§8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【考試要求】1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.

3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

-落實(shí)主干知識(shí)

佚口識(shí)梳理】

1.四個(gè)公理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2.空間中直線與直線的位置關(guān)系

平行直線

共面直線

相交直線

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有

I公共點(diǎn)

3.空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

4.空間中平面與平面的位置關(guān)系

平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.

5.等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）兩個(gè)平面α,尸有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō)α,用相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線.（X）

（2）兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.（√）

（3）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.（X）

（4）沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.（X）

【教材改編題】

1.如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.AB與Co是異面直線

B.GH與CZ)相交

C.EF//CD

D.EF與A8異面

答案D

解析把展開(kāi)圖還原成正方體，如圖所示.

4D

還原后點(diǎn)G與C重合，點(diǎn)B與尸重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯(cuò).

2.如果直線αU平面α,直線∕?U平面尸.且α〃夕，則n與伙)

A.共面

B.平行

C.是異面直線

D.可能平行，也可能是異面直線

答案D

解析a//β,說(shuō)明α與。無(wú)公共點(diǎn)，

.??α與人可能平行也可能是異面直線.

3.如圖，在三棱錐CZ)中，E,F,G,，分別是棱AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)

AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形EFG”為菱形；

(2)當(dāng)AC,BQ滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形.

答案(IMC=Bo(2)AC=B。且ACl.BD

解析(1)；四邊形EFGH為菱形,

J.EF=EH,

'：EF^AC,EH鼎BD,

：.AC=BD.

(2)；四邊形EFGH為正方形,

：.EF=EH且EFVEH,

VfF?AC,EH*BD,

.".AC=BD且ACl.BD.

■探究核心題型

題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用

例1如圖所示，已知在正方體ABCD—4B1GG中，E,尸分別為。∣C∣,G8∣的中點(diǎn),ACCBD

=P,AlGnEF=Q.求證：

(I)D,B,F,E四點(diǎn)共面；

(2)若AlC交平面FE于R點(diǎn)，則尸，Q,R三點(diǎn)共線.

證明(1)；E尸是△力IBlG的中位線，

：.EF//B\D\.

在正方體ABCO—小BIGZ)I中,B?D?∕∕BD,

J.EF//BD.

：.EF,80確定一個(gè)平面，即。，B,F,E四點(diǎn)共面.

⑵在正方體ABCD-AIBIGDl中，

設(shè)平面A∣ACC∣為a,

平面BDEF為β.

Vβ∈AlC∣,.?.Q∈α.

又Q∈EF,r.Q≡β,

則。是α與a的公共點(diǎn)，同理，P是α與夕的公共點(diǎn)，

.?.α∩4=P。.

,

又AIClV=R,??Λ≡AlC.

.?.R∈α,?R≡β,

則RCPQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.

【教師備選】

如圖所示，在正方體ABCZ)BlCIQl中，點(diǎn)E,F分別是AB,AAl的中點(diǎn)，連接￡>/,CE.

求證：

(I)E,C,Di,F四點(diǎn)共面；

(2)CE,D?F,D4三線共點(diǎn).

證明(1)如圖所示，連接CQI,EF,AtB,

VE,F分別是AB,AAI的中點(diǎn),

.?EF∕∕A↑B,且EF=518.

又YAIZWBC,AlDl^BC,

四邊形4BCE>1是平行四邊形，

.?A↑B∕∕CDl,J.EF∕∕CD↑,

：.EF與CDi能夠確定一個(gè)平面ECD↑F,

即E,C,Di,F四點(diǎn)共面.

(2)由(1)知EF〃C。，且EF=TS,

四邊形CdFE是梯形，

,CE與。1尸必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,

貝∣JP∈CE,且PGDIF,

ICEU平面ABC。，DIFu平面Ab

.?.P∈平面A2C。，且P∈平面AlAQA.

又；平面ABCDC平面AiADDt=AD,

.?.P∈AO,

/.CE,DlF,OA三線共點(diǎn).

思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不

共面的圖是()

答案D

解析對(duì)于A,PS//QR,故尸，Q,R,S四點(diǎn)共面；同理，B,C圖中四點(diǎn)也共面；D中四

點(diǎn)不共面.

