高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一元素與集合的概念1．元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素(element)，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)，(簡(jiǎn)稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的．4．集合中元素的特性：給定的集合，它的元素必須是確定的、互不相同的．考點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.考點(diǎn)三常見的數(shù)集及表示符號(hào)數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR考點(diǎn)四：集合的表示（1）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．（2）描述法：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．【題型歸納】題型一：集合的概念1．考察下列每組對(duì)象，能組成一個(gè)集合的是（）①一中高一年級(jí)聰明的學(xué)生；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于的正整數(shù)；④的近似值．A．①② B．③④C．②③ D．①③2．下列說法中正確的有（）個(gè)：①很小的數(shù)的全體組成一個(gè)集合：②全體等邊三角形組成一個(gè)集合；③表示實(shí)數(shù)集；④不大于3的所有自然數(shù)組成一個(gè)集合.A．1 B．2 C．3 D．43．下列敘述正確的是（）A．方程的根構(gòu)成的集合為B．C．集合表示的集合是D．集合與集合是不同的集合題型二：元素與集合的關(guān)系4．下列關(guān)系中①；②；③；④正確的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．下列五個(gè)寫法，其中正確寫法的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．46．設(shè)集合，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．題型三：元素特性技巧解題7．已知，，若集合，則的值為（）A． B． C． D．8．已知，，且，則（）A．或 B．C．或或 D．9．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則（）A．-1 B．0 C．1 D．2題型四：集合的表示方法10．若用列舉法表示集合，則下列表示正確的是（）A． B． C． D．11．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)構(gòu)成的集合可表示為（）A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}B．{（x，y）|x＝0且y＝0}C．{（x，y）|xy＝0}D．{（x，y）|x，y不同時(shí)為零}12．集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示為（）A．{x|x=2n±1，n∈Z}B．{x|x=2n+1，n∈Z}C．{x|x=2n+1，n∈N*}D．{x|x=2n+1，n∈N}【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．已知集合，，則集合中元素個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．14．集合{3，x，x2–2x}中，x應(yīng)滿足的條件是（）A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠315．由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是（）A．{x|-3<x<11，x∈Z}B．{x|-3<x<11}C．{x|-3<x<11，x=2k}D．{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}16．下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．17．集合A＝{1，－3，5，－7，9，}用描述法可表示為（）A．{x|x＝2n±1，n∈N}B．{x|x＝（－1）n（2n－1），n∈N}C．{x|x＝（－1）n（2n＋1），n∈N}D．{x|x＝（－1）n－1（2n＋1），n∈N}18．下列敘述正確的是（）A．集合{x|x<3，x∈N}中只有兩個(gè)元素B．{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}C．整數(shù)集可表示為{Z}D．有理數(shù)集表示為{x|x為有理數(shù)集}19．有下列四個(gè)命題：①是空集；②若，則；③集合有兩個(gè)元素；④集合是有限集.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．320．已知關(guān)于x的方程的解集為P，則P中所有元素的和可能是（）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，1521．對(duì)集合{1，5，9，13，17}用描述法來表示，其中正確的是（）A．{x|是小于18的正奇數(shù)} B．C． D．22．給出下列個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【高分突破】23．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．424．集合{x|，x∈Z}等于（）A．{1，2} B．{0，1，2}C．{，0，1，2} D．{0，1}25．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解組成的集合，若2∈M，則下列判斷正確的是（）A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M26．已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，可能的取值組成集合A，則（）A．2∈A B．3?A C．－1∈A D．1∈A27．