2023年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題（共40分）

1.（5分）設(shè)集合A={x∣-2<xW2,XeZ},B={4V2W1},則A∩8=（）

A.{-1,1}B.[-1,1]C.{-1,0,1}D.[-1,0]

2.（5分）歐拉恒等式小+1=0（，為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙

的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式/*=CoSΛ+isirιr的特例：當(dāng)自變量X=π時(shí),√π=cosπ+∕sinπ

.5τr

=-1,得e'"+l=0.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)Z=/不在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）

象限.

A.-B.-C.三D.四

3.（5分）（l+x）2+（l+x）3+???+（l+x）9的展開式中/的系數(shù)是（）

A.60B.80C.84D.120

5.（5分）在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹篇或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮

陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號(hào)的斗笠大小經(jīng)常用

帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個(gè)“燈罩斗笠”，

帽坡長20厘米，帽底寬20H厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法不正確的是（）

A.斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為120°

B.過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為100√^平方厘米

C.若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為1600π平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以完全蓋住的球(保持斗笠不變形)的最大半徑為20遮-30

厘米

6.(5分)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱

軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).已知

拋物線陜=4X的焦點(diǎn)為凡一平行于X軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射入，經(jīng)過拋物線上的

點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則直線AB的斜率為()

A.—4B.-4C.±4—D.—1Q6-

3339

7.(5分)兩不共線的向量工b,滿足面=3網(wǎng)，且V76R,而一tb∣≥而一b∣,則COS區(qū)，

b)=()

1√31√3

A.-B.—C.—D.—

2233

8.(5分)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都是￡>,直線X=XO(XoeZ))與y=∕(x),y—g(x)

的圖象分別交于A，B兩點(diǎn),若線段A8的長度是不為0的常數(shù)，則稱曲線y=∕(x),y

=g(X)為"平行曲線”設(shè)f(X)=/-Hnx+c(a>0,c#0,且y=/(x),y—g(x)為

區(qū)間(0,+8)的“平行曲線”其中g(shù)(1)=e,g(x)在區(qū)間(2,3)上的零點(diǎn)唯一，

則〃的取值范圍是()

β2β2e3

A.(----，-----)B.(----，-----)

ln3ln2Ln2ln3

e32e42e3e4

C.(----，------)D.(------/-----)

ln3ln2ln3ln2

二、多選題(共20分)

(多選)9.(5分)某高中學(xué)校積極響應(yīng)國家“陽光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召，為確保學(xué)生每天一

小時(shí)的體育鍛煉，調(diào)查該校2000名高中學(xué)生每周平均參加體育鍛煉時(shí)間的情況，現(xiàn)從高

一、高二、高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生中按照3：1：1的比例分層抽樣，收集了200名學(xué)生每周

平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，

則下列說法中，正確的是()

A.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)為500人

B.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)百分比為20%

C.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)為5小時(shí)

D.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.8小時(shí)

(多選)10.(5分)甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，甲四

個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字5,6,7,8,同時(shí)拋擲這兩

個(gè)四面體一次，記事件A為“兩個(gè)四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件8為“甲四

面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)

論正確的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABC)=JD.P(Λ)?P(.B)?P(C)

OO

(多選)11.(5分)已知/*(X)=1-2cos2(ωx+^)(ω>0),則下列判斷中，錯(cuò)誤的是()

A.若∕Gι)=1,f(%2)=-1，且僅1-切加〃=η，則ω=2

Tl

B.存在36(0,2),使得/(x)的圖像右移一個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

6

C.若f(x)在［0,2π］上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍為［無，—］

D.若/(x)在［一也f］上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為(0,1］

(多選)12.(5分)已知數(shù)列{〃“},{5}均為遞增數(shù)列，它們的前〃項(xiàng)和分別為S“Tn,且

滿足斯+。"+1=2〃，aι?b"+ι=2%則下列結(jié)論正確的是()

2

A.OValVlB.S2n=n÷3n—2

C.Khi<√2D.S2"<T2n

三、填空題(共20分)

13.（5分）如果xι,必/3，處的方差是則如，3x2，3x3，3心的方差為.

