專題02函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I

1.12021?浙江高考真題】已知函數(shù)/(x)=/+-,g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能

4

是()

'9

在Ol7TX

j4

A.y=/(x)+"

C.y=f(x)g(x)D.y=4^

/(x)

【答案】D

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.

【解析】對于A,y=/(x)+g(x)-；

=f+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖

象不符，排除A；

1,

對于B,y=/(x)-g(x)--]=d-sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符,

排除B；

x2+Csinx則-x+""cosx

對于c,y=/(x)g(x)=x~r-isinx,j/|ijy—ZAsin八十(八十—icosx,

,71,,71y/2-j+9〕x§>0,與圖象不符，排除c.

當(dāng)x=一［i寸，y=—x——t

422(164J2

故選：D.

2.【2021?全國高考真題(理)】設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2

為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］時，/意)=加+/?.若/(0)+/⑶=6,則=()

93八75

A.--B.—-C.-D.-

4：242

【答案】D

【分析】通過/(%+1)是奇函數(shù)和/(x+2)是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式

/(x)=-2f+2,進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【解析】因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù)，所以/(—x+l)=—/(X+1)①；

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4a+^),由②得：“3)=—1)=。+小

因?yàn)?(0)+/(3)=6,所以一(4a+Z?)+a+Z?=6a——2,

令x=0,由①得：/⑴=_/(1)=〃1)=0=0=2,所以/(x)=_2f+2.

思路一：從定義入手.

思路二：從周期性入手

由兩個對稱性可知，函數(shù)/(x)的周期7=4.

所以唱=嗎卜-《1卜!.

故選：D.

【點(diǎn)評】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y(jié)論，求出其周期性

進(jìn)而達(dá)到簡便計(jì)算的效果.

1—X

3.12021?全國高考真題(理)】設(shè)函數(shù)/(%)=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(X-1)-1B.f(x—1)+1C.f(x+1)—1D./(x+l)+l

【答案】B

【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

1-Y2

【解析】由題意可得/(x)=——=-1+--，

l+x1+X

2

對于A,/(x—1)-1=——2不是奇函數(shù)；

X

對于B,f(x—l)+l=2是奇函數(shù)；

X

2

對于C,/(x+l)-l=--2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；

2

對于D,y(x+i)+i=——，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).

x+2

故選：B

【點(diǎn)評】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對概念的理解，是一道容易題.

4.【2021.全國高考真題(理)】設(shè)。=21111.01,A=lnl.O2,c=VL04-1.?0()

\.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,匕的大小作出判定，對于。與c,

b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù)〃x)=21n(l+x)-布市+1,

g(x)=ln(l+2x)-J1+4X+1,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單

調(diào)性，結(jié)合火0)=0,g(0)=0即可得出。與c,b與c的大小關(guān)系.

【解析】a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=/?,

所以b<a；

下面比較c與。力的大小關(guān)系.

記〃x)=21n(l+x)—Jl+4x+l,則"0)=0,

1+xJl+4x(l+x)Jl+4x

由于1+4x—(1+x)——2x-x?=%(2—x)

所以當(dāng)0<x<2時，，l+4x-(l+x)2>0,即Jl+4x>(l+x),/'(x)>0,

所以/(元)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以/（0.01）>/（0）=0,即21nl.01>VH^—1，即a>c；

令g（x）=ln（l+2x）—Jl+4x+l,則g（0）=0,

222(Vl+4x-l-2x)

g\x)---------/-----------/，.—'

1+2xJl+4x(1+x)Jl+4x

由于l+4x—(1+2X)2=TX2,在QO時，l+4x—(l+2x)2<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即

lnl.02<VL04-l，即入；

綜上，b<c<a>

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個值中的共同的量用變量替

換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似

估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.

5.【2021.浙江高考真題】已知aeR,函數(shù)若/[/(#)]=3,

則。=.

【答案】2

【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于。的方程，解方程可得。的值.

【解析】./'『(#)]=〃6_4)=/(2)=|2_3|+a=3,故q=2,

故答案為：2.

6.【2021?全國高考真題】已知函數(shù)4x)=d(a2—2T)是偶函數(shù)，則a=.

【答案】1

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)。的值.