設(shè)集合，，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．28．設(shè)非空數(shù)集M同時(shí)滿足條件：①M(fèi)中不含元素－1，0，1；②若a∈M，則∈M.則下列結(jié)論正確的是（）A．集合M中至多有2個(gè)元素B．集合M中至多有3個(gè)元素C．集合M中有且僅有4個(gè)元素D．集合M中至少有4個(gè)元素29．已知集合，，，且，則的值為（）A．1或 B．1或3 C．或3 D．1，或330．若集合A的元素y滿足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)滿足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．則下列選項(xiàng)中元素與集合的關(guān)系都正確的是（）A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B二、多選題31．(多選題)下列各組中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}32．(多選題)若集合A={x|kx2+4x+4=0，x∈R}只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．333．在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，，，，，，給出如下四個(gè)結(jié)論，其中，正確結(jié)論的是（）A．B．C．若整數(shù)，屬于同一“類”，則D．若，則整數(shù)，屬于同一“類”34．設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時(shí)，有.給出如下四個(gè)命題，其中正確命題的有（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．35．下面四個(gè)說法中錯(cuò)誤的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7}B．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解組成的集合是{1，1}D．0與{0}表示同一個(gè)集合36．設(shè)集合，若，，，則運(yùn)算可能是（）A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法37．若集合A具有以下性質(zhì)：（1）0∈A，1∈A；（2）若x∈A，y∈A；則x﹣y∈A，且x≠0時(shí)，∈A．則稱集合A是“好集”．下列命題中正確的是（）A．集合B＝{﹣1，0，1}是“好集”B．有理數(shù)集Q是“好集”C．整數(shù)集Z不是“好集”D．設(shè)集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x+y∈A三、填空題38．用符號(hào)“”或“”填空：（1）______；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____；（6）_____；（7）_____；（8）_____.39．若集合只有一個(gè)元素，則集合______．40．已知集合，若，則__________.41．設(shè)集合，已知且，則實(shí)數(shù)的取值集合為__________.42．用符號(hào)“∈”或“?”填空：（1）設(shè)集合B是小于的所有實(shí)數(shù)的集合，則2________B，1＋________B；（2）設(shè)集合C是滿足方程x＝n2＋1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合，則3________C，5________C；（3）設(shè)集合D是滿足方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)組成的集合，則－1________D，(－1，1)________D．43．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題:“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，小女三日一歸，問三女何時(shí)相會(huì)？”則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)用集合表示為____.四、解答題44．（1）已知，，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知集合，若中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．45．已知函數(shù)f（x）=-ax+b（a，b∈R）.集合A={x|f（x）-x=0}，B={x|f（x）+ax=0}，若A={1，-3}，試用列舉法表示集合B.46．用描述法表示下列集合，并思考能否用列舉法表示該集合（1）所有能被3整除的自然數(shù)（2）不等式的解集（3）的解集47．已知集合A的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則．（1）若，求出A中其他所有元素；（2）是不是集合A中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)，再求出A中的元素；（3）根據(jù)（1）（2），你能得出什么結(jié)論？48．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若集合A中至少有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若集合A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案詳解】1．C【詳解】①“一中高一年級(jí)聰明的學(xué)生”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，因而不能構(gòu)成集合；②“直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)確定，能構(gòu)成集合；③“不小于的正整數(shù)”的標(biāo)準(zhǔn)確定，能構(gòu)成集合；④“的近似值”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，不能構(gòu)成集合．故選：C.2．