(2)在三棱錐A-BC力的梭AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,，四點(diǎn)，如果EFC”G=

P，則點(diǎn)P()

A.一定在直線BO上

B.一定在直線AC上

C.在直線AC或BD上

D.不在直線AC上，也不在直線8。上

答案B

解析如圖所示，

因?yàn)镋FU平面ABC,HGU平面AC。，EFCHG=P,

所以Pe平面ABC,

P∈平面ACD.

又因?yàn)槠矫鍭BCn平面ACD=AC,

所以PeAC.

題型二空間位置關(guān)系的判斷

例2(1)下列推斷中，錯(cuò)誤的是()

A.若M∈α,M≡β,a∏β=l,則M∈∕

B.A∈α,AG夕，B∈a,BGBnaCβ=AB

C.Wa,A∈∕=>AΦa

D.A,B,C∈a,A,B,C≡β,且A,B,C不共線今a,β重合

答案C

解析對(duì)于A,因?yàn)镸∈a,M≡β,a∏β=l,由公理3可知M∈∕,A對(duì);

對(duì)于B,A∈ct,A∈∕?,8∈α,B≡β,故直線ABUα,ABU夕，即α∩夕=AB,B對(duì)；

對(duì)于C,若∕∩α=A,則有/Ca,A∈∕,但A∈a,C錯(cuò)；

對(duì)于D,有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面a,￡中，故a,夕重合，D對(duì).

（2）己知在長(zhǎng)方體ABCD-ABCiA中，M,N分別是長(zhǎng)方形4B∣GQ與長(zhǎng)方形BCGBl的中

心，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線MN與直線AB是異面直線

B.直線MN與直線DOi相交

C.直線MN與直線AG是異面直線

D.直線MN與直線4C平行

答案C

解析如圖，因?yàn)镸,W分別是長(zhǎng)方形AlBIGA與長(zhǎng)方形BCClBl的中心，所以M,N分別

是AG,BG的中點(diǎn)，所以直線MN與直線AB平行，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面BBIDID內(nèi)一點(diǎn)M,且點(diǎn)M不在直線DDl上，

所以直線MN與直線是異面直線，所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面ABel內(nèi)一點(diǎn)N,且點(diǎn)N不在直線ACI上，

所以直線MN與直線AC是異面直線，所以C正確；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面ACG內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)M不在直線AlC上，所以直線MN與直線AIC

是異面直線，所以D錯(cuò)誤.

【教師備選】

1.設(shè)a,b,C是三條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若aUa,bC,β,則。與Z?是異面直線

B.若a與6異面，人與C異面，則a與C異面

C.若a,匕不同在平面a內(nèi)，則“與〃異面

D.若a,人不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則”與6異面

答案D

2.如圖所示，G,N,M,”分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH與MN

是異面直線的圖形有.（填序號(hào)）

答案②④

思維升華（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長(zhǎng)方體、正方體）模型來(lái)判

斷，常借助正方體為模型.

（2）對(duì)異面直線的判定常用到以下結(jié)論：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)8的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)

點(diǎn)8的直線是異面直線.

跟蹤訓(xùn)練2（1）空間中有三條線段A3,BC,CD,且NABC=NBCD,那么直線AB與CZ）

的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.異面

C.相交或平行

D.平行或異面或相交均有可能

答案D

解析根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況均有可能，

如圖可知AB與CQ有相交、平行、異面三種情況.

（2）若直線∕∣和/2是異面直線，∕∣在平面α內(nèi)，/2在平面用內(nèi)，/是平面α與平面￡的交線，則

下列結(jié)論正確的是（）

A./與∕∣,/2都不相交

B./與∕∣,/2都相交

C./至多與/1，/2中的一條相交

D./至少與∕∣,/2中的一條相交

答案D

解析如圖1,∕∣與/2是異面直線，/|與/平行，/2與/相交，故A,B不正確；如圖2,/1與

/2是異面直線，∕l,，2都與/相交，故C不正確.