14.（5分）若f（%）=as譏（％+/）+bstn（%-今）3芋0）是偶函數(shù),則有序?qū)崝?shù)對(duì)（α,b）

可以是.（注：寫出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可）

X乙2V。2

15.（5分）雙曲線C：—--=\（α>0,?>0）與拋物線）?=8X有共同的焦點(diǎn)尸2,雙曲

αzbi

線左焦點(diǎn)為Fi,點(diǎn)P是雙曲線右支一點(diǎn)，過F1向/乃PR的角平分線作垂線，垂足為N,

?ON?=1,則雙曲線的離心率是.

16.（5分）如圖，多面體ABCDEF中，面A8CD為正方形，DELnABCD,CF//DE,

且A8=E>E=2,CF=I,G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱。E上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)，為OE的中點(diǎn)時(shí)，G”〃平面ABE；

②存在點(diǎn)兒使得G/7LAE；

③三棱錐B-GHF的體積為定值；

④三棱錐E-BCF的外接球的表面積為14π.

其中正確的結(jié)論序號(hào)為.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

17.（10分）在三角形中，NA、NB、ZC分別對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c,且滿足關(guān)系式為：

tanA+tanβ+tanC=^tanAtanB.

（1）求NC的大小；

（2）若c=2,求/+/的取值范圍.

18.（12分）已知數(shù)列｛”“｝滿足：a?=?,且斯+|-2斯=0,等差數(shù)列｛仇｝滿足：b?=2,bs+bι

=34,cn=an-bn（n∈N"）.

（1）求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛∣Cnl｝的前C項(xiàng)和

19.（12分）新型冠狀病毒的傳染性是非常強(qiáng)的，而且可以通過接觸傳播或者是呼吸道飛沫

傳播，感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上的人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，并且潛伏

期越長，感染他人的可能性越高，現(xiàn)對(duì)100個(gè)病例的潛伏期(單位：天)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)

計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期中位數(shù)為5,平均數(shù)為7.21,方差為5.08.如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于

“長潛伏期”.按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本得到下面的列聯(lián)表:

長潛伏期非長潛伏

期

40歲以上1555

40歲及以1020

下

(1)能否有90%以上的把握認(rèn)為“長潛伏期”與年齡有關(guān)；

(2)假設(shè)潛伏期Z服從正態(tài)分布N(μ,。2),其中μ近似為樣本平均數(shù)，。2近似為樣

本方差，現(xiàn)在很多省份對(duì)入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識(shí)解釋其合理性；

(3)以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，并計(jì)算4個(gè)病例中有X(X∈N*)個(gè)進(jìn)入“長潛伏

期”的期望與方差.

2

附.K=____"3—兒)_______

叩?^(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)?

P*/)0.10.05

k2.7063.841

若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,。2),則P(N-O<Z<μ+o)=0.6826,P(μ-2

σ<Z<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3o<Z<μ+3ɑ)=0,9974,√5.08≈2.25.

20.(12分)如圖，四棱錐P-ABC￡)中，底面ABC。是直角梯形，ADLDC,AD//BC,平

面PCZ)_L平面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I.

(1)證明：/_L平面PCD；

1

(2)已知AO=尸￡>=￡>C=扣C=2,且NOPC=30°,求直線PB與平面BW所成角的

正弦值.

21.(12分)己知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與Q(-1,0)、尸2(1,0)的距離之和為2√1點(diǎn)

P的軌跡為曲線E.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(H)不與y軸垂直的直線/過點(diǎn)Q且交曲線E于M,N兩點(diǎn)，曲線E與X軸的交點(diǎn)為

OTTTT

A,B,當(dāng)IMNl時(shí)，求4時(shí)?村8+4村?時(shí)8的取值范圍.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=cur+ln(x+l).

