8.3正態(tài)分布一、正態(tài)曲線及其性質(zhì)1、正態(tài)曲線：我們稱，x∈R，其中μ∈R，σ>0時(shí)為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．2、正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3、正態(tài)分布的期望與方差：若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4、正態(tài)曲線的特點(diǎn)：（1）非負(fù)性：對(duì)?x∈R，，它的圖象在x軸的上方．（2）定值性：曲線與x軸之間的面積為1.（3）對(duì)稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．（4）最大值：曲線在x＝μ處達(dá)到峰值.（5）當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近x軸．（6）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.（7）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.5、正態(tài)分布的幾何意義：若，如圖所示，X取值不超過(guò)x的概率為圖中區(qū)域A的面積，而為區(qū)域B的面積．6、正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.二、正態(tài)分布的應(yīng)用（3σ原則）解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格．題型一正態(tài)曲線的圖象與性質(zhì)【例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（）（人A7.5練習(xí)）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式知，.故選：D.【變式1-1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（）（人A7.5練習(xí)）A．越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．越大，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】A【解析】為數(shù)據(jù)的方差，所以越大，數(shù)據(jù)在均值附近越分散，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越小，故A錯(cuò)誤;由正態(tài)分布密度曲線對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確；由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等,故D正確.故選：A.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．對(duì)任意正數(shù)，D．對(duì)任意正數(shù)，【答案】C【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可知，、的密度曲線分別關(guān)于、對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖像可得，；又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，；故A、B錯(cuò)誤．由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對(duì)任意正數(shù)，．故C正確，D錯(cuò)誤．故選：C．【變式1-3】（2023·高二單元測(cè)試）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由題圖中的對(duì)稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C題型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率【例2】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二北票市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若服從正態(tài)分布，且，則的值為_(kāi)_____.【答案】8【解析】由題意知，解得.故答案為：8.【變式2-1】（2023秋·山東德州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，，則______．【答案】0.52/【解析】由對(duì)稱性可知，，故.故答案為：0.52【變式2-2】（2023春·山東青島·高二?？计谥校╇S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.現(xiàn)已知隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布.若隨機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則________.【答案】/【解析】隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以，所以，.即，解得，則.故答案為：.【變式2-3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）重慶市奉節(jié)縣所產(chǎn)臍橙果皮中厚、脆而易剝，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，榮獲農(nóng)業(yè)部?jī)?yōu)質(zhì)水果、中國(guó)國(guó)際農(nóng)業(yè)博覽會(huì)金獎(jiǎng)等榮譽(yù).據(jù)統(tǒng)計(jì)，奉節(jié)臍橙的果實(shí)橫徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布，則果實(shí)橫徑在的概率為_(kāi)_____.（附：若，則；.）【答案】0.8185【解析】由題得，，所以，，所以，所以果實(shí)橫徑在的概率為.題型三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例3】（2023春·河南開(kāi)封·高二統(tǒng)考期中）某市組織高二學(xué)生統(tǒng)一體檢，其中男生有10000人，已知此次體檢中高二男生身高h(yuǎn)（cm）近似服從正態(tài)分布，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示高二男生中身高高于180cm的概率為0.32，則此次體檢中，高二男生身高不低于170cm的人數(shù)約為（）A．3200B．6800C．3400D．6400【答案】B【解析】因?yàn)楦叨猩砀遠(yuǎn)（cm）近似服從正態(tài)分布，且，于是，因此，所以高二男生身高不低于170cm的人數(shù)約為.故選：B.【變式3-1】（2023春·山東濰坊·高二山東省昌樂(lè)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知某地區(qū)有名同學(xué)參加某次數(shù)學(xué)模擬考試（滿分分），其中考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則下列說(shuō)法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：①；②；③）A．根據(jù)以上數(shù)據(jù)無(wú)法計(jì)算本次數(shù)學(xué)考試的平均分B．的值越大，成績(jī)不低于分的人數(shù)越少C．若，則這次考試分?jǐn)?shù)高于分的約有人D．從參加考試的同學(xué)中任取人，至少有人的分?jǐn)?shù)超過(guò)分的概率為【答案】D【解析】對(duì)A，根據(jù)正態(tài)分布知，數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)中標(biāo)準(zhǔn)差的意義，的值越大則高于分低于分的人數(shù)變小，所以成績(jī)不低分的人數(shù)增多，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，，故這次考試分?jǐn)?shù)高于分的約有人，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布知，由次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可知，從參加考試的同學(xué)中任取人，至少有人的分?jǐn)?shù)超過(guò)分的概率為，故D正確，故選：D.