高中三角函數(shù)公式大全以及典型例題

2009年07月12H星期日19:27

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tanA+tanB

tan(A+B)=1-tanAtanB

tanA-tanB

tan(A-B)=1+tanAtanB

cotAcotB-1

cot(A+B)=cotB+cotA

cotAcotB+1

cot(A-B)=cotB-cotA

倍角公式

2tanA

tan2A=1-tan2A

Sin2A=2SinACosA

Cos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin?A

三倍角公式

sin3A=3sinA-4(sinA)3

cos3A=4(COSA)3-3COSA

nn

tan3a=tana?tan(+a)?tan(-a)

33

半角公式

sin(Ax_1-cosA1+cosA

222

A、1-cosAl+cosA

tan(z2)=cot(

1+cosA1-cosA

tan(A1-cosAsinA

sinA1+cosA

和差化積

...a+ba-b.a+b.a-b

sina+sinub=n2sincossina-sinb=2cossin

2222

,八a+ba-b,0.a+b.a-b

cosa+cosb=2cos-cos1cosa-cosb=-2sm-sin-

2222

sin(a+b)

tana+tanb=cosacosb

積化和差

sinasinb=_J_[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=J_[cos(a+b)+cos(a-b)]

,22

sinacosb二一[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=j_[sin(a+b)-sin(a-b)]

2

誘導(dǎo)公式

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa

71n

sin(--a)=cosacos(--a)=sina

Tt71

sin(+a)=cosacos(+a)=-sina

2sin(7i-a)2cos(7i-a)

=sinasin(兀+a)二-cosacos(兀+a)

="sina=-cosa

sina

tgA=tanA=cosa

萬能公式

a

2tan1_(tan)2

sina=2cosa=2

aa

1+(tan)21+(tan)2

22

a

tana=2tan2

a

1-(tan)2

2

其它公式

h1

a*sina+becosa=(a2+b2)Xsin(a+c)[其中tanc=」

aesin(a)-b*cos(a)=(a2+b2)Xcos(a?c)[其中tan(c)="

b

.aaa

l+sin(a)=(sina+cos)2l-sin(a)=(sin-cos)2

2222

其他非重點(diǎn)三角函數(shù)

csc(/a)、=1/、1

sinasec(a)=cosa

公式一：

設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin(2k7t+a)=sinacos(2k7c+a)=cosa

tan(2k兀+a)=tanacot(2k?i+a)=cota

公式二：

設(shè)a為任意角，兀+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(兀+a)="sinacos(兀+a)=-cosa

tan(71+a)=tanacot(兀+a)=cota

公式三：

任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(-a)="sinacos(-a)=cosa

tan(-a)=-tanacot(-a)=-cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到兀位與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(n-a)=sinacos(兀-a)=-cosa

tan(兀-a)=-tanacot(兀?a)=-cota

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2?！杜ca的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(2兀-a)=-sinacos(2兀-a)=cosa

tan(2兀)=-tanacot(27i-a)=-cota

公式六：

兀3兀

一土a及土a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

22

717T7T7C

sin(+a)=cosacos(+a)=-sinatan(+a)=-cotacot(+a)=-tana

2222

717171兀

sin(-a)=cosacos(-a)=sinatan(-a)=cotacot(-a)=tana

2222

/3兀、/3兀、^/3兀、

sin(2+a)=-cosacos(?+。)=smatan(?+a)--cota

/3兀.3兀3兀

cot(之+a)--tanasin(2?)=-cosacos(?-a)="sina

3TI3K

tan(-a)=cotacot(-a)=tana

22

(以上k￡Z)

正弦定理a/sinA二b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+C2-2accosB注:角B是邊a和邊c的夾角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

三角函數(shù)積化和差和差化積公式

記不住就自己推，用兩角和差的正余弦：

3,三角形中的一些結(jié)論：(不要求記憶)

(1)tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)-sin(B/2)-sin(C/2)+l

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA-sinB-sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C—4cosAcosBcosC-l

已知sina=msin(a+2p),求證tan(a+P)=(1+m)/(1-m)tanp

解:sina=msin(a+2p)sin(a+p-p)=msin(a+p+p)

sin(a+p)cosp-cos(a+p)sinp=msin(a+p)cosp+mcos(a+p)sinp

sin(a+p)cos°(1-m)=cos(a+B)sin0(m+1)tan(a+p)=(l+m)/(l-

m)tanp

三角函數(shù)典型例題

1.設(shè)銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2bsinA.