(1)當(dāng)。=一/時(shí)，求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe[0,+8)時(shí)，不等式/(χ)WX恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(3)求證：(1+RU(I+J?×1+J^)…U+Ln^i+l)(2n+l)j<e^τ(其中"6N*'

e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

2023年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（共40分）

1.（5分）設(shè)集合4={x∣-2<xW2,x∈Z},8={x∣∕Wl},則A∩B=（）

A.{-1,1）B.[-1,1]C.{-l,0,1}D.[-1,0]

【解答】解：VA=M-2≤x≤2,Λ-∈Z}={-1,0,1,2},B={x∣x2≤l}={x∣-l≤x≤

1}，

.?.A∩8={-1,0,1}.

故選：C.

2.（5分）歐拉恒等式/+1=0（i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇妙

的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式e'*=cosx+isinx的特例：當(dāng)自變量x=π時(shí),e'τt=COSn+isinττ

.57Γ

=-1,得√π+l=0.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)z=/4在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）

象限.

A.-B.二C.三D.四

【解答】解：歐拉恒等式M+1=0（i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），

根據(jù)題意Z=et^4^—CoS苧+isin=一孝一苧i,

故復(fù)數(shù)z=e挈在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-孝，-苧），在第三象限，

故選：C.

3.（5分）（l+x）2+（l+x）3+???+（l+x）9的展開式中？的系數(shù)是（）

A.60B.80C.84D.120

【解答】解：（l+x）2+（l+x）3+???+（l+x）9的展開式中?的系數(shù)為廢+,+…+解=

廢+或+…+C/=Cfo=120.

故選：D.

A.B.

7ι^.sιnx

【解答】解：因?yàn)閥（x）=y=（l-??j）M=—1?p加?因，

991_PSinX

所以f（-X）=（1_]GSEF7）＞I_x∣=（1_]+e-s＞）.四=]+e標(biāo)?閔=T

所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A、3選項(xiàng)；

=（1-1^1）,I∑I=e+τ'Σ＞0,所以排除C.

故選：D

5.（5分）在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹揭环N用木片、竹黑或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮

陽或避雨，有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠”，不同型號(hào)的斗笠大小經(jīng)常用

帽坡長（母線長）和帽底寬（底面圓直徑長）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個(gè)“燈罩斗笠”，

帽坡長20厘米，帽底寬20√5厘米，關(guān)于此斗笠，下列說法不正確的是（）

A.斗笠軸截面（過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為120°

B.過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為100百平方厘米

C.若此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為160OTr平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以完全蓋住的球（保持斗笠不變形）的最大半徑為20百-30

厘米

【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，設(shè)頂角為0,貝以譏?=萼=字，得?=60。，所以頂角為e

ZZUZ2

=120°,A正確；

1?

對(duì)B選項(xiàng)，因?yàn)轫斀菫?=90°時(shí)，則截面三角形的最大面積為-X2（）2Xs譏90。=200

2

平方厘米，8錯(cuò)誤;

Q

對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)轫斀菫閑=120。，則5=60。，所以外接球半徑等于圓錐母線長，即R

=20,

則該球的表面積為4πR2=i600n平方厘米，C正確；

對(duì)。選項(xiàng)，設(shè)球的最大半徑為r,因?yàn)轫斀菫?20°,則/OCD=15°,

所以r=CD?tanl50=10√3?1鬻U鬻;。=20√3-30,。正確.

?ICIXrl?T,?JCIXfv?v/

故選：B.

6.（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱

軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).已知

拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,一平行于X軸的光線從點(diǎn)M（3,1）射入，經(jīng)過拋物線上的

點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，則直線AB的斜率為（）

A--4B.-∣4C.±-4D.一1號(hào)6

【解答】解：由題意可知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1,

將y=l代入∕=4x,得X=則4（/,1）,

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)尸（1,0）,

所以直線AB的斜率k=izθ=-?

Al3

故選：B.