題型三空間幾何體的切割（截面）問(wèn)題

例3（1）在正方體ABeQ-A由ICIQl中，M,N分別是棱QQI和BBl上的點(diǎn)，MD=TDDι,

NB=±BBι,那么正方體中過(guò)M,N,G的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案C

解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的

交點(diǎn).

如圖，設(shè)直線C∣M,Cn相交于點(diǎn)尸，直線ClMC8相交于點(diǎn)Q,連接PQ交直線于點(diǎn)E,

交直線AB于點(diǎn)F,則五邊形ClMEFN為所求截面圖形.

(2)已知正方體ABCD-AxB?C?D?的棱長(zhǎng)為2.以D1為球心，小為半徑的球面與側(cè)面BCCIBl

的交線長(zhǎng)為.

套案-

口呆2

解析以功為球心，小為半徑的球面與側(cè)面BCGB的交線是以Cl為圓心，1為半徑的圓

1JT

與正方形BCC1B1相交的一段弧(圓周的四分之一)，其長(zhǎng)度為wX2πX1=了

延伸探究將本例(2)中正方體改為直四棱柱ABC。-4B∣Gn的棱長(zhǎng)均為2,ZBΛD=60o.

以D1為球心，小為半徑的球面與側(cè)面BCCiBl的交線長(zhǎng)為.

答案率

解析如圖，設(shè)BlCl的中點(diǎn)為E,球面與棱CCl的交點(diǎn)分別為P,Q,

連接。B,DB,DιP,DιE,EP,EQ,

由/840=60。，AB=AD,知44BO為等邊三角形,

?'?D[B?-DB—2.1

.?.△口BIG為等邊三角形，

則OIE=√5且GE_L平面BCGBI,

.'.E為球面截側(cè)面BCClBI所得截面圓的圓心，

設(shè)截面圓的半徑為r,

則r=√K?-DiE2=√5≡3=√2.

又由題意可得EP=EQ=?

，球面與側(cè)面BCCIBI的交線為以E為圓心的圓弧PQ.

又DlP=S

：.BlP=^D?P1-D?B}=1,

同理ClQ=L

：.P,Q分別為8Bι,CG的中點(diǎn),

π

NPEQ=R

知踵的長(zhǎng)為^χ√5=華，即交線長(zhǎng)為華.

【教師備選】

如圖，在正方體ABCO-4B∣GA中，E是BC的中點(diǎn)，平面ɑ經(jīng)過(guò)直線8。且與直線ClE

平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2,則平面α截正方體所得的多邊形的面積為.

答案g9

解析如圖，過(guò)點(diǎn)8作BM〃GE交BiC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)“作的平行線，交CQl于點(diǎn)M

連接。N,則平面BONM即為符合條件的平面ɑ,

由圖可知M,N分別為BleI,GA的中點(diǎn),

敵BD=2巾,MN=巾,

且BM=DN=木,

等腰梯形MN￡>8的高為

仁4（而T勢(shì)=嗜

梯形MN￡?8的面積為

∣×（√2+2√2）×^=∣.

思維升華（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直

線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：①利用公理3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖，在正方體A8CQ-A8∣C∣O∣中，E為棱BBl的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A,E,C,

的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖是()

答案A

解析在正方體ABCD-AsBiCiDi中,

過(guò)點(diǎn)A,E,G的平面截去該正方體的下半部分后,

剩余部分的直觀圖如圖.

則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分，故選A.

(2)(2022?蘭州模擬)如圖，正方體AIC的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)用在棱45上，A?M=2MD↑,過(guò)例的

平面α與平面ABG平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為

O

M/1

答案3√2

解析在平面4UD4中尋找與平面AIBG平行的直線時(shí)，只需要如圖所示,

因?yàn)?M=2M2,故該截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近O∣,A,C的三等分點(diǎn)處,

故可得截面為MIHGFE,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3°,

則Λffi=2∕/,M∕=√2α,

W=2√2α,HG=Jia,FG=2吸a,EF=y∣2a,

所以截面MIHGFE的周長(zhǎng)為ME+EF+FG+GH+Hl+lM=9y[2a,

又因?yàn)檎襟w4C的棱長(zhǎng)為1,即3α=l,

故截面多邊形的周長(zhǎng)為3√Σ

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.給出以下四個(gè)命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角必相等；

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤.