【解析】因?yàn)?(x)=YR.2"—2-，)，故/(一為人一%3,?一2，)，

因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)，故〃r)=〃x)，

時x3(a?2v-2-'j=-%3(a?Tx-2'),整理得到(a-1)(2X+2-X)=0,

故a=l,

故答案為：1

flh

7.【2020年高考全國I卷理數(shù)】^2+log2a=4+21og4^,貝ij

A.a>?^a<2b

22

C.a>hD.a<h

【答案】B

【解析】設(shè)f(x)=T+\og2x,則/W為增函數(shù)，因?yàn)?/p>

2"+log2a=4"+2log4b=22b+噫b

a2b

所以f(d)-f(2b)=2+log2a-(2+log22b)=22b+log2h一苗+log,2^)

=l0g2g=_1<0，

所以/(a)</(2。)，所以a<3.

2fl2h2

/(?)-/0)=2+log2a一(2"+log2Z>)=2r+log2b一(2〃+log2b)=

2Z,ft2

2-2-log2/7，

當(dāng)。=1時，f(a)-f(b2)=2>0,此時/(0)>/(/),有a>M

當(dāng)b=2時，/(a)-/(Z?2)=-l<0,此時/(a)</(/),有所以c、D錯

誤.

故選：B.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比

較大小，是一道中檔題.

8.【2020年高考全國II卷理數(shù)】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每

天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志

愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂

單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積

壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者

A.10名B.18名

C.24名D.32名

【答案】B

【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600-1200=900,設(shè)需要志愿者x名，

——>0.95,x>UA,故需要志愿者18名.

900

故選：B

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【2020年高考全國H卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(x)=ln|2x+l|—ln|2x-l|,則於)

A.是偶函數(shù)，且在(L,+8)單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且

2

在(-L3單調(diào)遞減

22

C.是偶函數(shù)，且在(ro,-g)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(fo,-g)單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】由〃x)=ln|2x+l|—ln|2x—得/(力定義域?yàn)椴逢P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

對稱，

又/(-X)=In11_2x|—In卜2x-1|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(x),

???〃x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

Qy=ln(2x+1)在上單調(diào)遞增，＞=111(1一2%)在(一；總上單調(diào)遞減,

???/(同在上單調(diào)遞增，排除B；

_oo,—^時，/(x)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=In2=ln1+2

當(dāng)XG

2x—1I2x—1

???"1+上在(一8,一；)上單調(diào)遞減，/(〃)=ln〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,

2x-l

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/(X)在1-8,-上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)

對稱的前提下，根據(jù)/(-力與“X)的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自

變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.

10.(2020年高考全國川卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)

領(lǐng)城.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)/(/)(/的單位：天)的

Logistic模型：/?)=]+-3(,礪，其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)/(f*)=0.95K時，標(biāo)志著

已初步遏制疫情，則「約為(lnl9y3)

A.60

B.63

C.66

D.69

【答案】C

【解析】???()=]+”鼠53)，所以[1*)=]+e，(f=095K,則e°W5)=19,

所以，0.23”*—53)=lnl9a3,解得f*土——+53=66.

、'0.23

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

11.【2020年高考全國in卷理數(shù)】已知55<8313々85.設(shè)a=logs3,&=log85,c=log138,則

A..a<txcB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<h

【答案】A

【解析】由題意可知。、b、ce(O,l),

a=10^3=lg3lg8<_J_(炫3+叫(lg3+lg8Y(lg24?<1

g——蔽(lg5)2'l2J—I21g5)-llg25j

：.a<bx

4

由b=log85,得8"=5，由55<8"，得8”<84，，5〃<4,可得人<§；

4

由eulogy,得13'=8，由"<85,得134<135°，，5。>4,可得c>W.

綜上所述，a<b<c.

故選:A.

【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指

數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.

12.【2020年高考全國n卷理數(shù)】若2匚2)'<3土-3T則

A.ln(y-x+l)>0

B.ln(>'-x+l)<0

C.ln|x-v|>0

D.ln|x-y|<0

【答案】A

【解析】由2*—2v<3-*-3r得:2X-3r<2y-3r，

令/⑺=2T,

???，=2”為尺上的增函數(shù)，y=3-*為尺上的減函數(shù)，.,./(，)為R上的增函數(shù),

「x<y,

Qy-x>0,y-x+\>\,.\ln(y-x+l)>0,則A正確，B錯誤;

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式,

利用函數(shù)的單調(diào)性得到乂丁的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

【答案】A

【解析】由函數(shù)的解析式可得：=-/(%),則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，其

圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)CD錯誤：

4

當(dāng)x=l時，y-----=2>0,選項(xiàng)B錯誤.

1+1

故選：A.