7.（5分）兩不共線的向量b,滿足向=3∣b∣,且V∕∈R,而一tb∣≥同一勿，則CoS（乙

b)=()

1√31

A.-B.—C.一

223

【解答】解：??VrwR,∣α—tb∣≥?a—b?9

Λ?r∈R,?a?2+t2?b?2—2ta?b≥?a?2+?b?2-2a?b,

Λ?r∈R,t2?b?2-6t?b?2cos(a,b)-?b?26?b?2cos(a,b)≥O,V∣h∣≠O,

?TTTT

Λ?r∈R,t2—6tcos(a,h)—1+6cos(a,b)≥O,

CTTTT

.?Δ—36COS2<a,b>—4(—1+6cos<a,b>)≤O,

→

βTTl→1

..cos{a,h)-?=O,Λcos(afb)=?,

故選：C.

8.(5分)函數(shù)F(X),g(?)的定義域都是。，直線X=Xo(xo∈D)與y=∕(x),y=g(x)

的圖象分別交于4B兩點(diǎn),若線段AB的長度是不為。的常數(shù)，則稱曲線y=∕(x),y

=g(X)為“平行曲線”設(shè)/(x)=ex-alnχΛ-c(。>0,c≠0,且y=/(X)，y—g(x)為

區(qū)間(0,+8)的“平行曲線”其中g(shù)(1)=e,g(X)在區(qū)間(2,3)上的零點(diǎn)唯一，

則。的取值范圍是()

e2e4e2e3

A.(----，-----)B.(----，-----)

ln3ln2ln2ln3

e32e42e3e4

C.(----，------)D.(-----，-----)

ln3ln2ln3ln2

【解答】解：O=/G),y=gG)為區(qū)間的“平行曲線”，

???函數(shù)gG)是由函數(shù)/G)的圖象經(jīng)過上下平移得到，

即g(x)=f(?)+/?=，-alnx+c+h,

Yg(1)=e-aln1÷c+A=e+c+h=e,

.*.c+h=O,

即g(X)=ex-alm,

由g(X)=0,

.?.4=Inx9

令h(X)=總

??,g(?)在區(qū)間(2,3)上的零點(diǎn)唯一,

?9?y=h(x)與函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有唯一的交點(diǎn),

_ex(∕nx-i)

VA(%)

(Znx)2

當(dāng)x>2時(shí)，h,(%)>0,

???函數(shù)(%)在(2,3)上單調(diào)遞增,

：.h(2)<a<h(3),

e23

r即ι;--<a<γe-^

ln2lrι3f

Q2?3

故”的取值范圍是（「，—

ln2InS

故選：B.

二、多選題（共20分）

（多選）9.（5分）某高中學(xué)校積極響應(yīng)國家“陽光體育運(yùn)動(dòng)”的號(hào)召，為確保學(xué)生每天一

小時(shí)的體育鍛煉，調(diào)查該校2000名高中學(xué)生每周平均參加體育鍛煉時(shí)間的情況，現(xiàn)從高

一、高二、高三三個(gè)年級(jí)學(xué)生中按照3：1：1的比例分層抽樣，收集了200名學(xué)生每周

平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，

則下列說法中，正確的是（）

A.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)為500人

B.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)百分比為20%

C.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)為5小時(shí)

D.估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.8小時(shí)

【解答】解：由題意列表如下，

運(yùn)動(dòng)時(shí)間[0,2]24][4,6][6,8][8,10][10,12]

頻率0.050.20.30.250.150.05

估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足4小時(shí)的人數(shù)為200OX（0.05+0.2）=500

（人），

故選項(xiàng)A正確；

估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于8小時(shí)的人數(shù)百分比為0.15+0.05=20%,

故選項(xiàng)B正確；

估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)為4+?^×2>5,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

估計(jì)該校高中學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為IX0.05+3X0.2+5X0.3+7×0.25+9×O.15+I1

×0.05=5.8,

故選項(xiàng)。正確；

故選：ABD.