B【詳解】①很小的數(shù)不確定，不能組成一個(gè)集合，故錯(cuò)誤：②全體等邊三角形組成一個(gè)集合，故正確；③表示以實(shí)數(shù)集為元素的集合，不表示實(shí)數(shù)集，故錯(cuò)誤；④不大于3的所有自然數(shù)是0，1，2，3，組成一個(gè)集合，故正確.故選：B3．B【詳解】對(duì)于A，方程的根構(gòu)成的集合為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方程無解，所以，故B正確；對(duì)于C，集合為點(diǎn)集，集合是數(shù)集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由集合元素的無序性可得集合，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．C【詳解】①因?yàn)槭亲匀粩?shù)，所以，故正確；②因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以，故錯(cuò)誤；③因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，故錯(cuò)誤；④因?yàn)槭菬o理數(shù)，所以，故正確；故選：C.5．B【詳解】解：①，故①錯(cuò)誤，②，故②正確，③，故③正確，④，故④錯(cuò)誤，⑤為元素，與無法運(yùn)算，故⑤錯(cuò)誤；故選：B6．D【詳解】解：，，，又，，．故選：D.7．B【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故，，，故選：B.8．D【詳解】當(dāng)時(shí)，集合，都出現(xiàn)兩個(gè)1，出現(xiàn)了互異性的錯(cuò)誤，排除ABC，當(dāng)時(shí)，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9．A【詳解】解：由題意得，，所以即，，即，則有，所以，解得，∴.故選：A.10．B【詳解】因?yàn)榭山獾茫海?故選：B11．C【詳解】A.表示軸和軸上的點(diǎn)，但不包含原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B.集合中只有一個(gè)元素，就是原點(diǎn)，故錯(cuò)誤；C.或，即表示坐標(biāo)軸上點(diǎn)的集合，故C正確；D.表示平面中的點(diǎn)，但不包含原點(diǎn)，故錯(cuò)誤.故選：C.12．D【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D13．C【詳解】解：由題意知：，，，∴集合中元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.14．C【詳解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，解得x≠3且x≠–1且x≠0，故選：C．15．D【詳解】解：大于-3且小于11的偶數(shù)，可表示為-3<x<11，x=2k，k∈Z，所以由大于-3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}，故D符合題意；對(duì)于A，集合表示的是大于-3且小于11的整數(shù)，不符題意；對(duì)于B，集合表示的是大于-3且小于11的數(shù)，不符題意；對(duì)于C，集合表示的是大于-3且小于11的數(shù)，，但不一定是整數(shù)，不符題意.故選：D.16．D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?不是正整數(shù)，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)槭菬o理數(shù)，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)榭占遣缓魏卧氐募希?，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，所以D正確，故選：D17．C解：觀察集合的前幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)：的元素都是奇數(shù)，并且偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正；可表示為，；，．故選：C.18．B【詳解】A.集合中元素有0，1，2，錯(cuò)；B.，正確；C.整數(shù)集表示為Z，錯(cuò)；D.有理數(shù)集表示為{x|x為有理數(shù)}，錯(cuò).故選：B.19．B【詳解】①{0}中有一個(gè)元素0，不是空集，不正確；②中當(dāng)時(shí)不成立，不正確；③中有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此集合只有一個(gè)元素，不正確；④中集合是有限集，正確，故選：B20．B【詳解】解：關(guān)于x的方程等價(jià)于①，或者②．由題意知，P中元素的和應(yīng)是方程①和方程②中所有根的和．，對(duì)于方程①，．方程①必有兩不等實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系，得兩根之和為6．而對(duì)于方程②，，當(dāng)時(shí)，可知方程②有兩相等的實(shí)根為3，在集合中應(yīng)按一個(gè)元素來記，故P中元素的和為9；當(dāng)時(shí)，方程②無實(shí)根，故P中元素和為6；當(dāng)時(shí)，方程②中，有兩不等實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系，兩根之和為6，故P中元素的和為12.故選：B．21．D【詳解】對(duì)于A：{x|是小于18的正奇數(shù)}=，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D22．A【詳解】、、、分別表示實(shí)數(shù)集、有理數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集，所以，，，，，，，因此，①正確，②③④⑤⑥不正確，故選：A．23．A【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以共有9個(gè)，故選：A.24．B【詳解】解：{x|，x∈Z}={x|<2x≤4，x∈Z}={x|<x≤2，x∈Z}={0，1，2}，故選：B．25．