【點(diǎn)評】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位

置：從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.(3)

從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上

述方法排除、篩選選項(xiàng).

14.【2020年高考天津】設(shè)a=3a7,》=(gr03,c=k)go7().8,則a,上c的大小關(guān)系為

\.a<h<cB.b<a<c

C.h<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因?yàn)镼=3°7>1，

Z，=QJO'8=3O-8>3°-7=?，

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<力.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是有關(guān)指數(shù)基和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)

用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.

比較指對幕形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=ax,當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)0<。<1時，函數(shù)遞

減；

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=logflX,當(dāng)a>l時，函數(shù)遞增；當(dāng)0<4<1時，函數(shù)

遞減；

(3)借助于中間值，例如:。或1等.

15.[2020年新高考全國I卷】基本再生數(shù)治與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本

參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均

時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(f)=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨

時間f(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿足Ro=1+”.有學(xué)者基于已有

數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需

要的時間約為(ln2W.69)

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

o28—1

【解析】因?yàn)?=328,7=6,4=1+4,所以r=——=0.38,所以

6

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為6天，

則才38(5)=20。的,所以e°-3跖=2,所以0.3甑=In2,

In20.69

所以4位.8天.

038038

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【2020年新高考全國［卷］若定義在R的奇函數(shù)式x)在(-8,0)單調(diào)遞減，且42)=0,

則滿足—1)20的x的取值范圍是

A.[-l,l]U[3,+8)B.[-3,-lJU[0,l]

C.[-l,0]U[l,+<x>)D.[-l,0]U[l,31

【答案】D

【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)/0)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且/(2)=0,

所以/(x)在(0,+8)上也是單調(diào)遞減,且/(-2)=0,/(0)=0,

所以當(dāng)xe(F,-2)u(0,2)時，f(x)>0,當(dāng)xe(-2,0)U(2,m)時，f(x)<0,

所以由4(1一1)20可得：

x<0%>0一

—2WX-1W0如一122或10Wx—l42<x—1W—2或1一°，

解得一IWXWO或

所以滿足療1(x-DNO的x的取值范圍是［-1,。］口口,引,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方

法，屬中檔題.

17.【2020年新高考全國I卷】信息烯是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可

能的取值為1,2,…，且2。=。=8>0(1=1,2」..,〃),，>=1,定義X的信息病

i=l

H(X)=-fpjog2pL

Z=1

A.若n=\,則H(X)=0

B.若〃=2,則"(X)隨著8的增大而增大

C.若p.=-G=l,2,?■?,?),則”(X)隨著n的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量V所有可能的取值為1,2,…，加，且

P(Y=j)=pj+P2?"=1，2,…，㈤，則H(X)<H(Y)

【答案】AC

【解析】對于A選項(xiàng)，若〃=1,貝打=1,月=1,所以"(X)=-(lxlog21)=0,所

以A選項(xiàng)正確.

對于B選項(xiàng)，若〃=2,則i=l,2,22=1-0,

所以"(X)=-[p],log2P|+(l-p)log2(l-P|)],

當(dāng)Pl=1時，//(X)=_^4-10g2-+--10g2-J>

當(dāng)PL1時，〃(x)=-臣隰；+小%!)，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯誤.

對于C選項(xiàng)，若〃,?=4(，=1,2,…,〃)，貝！j

n

W(X)=-[-log24]x〃=-k)g)L=log2n,

\nnJn

則H(X)隨著〃的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對于D選項(xiàng)，若力=2相，隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,…,機(jī)，且

p(y=J)=Pj+〃2,”+i(/=1，2,…，加)?

22，"i

"(X)=-ZP,?log?Pi=EA-log—

Z=1i=l2Pi

11i1,1.1

=P\log,—+p2-log2—+???+p2m_,-log2-------+P2m-log2——.

P\PlP2m7P2m

"(y)=

(PI+P2m)/Og2―--+(〃2+P2mT).bg2-------'------+…+(億“+P,“+J?l°g2--------------

+

Pl+Pin.P2+P2m-\Pn,Pm+\

,1,1,1,1

P\-log?------------+Pl-log?---------------+…+P2,“.l?log?---------------+Pin.'^2-------------

Pl+P2,?P2+P2,"TP2+P2,lPH0,“

11

由于Pi>0(z=l,2,---,2/n)所以一>----------,所以

+

PiPiP2,n+i-i

log,——>log2----------------

PiPi+P2m+\-i

,1,]

所以P110g2一>P「bg2

+

PiPiPlm+\-i

所以“(x)>〃(y),所以D選項(xiàng)錯誤.