(多選)10.(5分)甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，甲四

個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字5,6,7,8,同時(shí)拋擲這兩

個(gè)四面體一次，記事件4為“兩個(gè)四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“甲四

面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)

論正確的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABC)=ID.P(A)?P(B)?P(C)

OO

【解答】解：甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，

甲四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字5,6,7,8,

同時(shí)拋擲這兩個(gè)四面體一次，記事件4為“兩個(gè)四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，

事件B為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為

偶數(shù)”，

則p(A)=?k?j?k?=1p(B)=∣=i,p(O=

：.P(A)=P(B)=P(C),故A正確；

IIlr?r?1f?f?1

P(Be)=P(β)P(C)=i×i=i,P(AC)==左，P(AB)=??=?

ZZztzi-Xzt?zrzrXzt?zt?

：.P(BC)=P(AC)=P(AB),故B正確；

P(ABe)=呆呆=上,故C錯(cuò)誤；

1111

P(A)?P(B)?P(C)=4×4×4=?,故Q正確.

故選：ABD.

(多選)11.(5分)已知f(x)=l-2cos2(ωx+^)(ω>0),則下列判斷中，錯(cuò)誤的是()

A.若F(XI)=Lf(%2)--1,且∣XLX2∣加”=π,則3=2

Tl

B.存在36(0,2),使得/(x)的圖像右移Z個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

6

C.若/(x)在［O,2π］上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為［豆，-J

D.若/(X)在Y，芻上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為(O,∣J

【解答】解：由于/(x)=1—2cos2(ωx+/)=-cos(2ωx+?)=sin(2ωx+看)；

1-TT1

對(duì)于A：若/(xι)=1,f(X2)=-1?且IXl-X2I加〃=2T=五j=兀，所以a)=2；故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B：函數(shù)/(x)的圖像右移四個(gè)單位長度后得到h(x)=Sin(23X—等+3)的圖像，

6Sb

該函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以一等+R時(shí)+冬

整理得ω=-1-3%(攵∈Z),故B錯(cuò)誤；

TTTCTC

對(duì)于C由于x∈［0,2π］,所以一≤2co%+一≤4(υτr+一,

666

故7ττ≤4ωττ+5<8τr,

0

4147

解得F≤3V七,故C錯(cuò)誤；

2424

對(duì)于D：由于％∈［―］，*，

所以一等+W≤23%+W≤等+a(?∈Z),

30OZo

Z

+7Γ>Tr

l?----

所

以62?

l<，整理得0<3≤*

+-Tr

l7-r2一

?-6

2

故3的取值范圍為(0,故。正確;

故選：ABC.

(多選)12.(5分)已知數(shù)列｛“"｝,｛與｝均為遞增數(shù)列，它們的前〃項(xiàng)和分別為S”T1,,且

π

滿足斯+%+1=2〃，bn-bn+1=2,則下列結(jié)論正確的是()

2

A.O<α∣<lB.S2n=n+3n-2

C.1<b1<√2D.S2n<T2,t

【解答】解：由｛斯｝是遞增數(shù)列,得m<"2<a3;

又斯+即+1=2〃，所以

+03=4

所以,1+。2>2%,所以o<m<],故選項(xiàng)A正確;

a

Ia2+3>20?=4-2a1

?'?S2∏=(。1+。2)+(43+44)+…+=2+6+10+???+2×(2〃-1)=，(2+4〃

-2)=2/；3錯(cuò)誤，

由｛為｝是遞增數(shù)列，得bι<b2<b3;又與m1=2",所以在

所以?2,瓦，所以1<歷<正，故選項(xiàng)C正確；

ib3>b2

所以為"=(?∣+?+?5+???+?2n-∣)+(?2+?4+-+?2n)='(IJn)+)(1產(chǎn))=(加+歷)

(2π-1),

所以7‰22√瓦?Z?(2Λ-1)=2√2(2"-1),又從甘歷，所以⑸>2直(2rt-1),

所以對(duì)于任意的〃EN+,S2n<T2tn故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

三、填空題(共20分)

13.(5分)如果用，/2，/3，必的方差是3則3xi,3x2，3X3，3x4的方差為3.

1

【解答】解：因?yàn)閄I，尤2，13，X4的方差是］，

則切，3X2,3X3,3X4的方差為32x/=3.

