第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)

?互動(dòng)探究AN

考點(diǎn)一討論函數(shù)的零點(diǎn)

例1設(shè)函數(shù)4x)=e2?v-αlnX.

(1)討論人幻的導(dǎo)函數(shù)/'(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

2

(2)證明：當(dāng)α>0時(shí)，Xx)≥2a÷0ln

［解析］(1次X)的定義域?yàn)?O,+∞),

f'(Λ)=2C2Λ-^(Λ->0).

當(dāng)α≤0時(shí)，/(x)>0,/'(元)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)α>0時(shí)，因?yàn)閥=e2?t單調(diào)遞增，

>=-B單調(diào)遞增，

?

所以/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又/'(α)>0,當(dāng)。滿足0<X*且X；時(shí)，f'(?)<0,

(討論“21或α<l來(lái)檢驗(yàn)),

①當(dāng)α>l時(shí)，則0。<1,

??

f'(b)=2e2ft-∣<2e1-4α<2e1-4<0；

a_?

②當(dāng)?<1時(shí)，貝IJ0<b<^,f'(?)=2e2fc-∣<2e1-4<2e1-4<0,綜上，f'S)<0.

故當(dāng)?>0時(shí)，/(X)存在唯一零點(diǎn).

(2)證明：由(1),可設(shè)，(尤)在(0,+8)上的唯一零點(diǎn)為χo,

當(dāng)X∈(0,AO)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(xo,+∞)?,f'(x)>0.

故在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(xo,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=XO時(shí)，?r)取得最小值，最小值為兀助.

由于2v

2e-o-√τvU^=0,

所以人XO)=*~+24ro+αln-22。+。In-.

NXoClCl

2

故當(dāng)a>0時(shí)，Kr)22α+αln~.

名帥A撥MINGSHIDIANBO

利用導(dǎo)數(shù)研究方程根(函數(shù)零點(diǎn))的技巧

(1)研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、

變化趨勢(shì)等.

(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置.

(3)利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀

的整體展現(xiàn).

〔變式訓(xùn)練1〕

(2022?贛州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)段)=e?r—xlnx,./U)的導(dǎo)函數(shù)為∕'(X).

(1)當(dāng)"2=1時(shí)，證明：函數(shù)人犬)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)若g(x)=/(X)—機(jī)+1,討論函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

［解析］(1)證明：當(dāng)m=1時(shí)，X%)=eγ^1—?lnx(x>0),'.f'(x)=e'1-Inx

—1,

令h(X)=于'(x)=evl-Inχ-1,

則.(x)=eχT-

當(dāng)x∈(O,l)時(shí)，h'(%)<0,餌龍)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(l,+∞)0t,h'(x)>0,〃(X)單調(diào)遞增，

.?.A(x)min=Zi(I)=O,二當(dāng)x>0時(shí),MX)=f'(x)=ex-1—Inχ-1,

.?ΛX)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由題意得，f'(x)=ex~m—Inx—1,則g(x)=/(x)—τn+l=ex^rtl—Inx—

m(x>0),

令g(jc)=e*-"'-lnx~m=0,則e'^^w=lnx+m,

.*.ex=em(lnx+ni),

，xe'=Λem(lnχ-?-m),

Λχer=em+ln-''(lnx+m),

令磯X)=Xeλ,則9(x)=8(m+lnx),

；當(dāng)x>0時(shí)，φ'(x)=(x+l)e'>O,

.?.當(dāng)x>0時(shí)，9(x)=Xex為單調(diào)遞增函數(shù)，

.?.x=機(jī)+lnx,.?m=χ-In%(x>0),

令t(x)=X-Inx(x>0),貝!］r'(x)=l-?,

當(dāng)O<x<l時(shí)，/。)<0,心)單調(diào)遞減，當(dāng)Ql時(shí)，

t'(Λ)>O,Z(X)單調(diào)遞增，

??/(?)min=/(1)=1,

.?.當(dāng)〃2<1時(shí)，m=χ-lnX無(wú)解，即g(x)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)〃2=1時(shí)，/〃=x—Inx有1個(gè)解，即g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)〃》1時(shí)，m=x—Inx有2個(gè)解，即g(x)有2個(gè)零點(diǎn).

考點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

例2(2022?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)/(x)=0r-(α+l)lnx.

(1)當(dāng)α=0時(shí)，求/)的最大值；

(2)若/U)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

［解析］利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值+利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(理性思維、數(shù)學(xué)

探索)

1ll?—X

(1)當(dāng)α=0時(shí)，<》)=一；一InX(X>0),所以/(%)=乒一；=-^-

√V?Λ?人■人

若X∈(O,D,f'(x)>0,/X)單調(diào)遞增;

若x∈(i,+∞),f(x)<o,yu)單調(diào)遞減，

所以yU)max=∕∏)=-l.