故選：AC

【點(diǎn)評】本小題主要考查對新定義“信息嫡”的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問

題的能力，涉及對數(shù)運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

r3r>0

18.【2020年高考天津】已知函數(shù)/(x)=《'-'若函數(shù)

-x,x<0.

g(x)=/(x)-辰2_2x|(ZeR)恰有4個零點(diǎn)，則k的取值范圍是

A.(—co,—)U(2>/2,+oo)B.(—00,—)U(0?2V2)

22

C.(-8,0)U(0,2夜)D.(-8,0)U(2&,+8)

【答案】D

f(%)

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4個零點(diǎn)，只需方程I依—2|=R恰有

|x|

3個實(shí)根

即可,

令〃。)=智，即y=|日-2|與〃(幻=:?的圖象有3個不同交點(diǎn).

\x\\x\

因?yàn)椤ǎㄍ?卒?=<''x>0

兇ILx<0

當(dāng)左=0時，此時y=2,如圖1,y=2與力(x)=q?有2個不同交點(diǎn)，不滿足題

|x|

意；

當(dāng)k<0時，如圖2,此時y=|日-2|與人")=￥?恒有3個不同交點(diǎn)，滿足題意;

|尤|

當(dāng)%>0時，如圖3,當(dāng)丁=丘—2與y=v相切時，聯(lián)立方程得丁—履+2=0,

令△=()得22-8=0，解得％=20(負(fù)值舍去)，所以左>2血.

綜上，人的取值范圍為(T?,0)U(2&,+8).

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一

道中檔題.

19.【2020年高考北京】已知函數(shù)/(x)=2"-x-l,則不等式/(幻>0的解集是

A.(-l,l)B.U(l,4w)

C.(0,l)D.(7,0)D(l,+8)

【答案】D

【解析】因?yàn)椤▁)=2'-x-l,所以/(x)>0等價于2<>x+l，

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2"和y=x+l的圖象如圖：

兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(1,2),

不等式2‘>尤+1的解為x<0或x>L

所以不等式/(x)>0的解集為：(7\0)51,內(nèi)).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.

20.【2019年高考全國I卷理數(shù)】己知a=log2().2,b=*\c=0.20-3,則

A..a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

02

【解析】a=log20.2<log21=0,匕=2->2°=1,

0<c=0.2°-3<0.2°=l,即0<c<l,

則a<c<Z?.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).采取中間量

法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

21.【2019年高考天津理數(shù)】已知a=logs2,Z>=log050.2,C=0.5°2,則a,6,c的大

小關(guān)系為

A..a<c<hB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?10852<1085、6=3,

b=log050.2>log050.25=2,

0.5'<c=0.5°2<0.5%即!<c<l,

2

所以a<c<6.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，關(guān)鍵是選擇中間量和利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比

較.

22.【2019年高考全國I【卷理數(shù)】若則

A.ln(a-Z>)>0B.3a<3*

C.〃-加>0D.|a|>|/?|

【答案】C

【解析】取a=2,b=l,滿足a>b,但ln(a-b)=。，則A錯，排除A；

由9=32>3i=3，知B錯，排除B；

取a=1"=-2,滿足。>〃，但|1|<|一2|,則D錯，排除D；

因?yàn)榛瘮?shù)y=V是增函數(shù)，a>b,所以°3>廿，即〃一）3>0,c正確.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、幕函數(shù)的性質(zhì)及絕對值

的意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

23.[2019年高考北京理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆

_5,E._

星的星等與鳧度滿足切2-〃1|=%怛言，其中星等為網(wǎng)的星的免度為Et（上1,2）.已知太

2E2

陽的星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為

A.1O101B.10.1

C.lglO.lD.1O-'01

【答案】A

_5,E.

【解析】兩顆星的星等與亮度滿足加2-町=；lgU，

2E,

令的=-1.45,町=-26.7,

則Igg=2(，砥一班)=(-1.45+26.7)=10.1,

從而1k=

E2

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、信息處理能力、閱讀

理解能力以及對數(shù)的運(yùn)算.

24.【2019年高考全國I卷理數(shù)】函數(shù)人》）=上w-in--X*-+-x^在[-兀，淚的圖像大致為

COSX+X

【答案】D

sin（-x）+（-x）-sinx-x

【解析】由/(一%)==-/(*)，得/(x)是奇函數(shù)，其圖

cos（一%）+（一尤了COSX+JT

象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

7T。4+2兀7T

又/(;;)=―——>1,可知應(yīng)為D選項(xiàng)中的圖象.