故答案為：3.

14.(5分)若f(x)=αsiτι(x+3)+匕SinQ-E)(αb00)是偶函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(α,b)

可以是一ɑ,7).(注：寫出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可)

【解答】解：ab≠Off(x)=asin(x+*)+bsin(x—今)

=a(jγsinx+孝COSX)+b(^-sinx—?cosx)

=孝(a+b)SinX+孝Ca-?)cosx.

V/(X)是偶函數(shù)，

，只要α+b=O即可，

可以取a=?,b=-1.

%2y2

15.(5分)雙曲線C：=1(α>0,?>0)與拋物線丁=8犬有共同的焦點(diǎn)打，雙曲

線左焦點(diǎn)為人，點(diǎn)尸是雙曲線右支一點(diǎn)，過Fi向/QPF2的角平分線作垂線，垂足為N,

∣ON∣=1,則雙曲線的離心率是2.

【解答】解：延長FlN交PF2的延長線于B,

由題意可知PN平分NQPF2，且PΛLLFι8,

所以IP尸II=IPBl,且N為尸18的中點(diǎn),

因?yàn)镻在雙曲線右支上，

所以IPFII-IP尸2∣=2ɑ,

即IP用-IPF2∣=山F2∣=2α,

在三角形尸1月8中，O,N分別為Q放和QB的中點(diǎn)，

所以IB尸2∣=2∣CW]=2,

即2α=2,故a—19

因?yàn)殡p曲線C與拋物線/=8X有共同的焦點(diǎn)/2,故C=2,所以離心率e=2,

故答案為：2.

16.（5分）如圖，多面體ABCZ）EF中，面ABCD為正方形，OE_L平面ABCC,CF//DE,

且AB=OE=2,CF=I,G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱。E上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)〃為QE的中點(diǎn)時(shí)，GH〃平面A8E；

②存在點(diǎn)H,使得GaLAE;

③三棱錐B-GHF的體積為定值；

④三棱錐E-BCF的外接球的表面積為14π.

其中正確的結(jié)論序號(hào)為①③④.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【解答】解：對(duì)①：當(dāng)”為OE的中點(diǎn)時(shí)，取EA中點(diǎn)為連接MH,MB,如下所示:

因?yàn)镠,M分別為M,EA的中點(diǎn)，故可得MHIIAD,MH=^AD,

根據(jù)已知條件可知：BGHAD,BG=^AD,

MH//BG,M”=BG,故四邊形”M8G為平行四邊形，

貝∣J"G"MB,又MBU面ABE,∕7G?Ig]ABE；

故HG〃平面A8E,故①正確；

對(duì)②：因?yàn)镋O上面ABC。，DA,DC?≡ABCD,

i?DEA.DA,DEI.DC,

又四邊形ABC。為矩形，i?DA±DC,則。E,DA,QC兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：

則4(2,0,0),E(0,0,2),G(1,2,0),

設(shè)”(0,0,m),∕n∈[0,2],

GHLAE,則(??∕?=(-l,-2,m)?(-2,0,2)=0,

即2+2m=0,解得〃?=-1,不滿足題意，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③：VB-GFH=VH-BGF,因?yàn)锽,F,G均為定點(diǎn)，故SMGF為定值,

又DE//CF,CFU而BGF,DEC面BGF,故OE〃面BGF,

又點(diǎn)，在QE上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)，到面BGF的距離是定值，

故三棱錐B-GFH的體積為定值，則③正確；

對(duì)④：取△￡：/(的外心為Oi,過Oi作平面EFC的垂線QN,

則三棱錐B-EFC的外接球的球心0一定在OlN上，

因?yàn)镺Ol，面EFC,FClffiABCO,Cβ?≡ABCD,則CF_LC3,

又CB_LC￡>,CFC?CD=C,CF,C￡)c?EFCD,

?CBlffiEFCD,XBC±ffiEFC,

則001〃C8,故OOι,8C在同一個(gè)平面，

則過。作0P_L8C,連接OB,OC,如圖所示：

在△￡?/（中，容易知EF=√5,EC=2√2,FC=1,

則由余弦定理可得CoSWC=5^^1~8=-4■,故SiMEFC=隼，

2√5??