②中，由公理2知道，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.

③中，由空間角的等角定理知，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,

那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.

④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交、可平行、可異面，故④錯(cuò)誤.

2.已知〃?，〃是兩條不同的直線，ɑ,“是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若a邛,則直線機(jī)與〃可能相交或異面

B.若∏C.β,則直線〃?與〃一定平行

C.若Inla,秣〃β,al-β,則直線機(jī)與"一定垂直

D.^m∕∕a,n∕∕β,a//β,則直線，"與"一定平行

答案A

解析m,”是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面,

對(duì)于A,若％_La,∏1β,aLβ,則直線m與"相交垂直或異面垂直，故A正確;

對(duì)于B,若a_LQ,mUa,∏ufi,則直線小與〃相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若〃?_La,n∕∕β,a_L夕，則直線，"與〃相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若zn〃a,n//β,a//β,則直線機(jī)與“平行或異面，故D錯(cuò)誤.

3.（2022?營(yíng)口模擬）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線0,h,I,則''α,b,/兩兩相交”是“a,

b,/共面”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線4,b,I,若α,b,/在同一平面，則α,b,/相交或4,

b,/有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行.

所以a,b,/在同一平面，則”,b,/兩兩相交不一定成立；

而若α,〃，/兩兩相交，則”,b,/在同一平面成立.

故b,/兩兩相交”是“〃，h,/共面”的充分不必要條件.

4.如圖所示，在正方體ABC￡>—A山ιGO∣中，E是平面AZ）AAl的中心，M,N,尸分別是BlC∣,

CCi,AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.MN=*F,且MN與EF平行

B.MNW；E凡且MN與EF平行

C.MN=*F,且MN與E尸異面

D.MN≠^EF,且MN與E尸異面

答案D

解析設(shè)正方體A8CO—4B∣GO∣的棱長(zhǎng)為24,

則MN=7MG+CN=N（引2+（4>=√L7,

作點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)G,連接EG,GF,

=小”，

所以MNWaEE故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤；

連接DE,因?yàn)镋為平面4力。A的中心，

所以DE=^A↑D,

又因?yàn)镸,N分別為8ιC∣,CCl的中點(diǎn)，

所以MN〃BC

又因?yàn)锽lC〃40,所以MN〃ED,

且DEQEF=E,

所以MN與EP異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

5.如圖所示，平面aC平面夕=/,ABa,BRa,AB∏l=D,C≡β,C￠/,則平面ABC與平面

夕的交線是（）

答案C

解析由題意知，D∈∕,lu∕）,所以?！?,

又因?yàn)镼∈AB,所以。∈平面ABC,

所以點(diǎn)。在平面ABC與平面4的交線上.

又因?yàn)镃e平面ABC,CGβ,

所以點(diǎn)C在平面夕與平面ABC的交線上，

所以平面ABC∩平面夕=CD

6.（2022?廈門(mén)模擬）下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面

B.和同一條直線異面的兩直線一定共面

C.與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行

D.一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交

答案C

解析兩組對(duì)邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯(cuò)誤；

如圖1,直線。A與BiCi都是直線AB的異面直線，同樣。Cl與81Cl也是異面直線，故B

錯(cuò)誤；

如圖2,設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BQ一定不平行，否則若AC〃B￡>,有

AC與BD確定一個(gè)平面%則4C<=α,BDUa,所以A∈ct,B∈α,C∈a,D∈ct,所以AB

Uα,CDUa,這與假設(shè)矛盾，故C正確；

如圖1,AB//CD,而直線AAl與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯(cuò)誤.

圖2

a//αl

7.已知a,b是兩條不同的直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，在下列命題①〃八=α〃夕;

a∕∕β）

ɑ?etla//Otlal,a

②，=α〃?；③〃=?！?；④=。〃》中，正確的命題是_______（只填序號(hào)）.

aλ-β?b//a）b±a

答案②④

解析①與同一條直線平行的兩個(gè)平面不一定平行，在本題的條件下，兩平面可能相交，所

以①是假命題；

②根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，由。，α,可得出ɑ〃人所以②是真命題；

③根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，可得4與b可以是平行或相交或異面，所以③是假命題；

④垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，所以④是真命題.