【變式3-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下（單位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為．（1）求和；（2）已知這批零件的內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布，若該車間又新購(gòu)一臺(tái)設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個(gè)零件，測(cè)量其內(nèi)徑（單位：）分別為：181，190，198，204，213，如果你是該車間的負(fù)責(zé)人，以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標(biāo)準(zhǔn)，試根據(jù)原則判斷這臺(tái)設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試？并說(shuō)明你的理由．參考數(shù)據(jù)：若，則：，，，．【答案】（1），；（2）這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試，理由見(jiàn)解析【解析】（1）,，故；（2）由題意得：，，即，所以五個(gè)零件的內(nèi)徑中恰有1個(gè)不在的概率為，又試產(chǎn)的5個(gè)零件中內(nèi)徑出現(xiàn)了1個(gè)不在內(nèi)，所以小概率事件出現(xiàn)了，根據(jù)原則，這臺(tái)設(shè)備需要進(jìn)一步調(diào)試.【變式3-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某食品廠生產(chǎn)一種零食，該種零食每袋的質(zhì)量X（單位：）服從正態(tài)分布.（1）當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢20袋該種零食時(shí)，測(cè)得1袋零食的質(zhì)量為73，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說(shuō)明判斷的依據(jù).（2）規(guī)定：這種零食的質(zhì)量在62.8~69.4的為合格品.①求這種零食的合格率；（結(jié)果精確到0.001）②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數(shù)為Y，若Y的數(shù)學(xué)期望大于58，求n的最小值.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】（1）該質(zhì)檢員的決定有道理，理由見(jiàn)解析；（2）①

；②

71【解析】（1）因?yàn)?，所以，，所以，，所?因?yàn)?.00135遠(yuǎn)小于，所以此事件應(yīng)為小概率事件，而質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢20袋該種零食時(shí)，測(cè)得1袋零食的質(zhì)量為73，說(shuō)明小概率事件確實(shí)發(fā)生了，因此他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備的決定有道理.（2）①因?yàn)?，，所以，，由題意可知當(dāng)零食質(zhì)量X滿足時(shí)為合格品，所以這種零食的合格率為.②由題意可知，則，則，故n的最小值為71；[注]在第（2）問(wèn)第2小問(wèn)中，若寫為，則，則，故n的最小值為71.題型四標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布應(yīng)用【例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）記（k，b為實(shí)常數(shù)），若，，則__________.【答案】-3或3【解析】由題知，，則隨機(jī)變量（為實(shí)常數(shù)），服從的分布為，而又因?yàn)?，所以有，解得或，所?3或3.【變式4-1】（2022春·江蘇鹽城·高二濱?？h五汛中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）若隨機(jī)變量，，其中，下列等式成立的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ACD.【變式4-2】（2023春·江蘇常州·高二江蘇省溧陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購(gòu)買一個(gè)面包，該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動(dòng)不超過(guò)50g，這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布.（1）已知如下結(jié)論：若，從的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量.利用該結(jié)論解決下面問(wèn)題.①假設(shè)面包師的說(shuō)法是真實(shí)的，隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包，記隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包的平均值為，求；②龐加萊每天都會(huì)將買來(lái)的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為978.72g.龐加萊通過(guò)分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說(shuō)明龐加菜舉報(bào)該面包師的理由；（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，②通常把發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生【答案】（1）①；②答案見(jiàn)解析；（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）（i）假設(shè)面包師說(shuō)法是真實(shí)的，則每個(gè)面包的質(zhì)量由已知結(jié)論可知，由附①數(shù)據(jù)知，（ii），由附②知，事件“”為小概率事件，由題25個(gè)面包質(zhì)量的平均值，小概率事件“”發(fā)生所以龐加萊認(rèn)為面包師的說(shuō)法不真實(shí)，進(jìn)行了舉報(bào)（2）由題意，設(shè)隨機(jī)挑選一箱，取出兩個(gè)面包，其中黑色面包個(gè)數(shù)為，則的取值為0，1，2設(shè)“所取兩個(gè)面包來(lái)自第箱”，所以設(shè)“所取兩個(gè)面包有各黑色面包”，由全概率公式，，，所以黑色面包個(gè)數(shù)的分布列為012所以【變式4-3】（2023春·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）新高考改革后江蘇省采用“”高考模式，“3”指的是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理、歷史里選一門；“2”指考生要在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門中選擇2門.（1）若按照“”模式選科，求甲乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù)；（2）某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語(yǔ)數(shù)外三科成績(jī)，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4000名參加語(yǔ)數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試、滿分450分，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布.①估計(jì)4000名學(xué)生中成績(jī)介于180分到360分之間有多少人；②某校對(duì)外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，有10名同學(xué)獲得425分以上的高分”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析上述宣傳語(yǔ)的可信度.附：，，.【答案】（1）；（2）①人；②不可信.【解析】（1）甲乙兩個(gè)學(xué)生必選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門，有種，在生物學(xué)、化學(xué)、思想