則由正弦定理可得OIC=2c0=孚=OP,

ZSlHZ.CFLL

設(shè)三棱錐E-FCB的外接球半徑為R,則OC=OB=R,

在408P中，OB=R,OP=爭，

222

又BP=2-PC=2-00↑=2-√OC-O1C=2-Jfi-|,

故由勾股定理可知：OB2=O∕√+8/，即R2=∣+4+R2一尚一4即

解得：R2=-,則該棱錐外接球的表面積S=4nR2=]4τr,故④正確.

故答案為：①③④.

X

E

四、解答題(共70分)

17.(10分)在三角形中，NA、NB、ZC分別對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c,且滿足關(guān)系式為:

taπA+tanB+tanC=^ytanAtanβ.

(1)求NC的大?。?/p>

(2)若c=2,求/+層的取值范圍.

【解答】解：(因?yàn)镃A+B)

1)tan=tan(π-C)=-tanC=1；—?dú)qta堂nAt嗎anb,

所以可得tanΛ+tan8+tanC=tanAtanBtanC,

又ta∏A+tanB+tanC=-g-tanAta∏B,

/?

所以ta∏AtanθtanC=-yta∏Ata∏B,

因?yàn)閠a∏Atanθ≠0,

所以tanC=?,

因?yàn)镃∈(0,π),

所以C=I

O

（2）因?yàn)镴=J+.-20bcosC,c=2,

所以4=J+Z>2-√5MNJ+/-在與也，所以/+82wi6+8√5,當(dāng)且僅當(dāng)α=匕時(shí)取等

號(hào)，

又因?yàn)?J2+?2>4,

所以J+/的取值范圍是（4,16+8返］.

18.（12分）已知數(shù)列｛斯｝滿足：αι=l,且<?+ι-2<?=0,等差數(shù)列｛》｝滿足:bι=2,b5+b7

=34,令Cn=Q〃-力j（∕2∈N*）.

（1）求數(shù)列｛Cn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛∣Cn∣｝的前〃項(xiàng)和S〃.

nn

【解答】解：（1）因?yàn)樗?gt;0,由題意得公比9=2,所以an=%q-ι=2τ,

由等差數(shù)列｛岳｝中,bτ=2,加+歷=34,

設(shè)公差為"，則2bι+10d=34,解得d=3,

故bn~3/7-1,

n1

所以Crl=2--3n+1；

(2)由(1)得c71+ι=2"-3九一2,所以cn+ι—Cn=2"一1—3,

則當(dāng)〃23時(shí)，QH?ι>c∏,

當(dāng)九小2時(shí),C∏+∣<Cn,

又當(dāng)〃W4時(shí)，cn<0,當(dāng)時(shí)，cn>0,

所以當(dāng)〃W4時(shí),S*=—(J+C?+…+4)=-[?J-+汨=+1,

當(dāng)“25時(shí)，Sn=-(Cl+c2+c3+c4)+c5+C6+…+Cn=-2(ci+c2+c3+c4)+(c,l+C2+?+Cn)=

3n2÷n

2n-+21

2

當(dāng)也-2rι+l,n≤4

從而S=

n2n-3π^+21,n≥5

19.（12分）新型冠狀病毒的傳染性是非常強(qiáng)的，而且可以通過接觸傳播或者是呼吸道飛沫

傳播，感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上的人群.該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，并且潛伏

期越長，感染他人的可能性越高，現(xiàn)對(duì)100個(gè)病例的潛伏期（單位：天）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)

計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期中位數(shù)為5,平均數(shù)為7.21,方差為5.08.如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于

“長潛伏期”.按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本得到下面的列聯(lián)表：

長潛伏期非長潛伏

期

40歲以上?55

40歲及以20

下

（1）能否有90%以上的把握認(rèn)為“長潛伏期”與年齡有關(guān)；

（2）假設(shè)潛伏期Z服從正態(tài)分布N（μ,。2）,其中μ近似為樣本平均數(shù)，。2近似為樣

本方差，現(xiàn)在很多省份對(duì)入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識(shí)解釋其合理性；

(3)以題目中的樣本頻率估計(jì)概率，并計(jì)算4個(gè)病例中有X(X6N*)個(gè)進(jìn)入“長潛伏

期”的期望與方差.