(I)求B的大??；

(H)求cosA+sinC的取值范圍.

【解析】：(I)由a=2bsinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=1,

2

由AABC為銳角三角形得B=n.

6

/

TC

(II)cosA+sinC=cosA+sin兀--A

f兀、

=cosA4-sin+A

(6

=cosA+cosA+sinA

22

=3sin|.A+.

I3；

2.在AABC中，角B.C的對(duì)邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC.

(I)求角B的大小；

(II)設(shè)m=(sinA,cos2A),n=(4k,l)(k>1),且m?n的最大值是5,求k的值.

【解析】：⑴?.,(2a-c)cosB=bcosC,

(2sinA-sinC)cosB=sinBcos

C.即一一

2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

=sin(B+C)

A+B+C=7i,2sinAcosB=sinA.

'.*0<A<7r,sinA#).

.\cosB=J_.

2

71

V0<B<7r?AB=3.

(II)m-n=4ksinA+cos2A.

2兀

=-2siD2A+4ksinA+1,A(0,)

設(shè)sinA=t廁tW(0,l].

則m-n—2t2+4kt+1—2(t-k)2+1+2k2,tG(0,1].

Vk>l,J.t=l時(shí),m?n取最大值.

依題意得,-2+4k±J，k=j-

A+B「

3.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin+sinc=2.

22

L試判斷△ABC的形狀；

II.若△ABC的周長(zhǎng)為16,求面積的最大值.

【解析】：Lsinn-CCCC兀

=cos+sin=2sin(+)

222224

717rTU

c+=即c=，所以此三角形為直角三角形.

2422

II.16=a+b+a2+b?>2ab+2abab<64(2-2)2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

等號(hào)，()

此時(shí)面積的最大值為326-42.

4.在AABC中,a、b、c分別是角A.B.C的對(duì)邊,C=2A,cosA=3,

4

(1)求cosC,cosB的值；

⑵若BA?BC=27，求邊AC的長(zhǎng)

2

【解析】：(l)cosC=cos2A=2cos2A-1=2x9-1=-

168

1Q737

由cosC=-，得sinC=;由8$A=一,得sinA=

8844

3]9

二.cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=7x37_x_

484816

2727

(2)BA?BC=,/.accosB=,/.ac=24①

22

a3

又sinA=sicnC'C=2A」c=2acosA=￡a②

由①@解得a=4,c=6

9

b2=a2+C2-2accosB=16+36-48x=25

16

/.b=5,即AC邊的長(zhǎng)為5.

5.已知在AABC中,A>B,且tanA與tanB是方程X2—5x+6=0的兩個(gè)根.

(I)求tan(A+B)的值;

(II)若AB=5,求BC的長(zhǎng).

【解析】：（I）由所給條件，方程X2-5x+6=0的兩根tanA=3,tanB=2.

tanA+tanB

/.tan(A+B)=

1-tanAtanB

(II)VA+B+C=180,.-.C=180-(A+B).

由(I)知,tanC=-tan(A+B)=1,

為三角形的內(nèi)角,；.sinC=

???tanA=3,A為三角形的內(nèi)角,AsinA=

10

BC

由正弦定理得:sinC

sinA

53

ABC=x'=35.

210

2

6.在AABC中，已知內(nèi)角A.B.C所對(duì)的邊分別為a、b、c,向量

()彳2B]

m=2siBn-,,3n=lcos2B,2cos一一且m//n。

I2；

田求銳角B的大??；---

(II)如果b=2，求AABC的面積S的最大值。

B

【解析】：(1)m//n=2sinB(2cosZ--l)=-3cos2B

2

=>2sinBcosB=-3cos2Bntan2B=-3

2.7171

?.?0<2Bv7r,???2B—???銳角B=-

33

it.、5兀

(2)由tan2B=-3nB=-^—

36

it

①當(dāng)B二時(shí)，已知b=2,由余弦定理得：

3

4二a2+c2-〃cN2ac-ac=ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立)

1_3

AABC的面積SAABC=2acsinB=4ac<3

?二△ABC的面積最大值為3

5兀

②當(dāng)B二時(shí)，已知b=2,由余弦定理，得：

6

4=a2+c2+3t/c>2ac+3ac=(2+3)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=c=6-2時(shí)等