，∴∠2=∠1=30°【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).10．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，直線l1//l2，∠CAB=145°，【答案】∠1+∠2=60°.【分析】作AT∥l1，得AT∥l2，由題意得∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因?yàn)锳T∥l【詳解】如圖，作AT∥l1，易證AT∥l2，由筆尖圖TABDS知，∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因?yàn)锳T∥∠1+∠2=180°+180°+145°+180°-【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11．（2022·上?！て吣昙?jí)期中）已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？

（3）如圖（3），寫(xiě)出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．

∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2021·山東德州·七年級(jí)期中）（1）如圖1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，則∠APC=°；（2）如圖2，AB//DC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、D、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPA與∠α、β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線DM上時(shí)，∠APC=∠α?∠β；當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，∠APC=∠β?∠α．【分析】（1）做出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE//AB交AC于點(diǎn)E，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意做出輔助線，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）如圖1，過(guò)P作PE∵AB//∴PE//∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE又∵∠A=33°，∠C=40°∴∠APE=33°，∠CPE=40°則∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°（2）∠APC=∠α+∠β理由是：

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB交AC于點(diǎn)E∵AB//CD，∴PE//AB//CD∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線DM上時(shí)，設(shè)CD與AP交于點(diǎn)P，如圖所示，∵AB//DC，∴∠α=∠DHP，又∵在△CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，∴∠α=∠β+∠APC，即：∠APC=∠α?∠β．當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，如圖所示，作PE∥AB，∴∠APE=∠BAP=∠α，∵AB∥CD，

∴PE∥CD，∴∠CPE=∠PCD=∠β，∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．答：∠CPA與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系為：∠CPA=∠β-∠α．即∠APC=∠β?∠α．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．13．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），則∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】（1）過(guò)E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴AB∥CD，

又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．14．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）請(qǐng)你探究：如圖（1），木桿EB與FC平行，木桿的兩端B、C

用一橡皮筋連接．（1）在圖（1）中，∠B與∠C有何關(guān)系？（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則∠A、∠B、∠C之間有何關(guān)系？（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則∠A、∠B、∠C之間有何關(guān)系？（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則∠A、∠B、∠C之間有何關(guān)系？（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則∠A、∠B、∠C之間有何關(guān)系？（注：以上各問(wèn)，只寫(xiě)出探究結(jié)果，不用說(shuō)明理由）【答案】（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A+∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C=∠B【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可得出結(jié)論；（3）同樣過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得出結(jié)論；（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖（1）∵EB與FC平行，∴∠B+∠C=180o；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如圖（3），過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，即∠B+∠A+∠C=360o；（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，∵EB與FC平行，

∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，∵EB與FC平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇·灌南縣新知雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知AB//CD,點(diǎn)E,F分別在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度數(shù)．”

小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出∠2的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫(huà)的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫(huà)的圖形，直接寫(xiě)出∠2的度數(shù)為_(kāi)________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類(lèi)似的方法，解決下面的問(wèn)題：(3)如圖，AB//CD，點(diǎn)E,F分別在AB，CD上，F(xiàn)P平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,請(qǐng)?zhí)骄俊螩FE與∠PEF的數(shù)量關(guān)系（(用含α的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【答案】（1）過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC；（2）30；（3）∠CFE?2∠PEF=180

【分析】（1）根據(jù)圖中所畫(huà)虛線的位置解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x，∠PDF=∠DPQ，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學(xué)輔助線的做法為過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC，故答案為：過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)Р作PQ//AC，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設(shè)∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB，∴∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x∵AB//CD,∴PQ//CD,∴∠PDF=∠DPQ∴∠DPQ=∠EHF=∠PDF=y

∵∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP∴x=y+∴x?2y=180?α，即∠CFE?2∠PEF=180【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）綜合探究：已知AB//CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG．