2

附.K=_____"(ad-be)_______

pιj,λ(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)?

PCK*12^*k)0.10.05

k2.7063.841

若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,。2),則P(N-O<Z<μ+o)=0.6826,P(R-2

。<Z<μ+2σ)=0.9544,P(H-3。<Z<μ+3σ)=0.9974,√S08≈2.25.

n(ad-bc)2100×(15×20-55×10)2Uor

【解答】解:(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)=70x30x25x75≈1?"/

由于1.587V2.706,

故沒有90%以上的把握認(rèn)為“長潛伏期”與年齡有關(guān)；

(2)若潛伏期Z~N(7.21,2.252),

I?時(shí)μ+3σ=7.21+3X2.25=13.96,

,1-09974

由「(Z213.96)==0.0013,

顯然潛伏期超過14天的概率很低，

因此隔離14天是合理的.

(3)由于100個(gè)病例中有25個(gè)屬于長潛伏期，

若以樣本頻率估計(jì)概率，英特患者屬于“長潛伏期”的概率是上

4

1

因?yàn)閄~B(4,-),

4

所以期望E(X)=np=4×?=1；

方差D(X)=np(I-P)=4×j×≡=p

4r4r4T

20.(12分)如圖，四棱錐P-ABCZ)中，底面ABCr)是直角梯形，ADlDC,AD//BC,平

面PCoJ_平面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為I.

(1)證明：LL平面產(chǎn)CD；

(2)已知Ao=PO=OC=；8C=2,且/。PC=30°,求直線PB與平面孫。所成角的

正弦值.

【解答】（1）證明："：ADLDC,平面PDC_L平面ABC。，且平面PDC∩平面ABCO=

CD,

ΛAD1￥≡PDC.（2分）

'JAD//BC,ADC平面尸8C,BCu平面PBC,

."D〃平面P8C.（4分）

：平面∕?QΓ∣平面PBC=/,A。U平面BA。，

：.AD//l,/_!_平面PoC（6分）

（2）解：?.?PD=OC=2,PHLCD,垂足為H,

又；NDPC=NPCD=30°,

.".ZPDC=120°,NPDH=60°,

ΛP7∕=PDsin60o=√3.（8分）

設(shè)B到平面PAD的距離為h,

'?VB-PAD=VpABD>

11

即]SAPAD'"=]^hABD,PH?

又5△/?o=?PO=2,S^ABD=^ADCD=2,

：.lI=√3.（10分）

由Ao，平面尸。C,AD//BC,

.?.8C_L平面PDC,

.,.BC±PC.

：.PB=?∕BC2+PC2=√16+12=√28=2√7.

設(shè)PB與平面以。所成角為。，

則Sine=磊=磊=答?（12分）

21.(12分)己知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與Q(-1,0)、尸2(1,0)的距離之和為2√1點(diǎn)

P的軌跡為曲線E.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(H)不與y軸垂直的直線/過點(diǎn)Q且交曲線E于M,N兩點(diǎn)，曲線E與X軸的交點(diǎn)為

OTTTT

A,B,當(dāng)IMNl≥5b時(shí)，求4M?NB+AN?MB的取值范圍.

【解答】解：(I)依題意，點(diǎn)P的軌跡E是以FI(-1,0),F2(1.0)為焦點(diǎn),長軸

長為2百的橢圓，

即α=百，c=l,b=>/2,

X2V2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為M+v=1.

32

y2y2

(II)設(shè)直線/方程為y=Mx+l),代