8.（2022?渭南模擬）在空間中，給出下面四個(gè)命題，其中假命題為.（填序號(hào)）

①過(guò)平面ɑ外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面ɑ垂直；

②若平面S內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面ɑ的距離都相等，則α〃”；

③若直線/與平面ɑ內(nèi)的任意一條直線垂直，則/La;

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線.

答案①②④

解析對(duì)于①，當(dāng)平面ɑ外兩點(diǎn)的連線與平面ɑ垂直時(shí)，此時(shí)過(guò)兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面α

垂直，所以①不正確；

對(duì)于②，若平面￡內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面α的距離都相等，平面α與夕可能平行，也可能相

交，所以②不正確；

對(duì)于③，直線/與平面內(nèi)的任意直線垂直時(shí)，得到/La,所以③正確；

對(duì)于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直

線外的一點(diǎn)，所以④不正確.

9.如圖，平面AB￡7」平面ABCD,四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB

=90o,BC//ADKBC=^AD,BE//AFB.BE=ψ?F,G,H分別為∕?,尸。的中點(diǎn).

(1)證明：四邊形BC"G是平行四邊形；

(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

⑴證明VG,“分別是放，F(xiàn)O的中點(diǎn),

/.GH星AD

又BC曙AD,：.GH霰BC.

：.四邊形BCHG為平行四邊形.

⑵解?.?BE^AF,G是用的中點(diǎn)，

.?BE^FG,

：.四邊形BEFG為平行四邊形，

:,EF//BG.

由⑴知BG統(tǒng)CH,

.,.EF//CH,

；.EF與CH共面.

又DGFH,

：.C,D,F,E四點(diǎn)共面.

10.如圖，四棱柱ABCO-ABICQ的側(cè)棱44」底面ABCZ),四邊形ABC。為菱形，E,F

分別為Λ4∣,CG的中點(diǎn)，何為AB上一點(diǎn).

??

C1

Al

⑴若。IE與QW相交于點(diǎn)K,求證AE,CM,D4三條直線相交于同一點(diǎn);

JT___

(2)若A8=2,AAl=4,ZBAD=y求點(diǎn)Oi到平面尸8。的距離.

⑴證明:OiE與CM相交于點(diǎn)K,

.?.K∈OIE,K≡CM,

而Z)IEU平面ADD↑A↑,CMU平面ABCD,

且平面A￡>AAlrI平面ABCD=AD,

J.K≡AD,

/.D1E,CM,D4三條直線相交于同一點(diǎn)K.

(2)解：四邊形ABC力為菱形，AB=2,

：.BC=CD=I,

而四棱柱的側(cè)棱AA|_L底面ABCD,

；.CC」底面ABCD,

又YF是CCl的中點(diǎn)，CCl=4,ΛCF=2,

ΛBF=DF=2√2,

JT

又???四邊形ABCO為菱形，ZBAD=y

：.BD=AB=Ii

.,.5?FβD=∣×2×*?∕(2√2)2-1=√7.

設(shè)點(diǎn)D1到平面FBD的距離為九點(diǎn)B到平面DD↑F的距離為d,

則t∕=2sin^=√3,

又,VDI-FBD=VB-DDlF，

??3義S4FBDXh§XS△DqFXd,

Λ∣×√7×?=∣×∣×4×2×√3,

解得Zz=呼?

即點(diǎn)D1到平面FBD的距離為絆L

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11.如圖，點(diǎn)N為正方形ABe。的中心，AECO為正三角形，平面ECo，平面A8CZXM是

線段EO的中點(diǎn)，則（）

A.BM=EN,且直線8M,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

答案B

解析如圖，取CO的中點(diǎn)0,連接OMEO,因?yàn)椤鳌觥陘1￡>為正三角形，所以Eoj_C￡>,又

平面ECDl.平面ABCD,平面ECDC平面ABCD=C。,所以EOL平面ABCD設(shè)正方形ABCD

的邊長(zhǎng)為2,則EO=√5,ON=I,所以EM=EO?+0M=4,得EV=2.過(guò)M作CQ的垂線,

垂足為P,連接8P,則Mp=坐，CP=∣,所以8M2=M產(chǎn)+BP2=停）2+?）2+22=7,得

BM=yf7,所以BMWEN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅蜛BeD為正方形，所以N為8。的中點(diǎn),

即EN,MB均在平面BoE內(nèi)，所以直線BΛ∕,EN是相交直線.

