數(shù)學模型——現(xiàn)實生活中的數(shù)學王曉霞，辦公室：7111，

Tel：51682054-111,xxwang1@推薦教材：數(shù)學模型(第三版,第四版)，姜啟源等編，高等教育出版社說明：1.為加強本課程的管理及教學秩序，特在日常教學中實行隨機考勤制度，作為學生關于本課程期末考核的一個重要依據(jù)；2.你只能填寫自己一個人的數(shù)據(jù)，不得代簽。若發(fā)現(xiàn)有代簽者，數(shù)據(jù)一并作廢，并扣10分;3.平時作業(yè)若適于以電子文檔的方式提交,請以“學號+姓名+區(qū)別碼（不同周次的作業(yè)，本人可自由選擇）”進行文件命名，比方“12111111丁一逢山開路.rar”.xxwang1@。4.公共郵箱：用戶名:

bjtujianmo@163.com密碼:bjtujianmo1數(shù)學建模讓數(shù)學進入生活通常，1公斤面，1公斤餡，包100個湯圓（餃子）今天，1公斤面不變，餡比1公斤多了，問應多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓,若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為vV和

nv

哪個大?從包湯圓（餃子）說起Ssss…Vvvv(共n個)定性分析V比nv大多少?定量分析從包湯圓（餃子）說起假設1.皮的厚度一樣2.湯圓(餃子)的形狀一樣模型應用若100個湯圓（餃子）包1公斤餡,則50個湯圓(餃子)可以包公斤餡R~大皮半徑V是nv是倍1.4r~小皮半徑兩個k1（和k2）一樣(1),(2),(3)數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模

數(shù)學建模讓數(shù)學進入生活數(shù)學建模進入大學課堂，順應時代發(fā)展的潮流，符合教育改革的需要數(shù)學建模競賽的迅速發(fā)展，有利于培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，提高學生綜合素質數(shù)學建模進入大學課堂20世紀60~70年代進入西方國家的大學（數(shù)學建模教材較集中地出現(xiàn)在70年代）。20世紀80年代初開始進入我國大學；1987年出版第1本教材（《數(shù)學模型》，姜啟源編，高教社）；80年代末估計30~40所學校開課（數(shù)學系，講座）。1985年美國大學生數(shù)學建模競賽開始舉辦，1989年我國大學生開始參加這項競賽。1992年我國大學生數(shù)學建模競賽開始舉辦，2003年有30?。ㄊ小⒆灾螀^(qū)）638所學校參加。

數(shù)學建模競賽與教學相互促進，估計目前開課的學校約400所（各專業(yè)，必修課，選修課，講座）。競賽內容：題目由工程技術、管理科學中的實際問題簡化而成，沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。競賽形式：三名大學生組成一隊，可以自由地收集資料、調查研究，使用計算機、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時間內分工合作完成一篇論文。評獎標準：假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結果的正確性、文字表述的清晰程度。競賽宗旨：創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭全國大學生數(shù)學建模競賽競賽形式：在四天時間內分工合作完成一篇論文。評分 解釋 比例0 違規(guī)論文，或無數(shù)學模型 不設1-2 有明顯缺陷 不設3-4 有較完整模型，但有錯誤，或者細節(jié)討論不充分。 不設5-6 有完整模型，正確運用數(shù)學方法，結論明確，但有較明顯的小失誤，或亮點不突出。 10%左右7 有完整且高質量的模型，清晰的表達，某方面的獨到之處，可推薦參加最高獎勵評選 2%以下美國大學生數(shù)學建模競賽COMAP的最新數(shù)據(jù)：TotalMCM7126TotalICM6489TotalBoth136151.目錄不計入正文頁數(shù)；2.正文21-23頁，得分不超過4分；正文23頁以上，得分不超過2分。第一章建立數(shù)學模型1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2數(shù)學建模的重要意義1.3數(shù)學建模示例1.4數(shù)學建模的方法和步驟1.5數(shù)學模型的特點和分類1.6怎樣學習數(shù)學建模玩具、照片、飛機、火箭模型……~實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機……~物理模型地圖、電路圖、分子結構圖……~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學模型----“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少。x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米）。數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模1.2

數(shù)學建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。

在一般工程技術領域數(shù)學建模仍然大有用武之地；

在高新技術領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。數(shù)學建模的具體應用

分析與設計

預報與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術知識經濟如虎添翼1.3

數(shù)學建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。模型構成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意

,f(

),g(

)至少一個為0數(shù)學問題已知：f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù);

對任意

，f(

)?g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因為f(

)?g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子

和f(

),g(

)的確定思考題.

一人一日早8:00開車由A市出發(fā)，至下午5:00達B市；第二天早8:00出發(fā)沿原路返回，下午5:00回A市。問沿途是否有一地，前后兩天，該人達該地的時刻正好相同。1.3.2

商人們怎樣安全過河問題(智力游戲)3名商人

3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步決策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)3名商人

3名隨從河小船(至多2人)模型構成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).多步決策問題y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}模型求解xy3322110

窮舉法~編程上機

圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個格點~10個點允許決策~移動1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

，d11給出安全渡河方案評注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}xy3322110s1sn+1d11d1xy3322110s1sn+1d1d11人羊狼菜怎樣安全過河允許狀態(tài)集合“二進制”：0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0.允許決策集合運算后若所得狀態(tài)允許記T,不允許記F,允許但重復記R.允許運算

窮舉法~可編程上機

數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數(shù)1.4

數(shù)學建模的方法和步驟

數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設模型構成模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型構成用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具

數(shù)學建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用

數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐1.5

數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的強健性模型的可轉移性模型的非預制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學模型的特點數(shù)學模型的分類應用領域人口、交通、經濟、生態(tài)……數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)1.6怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術技術大致有章可循藝術無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學習、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際題目

放學后，發(fā)現(xiàn)下雨了，宿舍不遠（1000米），決定冒雨回宿舍。試組建數(shù)學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。分析：（1）降雨的大小；（2）降雨的方向；（3）路程遠近；（4）人跑的速度。假設：1.雨速，降雨的大?。ń邓畯姸龋┍３植蛔?；2.人跑的速度不變；3.風向，風速保持不變；4.人體視為長方體。1.3.3雨中行走符號：D：路程（m）；

t：行走的時間（s）；

v：人跑的速度（m/s）；

h：人的身高（m）；w：人的寬度（m）；d：人的厚度（m）；I：降水強度（cm/h）；S：人體被淋的面積C：人體被淋的雨水總量（l）。（Modeling1）求解：檢驗：令D=1000m，h=1.5m，w=0.5m，d=0.2m，I=2cm/h，v=6m/s，得（Modeling2）降雨強度，降雨角度假設：5.雨速為勻速；6.雨沿前進方向降落，傾斜角不變。符號：r：雨速（m/s）；θ：降雨角度；

p：雨滴下落密度。求解：I=pr，p≤1；p=1時：如河流傾瀉。1.當時，頭頂淋雨量：前方淋雨量：得是關于v的減函數(shù)。檢驗：令D=1000m，h=1.5m，w=0.5m，d=0.2m，I=2cm/h，v=6m/s，r=4m/s，得2.當時，令

則當時，是關于v的減函數(shù)；當時，為正時，C是關于v的減函數(shù)；為負時，C是關于v的增函數(shù)。結論：(1)迎著雨行走時，盡可能快跑；(2)逆著雨行走時，速度控制在雨的水平速度分量。背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長1.3.4如何預報人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長有限地球，不合常理指數(shù)增長模型的應用及局限性

與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民