第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和直觀圖課標要求考情分析1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．會用斜二測法畫出它們的直觀圖．1.本節(jié)內(nèi)容是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體的直觀圖等內(nèi)容．2．命題形式主要以選擇題、填空題為主，主要考查空間幾何體的直觀圖的確認與應用，同時這類題目也重點考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，解題要求有較強的空間想象能力.知識點一空間幾何體1．多面體的結(jié)構(gòu)特征2．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線知識點二eq\o(\s\up17(水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二),\s\do15(測畫法的規(guī)則))1．原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．2．原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄倍y畫法中的“三變”與“三不變”：“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x，z軸平行的線段的長度不改變，,相對位置不改變.))1．思考辨析判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)有兩個平面平行，其余各面都是四邊形的多面體是棱柱．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)有兩個面是平行的相似多邊形，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺．(×)(4)用一個平面去截棱錐，棱錐的底面和截面之間的部分是棱臺．(×)(5)棱臺的側(cè)面都是梯形．(√)(6)棱臺的側(cè)棱長都相等．(×)解析：(1)也可以是棱臺．(2)棱錐其余各面都是有同一個公共頂點的三角形．(3)側(cè)棱延長后必須交于一點．(4)必須用平行于底面的平面去截棱錐．(6)正棱臺的側(cè)棱長相等，非正棱臺不一定相等．2．小題熱身(1)某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是(A)A．圓柱 B．圓錐C．四面體 D．三棱柱(2)下列說法正確的是(D)A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行(3)如圖，直觀圖所表示的平面圖形是(D)A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形(4)如圖，一個立在水平地面上的圓錐的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)m，則圓錐底面圓的半徑等于eq\f(4,3)m.解析：(1)由三視圖知識知，圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形．(2)由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能改變，而線段的平行關系不變．(3)由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后AC∥y軸，BC∥x軸，所以△ABC是直角三角形．故選D．(4)把圓錐側(cè)面沿過點P的母線展開如圖所示的扇形．由題意知OP＝OP′＝4m，PP′＝4eq\r(3)m，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－4\r(3)2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3)m.考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3(2)給出下列四個命題：①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．(填序號)【解析】(1)由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確．對于命題④，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，④不正確．(2)對于①，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯；對于③，若底面不是矩形，則③錯；④由線面垂直的判定，可知側(cè)棱垂直于底面，故④正確．綜上，命題①②③不正確．【答案】(1)B(2)①②③方法技巧空間幾何體概念辨析題的常用方法1定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進行判定.2反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析.給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個面都是直角三角形的四面體；⑤棱臺的側(cè)棱延長后交于一點．其中正確命題的序號是②③④⑤.解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體AC1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形；⑤正確，由棱臺的概念可知．考點二空間幾何中的簡單計算問題【例2】(1)有一根長為3πcm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________cm(2)一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm，若兩底面圓心的連線長為12cm【解析】(1)把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，點A與點C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度，又AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5π(cm)，故鐵絲的最短長度為5πcm.(2)如圖，過點A作AC⊥OB，交OB于點C．在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．【答案】(1)5π(2)13方法技巧這類計算問題關鍵是找出幾何體的截面圖，把空間幾何體的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何知識解決.已知正四棱錐P-ABCD的頂點均在球O上，且該正四棱錐的各個棱長均為2，則球O的表面積為(C)A．4π B．6πC．8π D．16π解析：設點P在底面ABCD上的投影為O′，則AO′＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，PA＝2，PO′⊥平面ABCD，故PO′＝eq\r(PA2－AO′2)＝eq\r(2)，而底面ABCD所在截面圓的半徑AO′＝eq\r(2)，故該截面圓即為過球心O的圓，則球O的半徑R＝eq\r(2)，故球O的表面積S＝4πR2＝8π，故選C．考點三空間幾何體的直觀圖命題方法1由斜二測畫法畫直觀圖【例3】已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．【解析】如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖．因為OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)命題方向2由直觀圖還原平面圖形【例4】(1)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形(2)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．【解析】(1)如圖，在原圖形OABC中，應有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．(2)如圖①，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).∵四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖②.在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).【答案】(1)C(2)2＋eq\f(\r(2),2)方法技巧1用斜二測畫法畫直觀圖的技巧,在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，在直觀圖中作出相應的點后，用平滑的曲線連接而畫出。2平面圖形直觀圖與原圖形面積間的關系,對于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測畫法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關系，能更快捷地進行相關問題的計算.1．(方向2)如圖是水平放置的某個三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點且A′D′∥y′軸，A′B′，A′D′，A′C′三條線段對應原圖形中的線段AB，AD，AC，那么(C)A．最長的是AB，最短的是ACB．最長的是AC，最短的是ABC．最長的是AB，最短的是ADD．最長的是AD，最短的是AC解析：由題中的直觀圖可知，A′D′∥y′軸，B′C′∥x′軸，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知，在原圖形中AD∥y軸，BC∥x軸，又因為D′為B′C′的中點，所以△ABC為等腰三角形，且AD為底邊BC上的高，則有AB＝AC>AD成立．2．(方向1)已知正△ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(D)A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：解法1：△ABC的實際圖形和直觀圖如圖①②所示，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\