2(二)27T-1+7T

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象的識別，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)

算素養(yǎng).采取性質(zhì)法和賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

25.【2019年高考全國HI卷理數(shù)】函數(shù)y=］若：在［-6,6］的圖像大致為

2?

【解析】設(shè)y=f(x)=，則f(-x)=ZE'=一_生—=-f(x),所以

2X+2-X2T+2*2'+2T

/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C.

2X43

又八4)=2岸4>°，排除選項(xiàng)口：

2x63

y（6）二；「7,排除選項(xiàng)A,

26+2-6

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，排除錯誤選項(xiàng)，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，作出

選擇.本題注重基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.

26.【2019年高考浙江】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=J,y=k>g?(x+g)(a>0,且

際1)的圖象可能是

【答案】D

【解析】當(dāng)0<。<1時，函數(shù)y=a'的圖象過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減，則函數(shù)y-的

a

圖象過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增，函數(shù)y=log“1x+g)的圖象過定點(diǎn)(1,0)且單調(diào)遞減，

D選項(xiàng)符合；

則函數(shù))，=5的圖象過定點(diǎn)

當(dāng)Q>1時,函數(shù)y="的圖象過定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增,

函數(shù)y=Iogjx+|j的圖象過定點(diǎn)(1,0)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均

(0,1)且單調(diào)遞減,

不符合.

綜上，選D.

【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯誤：一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟練，導(dǎo)致

判斷失誤；二是不能通過討論。的不同取值范圍，認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性.

27.【2019年高考全國H卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上

首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決

的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼

星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日％點(diǎn)的軌道運(yùn)行?a點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的

延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為「，

MMMy

根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律,，滿足方程：.+^=(R+-)蕭.設(shè)a=.

3a.+3a，+a、

由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中1——j—儀3(?,則「的近似值為

(1+?)-

【答案】D

【解析】由a=｝，得〃=￡火，

M,.M.

因?yàn)镸+言=（/-n）請

（R+r）2

M.M,“

所以而±7十才…

即一-=?2[（1+a）----1~-]=a5+3a4+3a3

?3a3,

M,（1+a）2d+?）2

M

解得==?/總~,

R3Ml

M

所以r=aR=3——=-/?.

N3M

故選D.

【名師點(diǎn)睛】由于本題題干較長，所以，易錯點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題

意；易錯點(diǎn)之二是復(fù)雜式子的變形易出錯.

28.(2019年高考全國m卷理數(shù)】設(shè)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減,

則

1_3_2

-

A./（log3l）＞/（2^）＞/（23）

4

B./（10g3-1L）＞/（2_-23）＞/（2-23）

4

C./（2-2）＞/（2-13）＞/（lOg311）

4

2_3i

D./(2-3)>/(2^)>/(log31)

4

【答案】C

【解析】???/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，.?"(log3()=/(log34).

_2_3_2_3

j

log34>log33=1,1=2°>2行>2^,：.log,4>2，

又/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，先利用函數(shù)的奇偶性化為同一區(qū)

間，再利用中間量比較自變量的大小，最后根據(jù)單調(diào)性得到答案.

29.【2019年高考全國U卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(為的定義域?yàn)镽,滿足

/(%+1)=2/(%),且當(dāng)xe(0,l］時，/(%)=%。一1).若對任意%€(—8,加］,都有

Q

則，〃的取值范圍是

A1培

CF，|+4

【答案】B

【解析】v/(x+1)=2/U),/(x)=2/U-1).

KQ1]時，｛

.?.xe(l,2]時，x-ls(0,l],/(x)=2/(x-l)=2(x-l)(x-2)e-1,()

.?.xe(2,3]時，X-1G(1,2],/(%)=2/(x-1)=4(%-2)(x-3)e[-1,0],

如圖:

Q7Q

當(dāng)xw(2,3］時,由4(x—2)(x—3)=-1解得西=§,^=|,

Q7

若對任意X€(T>°,詞，者B有/(X)N-三，則而《三.

93

則〃?的取值范圍是18,1.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程，二次函數(shù).解題的關(guān)鍵是能夠得到Xe(2,3］時

Q

函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)值為-2時對應(yīng)的自變量的值.