C【詳解】由2∈M知2為方程x2－x＋m＝0的一個(gè)解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2．所以方程為x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2．故方程的另一根為－1．故選：C．26．C【詳解】①當(dāng)x>0，y>0時(shí)，z＝1＋1＋1＝3；②當(dāng)x>0，y<0時(shí)，z＝1－1－1＝－1；③當(dāng)x<0，y>0時(shí)，z＝－1＋1－1＝－1；④當(dāng)x<0，y<0時(shí)，z＝－1－1＋1＝－1，∴集合A＝{－1，3}．∴－1∈A.故選：C27．C【詳解】因集合，，又，則當(dāng)時(shí)，的值有：6，7，8，9，當(dāng)時(shí)，的值有：7，8，9，10，于是得，所以中元素的個(gè)數(shù)為5.故選：C28．D【詳解】因?yàn)閍∈M，∈M，所以＝－∈M，所以＝∈M，又因?yàn)椋絘，所以集合M中必同時(shí)含有a，－，，這4個(gè)元素，由a的不確定性可知，集合M中至少有4個(gè)元素．故選：D29．B【詳解】解：，，，或，即或.當(dāng)時(shí)，，5，；當(dāng)時(shí)，，3，；當(dāng)時(shí)，，1，不滿足互異性，的取值集合為，.故選：.30．C【詳解】集合A中的元素為y，是數(shù)集，又y＝x2＋1≥1，，故2∈A，集合B中的元素為點(diǎn)(x，y)，且滿足y＝x2＋1，，經(jīng)驗(yàn)證，(3，10)∈B.故選：C．31．ABD【詳解】選項(xiàng)A中，M是由3，－1兩個(gè)元素構(gòu)成的集合，而集合P是由點(diǎn)(3，－1)構(gòu)成的集合；選項(xiàng)B中，(3，1)與(1，3)表示不同的點(diǎn)，故M≠P；選項(xiàng)C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；選項(xiàng)D中，M是二次函數(shù)y＝x2－1，x∈R的所有因變量組成的集合，而集合P是二次函數(shù)y＝x2－1，x∈R圖象上所有點(diǎn)組成的集合．故選ABD．32．AB【詳解】集合A中只有一個(gè)元素，即方程kx2+4x+4=0只有一個(gè)根，當(dāng)k=0時(shí)，方程為一元一次方程，只有一個(gè)根，當(dāng)k≠0時(shí)，方程為一元二次方程，若只有一個(gè)根，則=16-16k=0，即k=1，所以實(shí)數(shù)k的值為0或1.故選：AB33．ACD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若與屬于同一類，則，，其中，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若，設(shè)，即，不妨令，，，，，，則，，，所以與屬于同一類，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.34．ABC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，根據(jù)當(dāng)時(shí)，有，可得，得，可得，故，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，則，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，時(shí)，此時(shí)符合題意，D錯(cuò).故選：ABC．35．CD【詳解】解：10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7}，故A正確；由集合中元素的無序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正確；方程x2﹣2x+1＝0的所有解組成的集合是{1}，故C錯(cuò)誤；由集合的表示方法知0不是集合，故D錯(cuò)誤，故選：CD．36．AC由題意可設(shè)，，其中，，，，則，，所以加法滿足條件，A正確；，當(dāng)時(shí)，，所以減法不滿足條件，B錯(cuò)誤；，，所以乘法滿足條件，C正確；，當(dāng)時(shí)，，所以出發(fā)不滿足條件，D錯(cuò)誤.故選：AC.37．BCD【詳解】解：對(duì)于，假設(shè)集合是“好集”，因?yàn)?，，所以，這與矛盾，所以集合不是“好集”．故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，，且?duì)任意的，有，且時(shí)，，所以有理數(shù)集是“好集”，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，但，所以整?shù)集不是“好集”．故正確；因?yàn)榧鲜恰昂眉?，所以，又，所以，即，又，所以，即，故正確．故選：．38．.【詳解】（1）是自然數(shù)集，所以；（2）是整數(shù)集，所以；（3）是有理數(shù)集，所以；（4）是實(shí)數(shù)集，所以；（5）中，所以；（6）=，所以；（7）（2,2）表示點(diǎn)，表示數(shù)集，所以；（8）集合中有2個(gè)元素，分別是，，所以.故答案為：；；；；；；；39．或解：只有一個(gè)元素；方程只有一個(gè)解；時(shí)，，，滿足題意；時(shí)，；；解得，；或．故答案為：或．40．1【詳解】依題意，分別令，得，此時(shí)，不滿足互異性；當(dāng)，得或，檢驗(yàn)后，都不滿足互異性；當(dāng)，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)，，成立，所以.故答案為：141．【詳解】當(dāng)時(shí)，可得或，若時(shí)，則，不合題意；若時(shí)，則，符合題意；當(dāng)，可得或，若，則，不合題意；若，則，不合題意.綜上所述：.故答案為：42．???【詳解】（1）∵∴?B；∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，∴1＋<，∴1＋B．（2）∵n是正整數(shù)，∴n2＋1≠3，∴3?C；當(dāng)n＝2時(shí)，n2＋1＝5，∴5C．（3）∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，則－1是數(shù)，∴－1?D；又(－1)2＝1，∴(－1，1)∈D．故答案為：?，，?，，?，.43．【詳解】因?yàn)槿鄷?huì)經(jīng)過的天數(shù)是，，的公倍數(shù)，且它們的最小公倍數(shù)為，所以三女前三次相會(huì)經(jīng)