,?1,/日R,1?+1(ax—I)(X—1)

(2)由人幻=⑵一；一(a+l)lnx(x>0),付/(x)=a+-2~--=

?A?√v人人χ2

(x>0).

當(dāng)α=0時(shí)，由(1)可知，/U)不存在零點(diǎn)；

U)(LI)

當(dāng)α<0時(shí)，f'(%)=—--------，

若X∈(O,D,f'(x)>0,/X)單調(diào)遞增,

若x∈(i,+∞),f(x)<o,yu)單調(diào)遞減，

所以/(x)max=Al)=α-1<0,所以?x)不存在零點(diǎn)；

當(dāng)α>0時(shí)，f'(%)=-----p-------,若α=l,/(x)2O,

兀￥)在(0,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)棣?i)=α-ι=o,所以函數(shù)九》恰有一個(gè)零

點(diǎn)，

若a>l,∕U)在(0,5I，(1,+8)上單調(diào)遞增，在g,1)上單調(diào)遞減，因?yàn)?(1)

=?-1>0,所以七)次1)>0,當(dāng)L0+時(shí)，危)一一8,由零點(diǎn)存在定理可知於)

在(0,力上必有一個(gè)零點(diǎn)，所以α>l滿足條件，

若0<α<l,T(X)在(0,1),g,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3上單調(diào)遞減，因?yàn)?/p>

Λl)=α-1<0,所以d勺U)<0,當(dāng)χf+8時(shí)，/(χ)→+∞,由零點(diǎn)存在定理可

知火X)在(5，+8)上必有一個(gè)零點(diǎn)，即o<“<ι滿足條件.

綜上，若7U)恰有一個(gè)零點(diǎn)，α的取值范圍為(0,+∞).

名帥點(diǎn)帔MINGSHIDIANBO

利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法

1.利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合函數(shù)段)的單調(diào)性構(gòu)建不等式求解.

2.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

3.分離參數(shù)(Z=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化

為直線y=Z與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解.

〔變式訓(xùn)練2J

設(shè)函數(shù)/(X)=—x2÷θr÷lnx(?∈R).

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)HX)在g,3上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

［解析］(1)函數(shù).穴X)的定義域?yàn)?0,+∞),

當(dāng)。=一1時(shí)，

,1-2x2-?+1

f（X）=—2x—1+--

X

令/(x)=0,得x=](負(fù)值舍去),

當(dāng)0令<；時(shí)，f'(x)>O;

當(dāng)x>∕時(shí)，/(x)<O.

單調(diào)遞減區(qū)間為出

+∞L

]nX

(2)令?￥)=-χ2+ax+?nX=0,得a=χ-~~^~~.

令g(x)=x—乎，其中χ∈g,3

1—lnxx2÷lnχ-1

貝∣Jg'(X)=I

令短(X)=0,得X=1,當(dāng)]Wx<l時(shí)，g'(%)<0；

當(dāng)lαW3時(shí)，g'(x)>0,

所以g(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間為4，1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,3],

所以g(x)min=g(l)=l,因?yàn)楹瘮?shù)犬X)在*3上有兩個(gè)零點(diǎn),g(∣?)=31n3+1,

c?CIn3

g(3)=3-?-

31n3+∣>3-??,

所以實(shí)數(shù)α的取值范圍是(1,3

考點(diǎn)三與零點(diǎn)有關(guān)的綜合問題

例3(2020?全國(guó)Ill卷)設(shè)函數(shù)兀T)=Λ3+AX+C,曲線y=√(x)在點(diǎn)(；，《習(xí))處的

切線與y軸垂直.

⑴求。；

(2)若y(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：yu)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不

大于1.

[解析]W(x)=3√+?.

依題意得/a=。，≡p∣+?=o,

故g-/

3

(2)證明：由(1)知人X)=A?-/+,,,

311

/(X)=3Λ2-[令/'(X)=0,解得x=—2或無(wú)=]?

/(X)與yu)的情況為：

+

X(-8T)——22)&°°)

f'(X)+0—0+

11

用）c+-C--

44

因?yàn)門U）=/（_g=c+：,

所以當(dāng)C＜一；時(shí)，兀X）只有大于1的零點(diǎn).

所以當(dāng)c＞：時(shí)，y（x）只有小于一1的零點(diǎn).

由題設(shè)可知一（wcw∕

當(dāng)。=一；時(shí)，,八工）只有兩個(gè)零點(diǎn)一3和1.

當(dāng)c="時(shí)，yu）只有兩個(gè)零點(diǎn)一1和小

當(dāng)一（＜C＜t時(shí)，段）有三個(gè)零點(diǎn)九1,無(wú)2,九3,且Xle（—1,—；），X2《（一g,g）,

X3e（］'1）?

綜上，若大x）有一個(gè)絕對(duì)值不大于1