E

12.（2022?廣州六校聯(lián)考）如圖,在正方體ABCZ）-AIBJCQI中，M,MP分別是CiA,BC,

4A的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.AP與CM是異面直線

B.AP,CM,。。相交于一點(diǎn)

C.MN//BD↑

D.MC〃平面BBQlo

答案B

解析如圖，連接MP,AC,

因?yàn)镸P〃AC,MP≠AC,

所以AP與CM是相交直線，

又平面4AOE>ι∩平面ClCDDl=DDI,

所以AP,CM,。。相交于一點(diǎn)，則A不正確，B正確；

令A(yù)CnBD=0,連接。A,0N.

因?yàn)镸,N分別是GO1,BC的中點(diǎn)，

樂(lè)以O(shè)N〃D\M〃CD,ON=D?M=缶D,

則四邊形MNODl為平行四邊形，

所以MN//ODi,

因?yàn)镸MJ平面BB?D?D,

OAU平面BBIDID,

所以MN〃平面C不正確，D不正確.

13.棱長(zhǎng)均為Im的正三棱柱透明封閉容器盛有4n√水，當(dāng)側(cè)面AA∣8∣B水平放置時(shí)，液面

高為hm（如圖1）；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)容器至截面A1BC水平放置時(shí)，容器中的水恰好充滿三棱錐A-

4BC（如圖2）,則“=,A=.

解析由題意得SAASC=2XIXIXSin60°

=；XIXIX坐=坐，

AAi=I.

VA-AIBC=gsAABC?AAι=gx坐XI=興=a.

由VABED-AlBIEIDl~VA-AIΛC仔S四邊形A8EQ?A41

β5?λβc?AAι,

?*?5四邊形A8EQ=]SZSABC,

?'?5ΔCDE=?5ΔASCT

?匹=啦=亞

??AB^√3^3,

..DC_DE_y[6

,^AC~^AB~3，

；.DC=普,：.AD=I一當(dāng),

在等邊AABC中，AB邊上的高為坐.

一亞

..Ji__AD3

-近=k-i-，

2

√3√2

A=-

22,

14.(2022?鹽城模擬)在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCf)—AIBeI￡)|中，P,。分別為棱AQ∣,CCl

的中點(diǎn)，過(guò)P,Q,A作正方體的截面，則截面多邊形的周長(zhǎng)是

25+9小+2行

答案3

解析如圖所示，

過(guò)Q作QM〃AP交BC于例，

由A?P=CQ=2,tan∕A7?ι=2,

則tanNCMQ=2,

CM=ta屋MQ=L

延長(zhǎng)M。交8G的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接尸E,交DICl于N點(diǎn)、,

則多邊形AMQNP即為截面，

根據(jù)平行線性質(zhì)有GE=CM=I,

C↑N_C\E_\

'ND?~'PD~T

則ClN=,，D∣yv=∣,

因此NQ=

又AP=M4?+2?=2小,AM=?∣42+32=5,

Mβ=√l2+22=√5,

所以多邊形AMQNP的周長(zhǎng)為

AM+MQ+QN+NP+PA

=5+√5+^ψ^+y+2√5

25+9√5+2√T3

=3

立拓展沖刺練

15.（2022?山西康杰中學(xué)模擬）如圖，直四棱柱ABCD—AIBlGd的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

AΛ=3,E,尸分別是A8,BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)2,E,尸的平面記為α,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的

是（）

A.點(diǎn)B到平面a的距離與點(diǎn)4到平面a的距離之比為1:2

B.平面α截直四棱柱ABCD-MByCyDy所得截面的面積為歲

C.平面α將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為47：25

D.平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形狀為四邊形

答案D

解析對(duì)于A,因?yàn)槠矫姒吝^(guò)線段