9

x,x<0

30.【2019年高考浙江】已知。/￡11,函數(shù)/(幻=41312.若函

-5(Q+1)廠+6LX,X20

數(shù)y=/(尤)一辦一力恰有3個零點(diǎn)，則

A.tz<-1,b<0b>0

C.a>-\,h<0D.iz>-1,/?>0

【答案】C

【解析】當(dāng)x<0時，y=j[x)-ax-b=x-ax-b=(1-ci)x-b=0,得x=a-,

1-a

則y=/U)-最多有一個零點(diǎn)；

yf-x2-(a+l)x,

當(dāng)a+lWO,即處一1時，y>o,

y=A幻-在[0,+oo)上單調(diào)遞增,

則y=/(x)-分-。最多有一個零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)。+1>0,即時，

令y'>0得x￡(〃+l，+8),此時函數(shù)單調(diào)遞增，

令yV0得4+1),此時函數(shù)單調(diào)遞減，

則函數(shù)最多有2個零點(diǎn).

根據(jù)題意，函數(shù)》=段)-0￥-方恰有3個零點(diǎn)u?數(shù)y=fix)-ax-b在(-00,0)上有一個零點(diǎn),

在［0,+8)上有2個零點(diǎn)，

如圖：

-b>0

**-T—<0且<1?1/、，

i—(Q+1)—(Q+］)(Q+1)7_力<0

、32

解得bVO,l-a>0,。>一|(〃+1)3，

則a>-\,b<0.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.當(dāng)x<0時，y=J(x)-ax-b=x~ax~b=

32

(\-a)x-h最多有一個零點(diǎn)；當(dāng)x>0時，y=f(x)-ax-b=^x-^a+\)x~hf利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，從而結(jié)合題意可列不等式組求解.

31.【2020年高考浙江】函數(shù)產(chǎn)xcosx+sinx在區(qū)間［-兀，兀］上的圖象可能是

【答案】A

【解析】因?yàn)?(x)=xcosx+sinx,則/(—x)=—xcosx—sinx=1/(x),

即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

據(jù)此可知選項(xiàng)CD錯誤；

且x=;r時，y=〃cos〃+sin〃=-%<0,據(jù)此可知選項(xiàng)B錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位

置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨

勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

32.【2020年高考浙江】已知“，b^RS.ab^O,對于任意於0均有(x-4)(x-6)(x-2?-b巨0,

則

A.a<0B.a>0

C.b<0D力>0

【答案】C

【解析】因?yàn)楸豀0,所以。工0且bWO,設(shè)/(x)=(x—a)(x—力(x—2a-b),則“X)

零點(diǎn)

為X1~a,x2=b,x3=2a+b

當(dāng)。>()時，則％2<七，%>0，要使/(龍)20,必有2a+b=a,且b<0,

即6=-?,且b<0,所以。<0；

當(dāng)。<0時，則％2>七，百<0，要使/(x)20，必有6<0.

綜上一定有6<0.

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想，是

一道中檔題.

33.【2020年高考北京】函數(shù)/(x)=—1—+lnx的定義域是.

x+1

【答案】(0,+℃)

x>0

【解析】由題意得〈,:.x>Q

x+1^0

故答案為：(。,+8)

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

34.[2020年高考江蘇】已知月㈤是奇函數(shù),當(dāng)x>0時，，則/(-8)的值是▲.

【答案】-4

2人

【解析】/(8)=鏟=4,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以/(-8)=-/(8)=-4

故答案為：-4

【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

35.【2019年高考江蘇】函數(shù)y=J7+6x-f的定義域是▲

【答案】

【解析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.

由已知得7+6X—X2NO，即f—6x—740，解得一1WXW7,

故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,7].

【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式

或不等式組，然后求出它們的解集即可.

36.【2019年高考全國H卷理數(shù)】已知/(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，/(x)=—em.若

/(ln2)=8,則。=.

【答案】-3

【解析】由題意知是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，/(x)=—e",

又因?yàn)镮n2G(0,1),/(ln2)=8,

所以—e-4n2=_8,

兩邊取以e為底數(shù)的對數(shù)，得一aln2=31n2,

所以—a=3,即Q=—3.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)的計(jì)算.

37.(2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)/(力=/+枇-*3為常數(shù)).若加)為奇函數(shù)，則

a=；若./(X)是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是.

【答案】一1；(，》,0]

【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于〃的恒等式，據(jù)此可得。的值，然后利用

/'(x)20可得。的取值范圍.

若函數(shù)/(x)=e*+四-*為奇函數(shù)，則