（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=40°，求∠MGN+∠MPN的度數(shù)．【答案】（1）90°；（2）120°【分析】（1）過(guò)G作GH//AB，根據(jù)平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等解題；（2）過(guò)G作GK//AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等性質(zhì)解得∠MGK=∠BMG=40°，再根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得∠BMP=80°，最后再用平行線定理解題，證明∠QPN=∠DNP，進(jìn)而計(jì)算∠MGN+∠MPN的值即可．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)G作GH//AB，∵AB//CD，∴GH//AB//CD

∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN∵M(jìn)G⊥NG∴∠MGN=∠MGH+∠NCH=∠AMG+∠CNG=90°圖1（2）如圖2，過(guò)G作GK//AB，過(guò)點(diǎn)P作PQ//AB設(shè)∠GND=α∵GK//AB，AB//CD，∴GK//CD∴∠KGN=∠GND=α，∵GK//AB，∠BMG=40°，∴∠MGK=∠BMG=40°∵M(jìn)G平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP=∠BMG=40°∴∠BMP=80°，∵PQ//AB，∴∠MPQ=∠BMP=80°∵ND平分∠CNP，∴∠DNP=∠GND=α，∵AB//CD，∴PQ//CD，∴∠QPN=∠DNP=α，∴∠MGN=40°+α，∠MPN=80°?α，∴∠MGN+∠MPN=40°+α+80°?α=120°圖2【點(diǎn)睛】本題考查平行線的定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

17．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數(shù)．小辰的思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出具體求解過(guò)程．（2）問(wèn)題遷移：①如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠CPD=∠α，∠ADP=β，∠BCP=∠γ，問(wèn)：∠α、β、∠γ之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②在①的條件下，如果點(diǎn)P不在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠α、β、∠γ間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)110°；（2）①∠α=∠β+∠γ；②∠α=∠γ?∠β或∠α=∠β?∠γ【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行線的性質(zhì)可以求得∠EPA和∠EPC的度數(shù)，進(jìn)一步可以得到∠APC的度數(shù)；（2）分別過(guò)P作PQ//AD，則可得PQ//BC，再由平行線的性質(zhì)和角的加減運(yùn)算可以得解．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，則由平行線的性質(zhì)可得PE//CD，所以：∠PAB+∠EPA=180∠EPA=180°所以，∠APC=∠EPA+∠EPC=110（2）①∠α=∠β+∠γ，理由如下：如圖，過(guò)P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：

∠DPQ=∠β，∠CPQ=∠γ，∵∠DPQ+∠CPQ=∠α，∴∠α=∠β+∠γ；②分兩種情況討論：第一種情況，P在射線AM上，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：∠QPD=∠β，∠QPC=∠γ，∠α=∠QPC?∠QPD=∠γ?∠β；第二種情況，點(diǎn)P在OB之間，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：∠DPQ=∠β，∠CPQ=∠γ，∠α=∠DPC=∠DPQ?∠CPQ=∠β?∠γ【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在添加輔助線的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)和角的加減運(yùn)算是解題關(guān)鍵．18．（2021·浙江·金華海亮外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，已知AB//CD，∠APC=108°．求

經(jīng)過(guò)思考，小敏的思路是：如圖2，過(guò)P作PE//AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=________．問(wèn)題遷移：如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題拓展：如圖4，MA1//N【答案】問(wèn)題情境：252°；問(wèn)題遷移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析；（2）∠CPD=∠β-∠α；理由見(jiàn)解析；或∠CPD=∠α-∠β．理由見(jiàn)解析；問(wèn)題拓展：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．【分析】問(wèn)題情境：根據(jù)平行線的判定可得PE∥AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；問(wèn)題遷移：（1）過(guò)P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過(guò)P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；問(wèn)題拓展：分別過(guò)A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過(guò)B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：?jiǎn)栴}情境：如圖，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠APC=108°，

∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；故答案為：252°；問(wèn)題遷移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD=∠β-∠α；理由：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠α-∠β．理由：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．問(wèn)題拓展：分別過(guò)A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過(guò)B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問(wèn)在解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．19．（2022·廣東·惠陽(yáng)竹賢學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角